La derivada del coseno se encuentra por analogía con la derivada del seno, la base de la prueba es la definición del límite de la función. Puedes usar otro método, usando las fórmulas de reducción trigonométrica para el coseno y el seno de los ángulos. Exprese una función en términos de otra: coseno en términos de seno, y diferencie el seno con un argumento complejo.
Considere el primer ejemplo de derivación de la fórmula (Cos(x))'
Dar un incremento despreciablemente pequeño Δx al argumento x de la función y=Cos(x). Con un nuevo valor del argumento х+Δх, obtenemos un nuevo valor de la función Cos(х+Δх). Entonces el incremento de la función Δy será igual a Cos(х+Δx)-Cos(x).
La razón del incremento de la función a Δх será: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Realicemos transformaciones idénticas en el numerador de la fracción resultante. Recuerda la fórmula para la diferencia en los cosenos de los ángulos, el resultado será el producto -2Sin (Δx / 2) por Sin (x + Δx / 2). Encontramos el límite del cociente lim de este producto en Δx cuando Δx tiende a cero. Se sabe que la primera(se llama maravilloso) el límite lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) es igual a 1, y el límite -Sin(x+Δx/2) es igual a -Sin(x) como Δx tiende a cero. Escribe el resultado: la derivada de (Cos(x))' es igual a - Sin(x).
Algunas personas prefieren la segunda forma de obtener la misma fórmula
Se sabe del curso de trigonometría: Cos(x) es igual a Sin(0, 5 ∏-x), similarmente Sin(x) es igual a Cos(0, 5 ∏-x). Luego derivamos una función compleja: el seno del ángulo adicional (en lugar del coseno x).
Obtenemos el producto Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', porque la derivada del seno x es igual al coseno X. Pasamos a la segunda fórmula Sin(x)=Cos(0.5 ∏-x) de reemplazar coseno por seno, teniendo en cuenta que (0.5 ∏-x)'=-1. Ahora obtenemos -Sin(x). Entonces, se encuentra la derivada del coseno, y'=-Sin(x) para la función y=Cos(x).
Derivada del coseno al cuadrado
Un ejemplo comúnmente usado donde se usa la derivada del coseno. La función y=Cos2(x) es difícil. Primero hallamos la diferencial de la función potencia con exponente 2, será 2·Cos(x), luego la multiplicamos por la derivada (Cos(x))', que es igual a -Sin(x). Obtenemos y'=-2 Cos(x) Sin(x). Cuando aplicamos la fórmula Sin(2x), el seno de un ángulo doble, obtenemos la respuesta final simplificaday'=-Sin(2x)
Funciones hiperbólicas
Se utilizan en el estudio de muchas disciplinas técnicas: en matemáticas, por ejemplo, facilitan el cálculo de integrales, la solución de ecuaciones diferenciales. Se expresan en términos de funciones trigonométricas con imaginarioargumento, entonces el coseno hiperbólico ch(x)=Cos(i x), donde i es la unidad imaginaria, el seno hiperbólico sh(x)=Sin(i x).
La derivada del coseno hiperbólico se calcula de forma bastante sencilla.
Considere la función y=(ex+e-x) /2, este y es el coseno hiperbólico ch(x). Usamos la regla para encontrar la derivada de la suma de dos expresiones, la regla para sacar el factor constante (Const) del signo de la derivada. El segundo término 0.5 e-x es una función compleja (su derivada es -0.5 e-x), 0.5 eх ― el primer término. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' se puede escribir de otra forma: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, porque la derivada (e - x)' es igual a -1 veces e-x. El resultado es una diferencia, y este es el seno hiperbólico sh(x).Salida: (ch(x))'=sh(x).
Veamos un ejemplo de cómo calcula la derivada de la función y=ch(x
3+1).Según la regla de derivación del coseno hiperbólico con argumento complejo y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', donde (x3+1)'=3 x 2+0. Respuesta: la derivada de esta función es 3 x
2sh(x3+1).
Derivadas tabulares de las funciones consideradas y=ch(x) y y=Cos(x)
A la hora de resolver ejemplos, no es necesario diferenciarlos cada vez según el esquema propuesto, basta con utilizar la inferencia.
Ejemplo. Deriva la función y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Fácil de calcular (use datos tabulares), y'=-Sin(x) +Sen(2 x)-5 Sh(5 x).
