Segundos, tangentes: todo esto se puede escuchar cientos de veces en las lecciones de geometría. Pero la graduación de la escuela ha terminado, pasan los años y todo este conocimiento se olvida. ¿Qué debe recordarse?
Esencia
El término "tangente a un círculo" probablemente sea familiar para todos. Pero es poco probable que todos puedan formular rápidamente su definición. Mientras tanto, una tangente es una línea recta que se encuentra en el mismo plano con un círculo que la interseca en un solo punto. Puede haber una gran variedad de ellos, pero todos tienen las mismas propiedades, que se discutirán a continuación. Como puedes suponer, el punto de contacto es el lugar donde se cruzan el círculo y la línea. En cada caso, es uno, pero si hay más, entonces será una secante.
Historia de descubrimiento y estudio
El concepto de tangente apareció en la antigüedad. La construcción de estas líneas rectas, primero en un círculo y luego en elipses, parábolas e hipérbolas con la ayuda de una regla y un compás, se llevó a cabo incluso en las etapas iniciales del desarrollo de la geometría. Por supuesto, la historia no ha conservado el nombre del descubridor, peroes obvio que incluso en ese momento, la gente era bastante consciente de las propiedades de la tangente al círculo.
En los tiempos modernos, el interés por este fenómeno resurgió: comenzó una nueva ronda de estudio de este concepto, combinada con el descubrimiento de nuevas curvas. Entonces, Galileo introdujo el concepto de cicloide, y Fermat y Descartes construyeron una tangente a él. En cuanto a los círculos, parece que no quedan secretos para los antiguos en esta área.
Propiedades
El radio dibujado hasta el punto de intersección será perpendicular a la línea. Este es
la propiedad principal, pero no la única, que tiene una tangente a un círculo. Otra característica importante incluye ya dos líneas rectas. Entonces, a través de un punto que se encuentra fuera del círculo, se pueden dibujar dos tangentes, mientras que sus segmentos serán iguales. Hay otro teorema sobre este tema, pero rara vez se trata en el marco de un curso escolar estándar, aunque es extremadamente conveniente para resolver algunos problemas. Suena así. Desde un punto ubicado fuera del círculo, se dibujan una tangente y una secante. Se forman los segmentos AB, AC y AD. A es la intersección de líneas, B es el punto de contacto, C y D son las intersecciones. En este caso, será válida la siguiente igualdad: la longitud de la tangente a la circunferencia, al cuadrado, será igual al producto de los segmentos AC y AD.
De lo anterior hay una consecuencia importante. Para cada punto del círculo, puedes construir una tangente, pero solo una. La prueba de esto es bastante simple: teóricamente dejando caer una perpendicular desde el radio sobre él, encontramos que el formadotriángulo no puede existir. Y esto significa que la tangente es la única.
Edificio
Entre otros problemas de geometría, existe una categoría especial, por regla general, no
adorado por alumnos y estudiantes. Para resolver tareas de esta categoría, solo necesitas un compás y una regla. Estas son tareas de construcción. También hay métodos para construir una tangente.
Entonces, dado un círculo y un punto fuera de sus límites. Y es necesario dibujar una tangente a través de ellos. ¿Cómo hacerlo? En primer lugar, debe dibujar un segmento entre el centro del círculo O y un punto dado. Luego, usando un compás, divídelo por la mitad. Para hacer esto, debe establecer el radio, un poco más de la mitad de la distancia entre el centro del círculo original y el punto dado. Después de eso, necesitas construir dos arcos que se crucen. Además, no es necesario cambiar el radio de la brújula, y el centro de cada parte del círculo será el punto inicial y O, respectivamente. Las intersecciones de los arcos deben estar conectadas, lo que dividirá el segmento por la mitad. Establezca un radio en la brújula igual a esta distancia. Luego, con el centro en el punto de intersección, dibuja otro círculo. En él reposarán tanto el punto inicial como O. En este caso, habrá dos intersecciones más con la circunferencia dada en el problema. Serán los puntos de contacto para el punto dado inicialmente.
Interesante
Fue la construcción de tangentes al círculo lo que condujo al nacimiento de
cálculo diferencial. El primer trabajo sobre este tema fuepublicado por el famoso matemático alemán Leibniz. Proporcionó la posibilidad de encontrar máximos, mínimos y tangentes, independientemente de los valores fraccionarios e irracionales. Bueno, ahora también se usa para muchos otros cálculos.
Además, la tangente al círculo está relacionada con el significado geométrico de la tangente. De ahí viene su nombre. Traducido del latín, tangens significa "tangente". Por lo tanto, este concepto está relacionado no solo con la geometría y el cálculo diferencial, sino también con la trigonometría.
Dos círculos
No siempre una tangente afecta solo a una forma. Si se puede dibujar una gran cantidad de líneas rectas en un círculo, ¿por qué no viceversa? Pueden. Pero la tarea en este caso es seriamente complicada, porque la tangente a dos círculos puede no pasar por ningún punto, y la posición relativa de todas estas figuras puede ser muy
diferente.
Tipos y variedades
Cuando se trata de dos círculos y una o más líneas, incluso si se sabe que son tangentes, no queda claro de inmediato cómo se ubican todas estas figuras entre sí. En base a esto, hay varias variedades. Entonces, los círculos pueden tener uno o dos puntos en común o no tenerlos en absoluto. En el primer caso, se cruzarán, y en el segundo, se tocarán. Y aquí hay dos variedades. Si un círculo está, por así decirlo, incrustado en el segundo, entonces el toque se llama interno, si no, externo. entender mutuola ubicación de las figuras es posible no solo en base al dibujo, sino también teniendo información sobre la suma de sus radios y la distancia entre sus centros. Si estas dos cantidades son iguales, entonces los círculos se tocan. Si el primero es mayor se cortan, y si es menor no tienen puntos en común.
Lo mismo con las líneas rectas. Para dos círculos cualesquiera que no tengan puntos en común, puedes
construir cuatro tangentes. Dos de ellos se cruzarán entre las figuras, se llaman internos. Un par de otros son externos.
Si estamos hablando de círculos que tienen un punto en común, entonces la tarea se simplifica enormemente. El hecho es que para cualquier arreglo mutuo en este caso, solo tendrán una tangente. Y pasará por el punto de su intersección. Entonces la construcción de la dificultad no causará.
Si las figuras tienen dos puntos de intersección, entonces se puede construir para ellos una línea recta, tangente al círculo, tanto uno como el segundo, pero solo el exterior. La solución a este problema es similar a lo que se discutirá a continuación.
Resolución de problemas
Tanto las tangentes internas como las externas a dos círculos no son tan fáciles de construir, aunque este problema se puede resolver. El hecho es que se usa una figura auxiliar para esto, así que piensa en este método tú mismo
bastante problemático. Entonces, dadas dos circunferencias con diferentes radios y centros O1 y O2. Para ellos, necesitas construir dos pares de tangentes.
Primero que nada, cerca del centro del mayorlos círculos deben construirse auxiliares. En este caso, se debe establecer en el compás la diferencia entre los radios de las dos cifras iniciales. Las tangentes al círculo auxiliar se construyen desde el centro del círculo más pequeño. Después de eso, desde O1 y O2, se dibujan perpendiculares a estas líneas hasta que se cruzan con las figuras originales. Como sigue de la propiedad principal de la tangente, se encuentran los puntos deseados en ambos círculos. Problema resuelto, al menos la primera parte.
Para construir tangentes internas, tendrás que resolver prácticamente
una tarea similar. Nuevamente, se necesita una figura auxiliar, pero esta vez su radio será igual a la suma de los originales. Las tangentes se construyen desde el centro de uno de los círculos dados. El curso posterior de la solución se puede entender a partir del ejemplo anterior.
La tangente a un círculo o incluso a dos o más no es una tarea tan difícil. Por supuesto, los matemáticos hace tiempo que dejaron de resolver tales problemas manualmente y confían los cálculos a programas especiales. Pero no piense que ahora no es necesario poder hacerlo usted mismo, porque para formular correctamente una tarea para una computadora, necesita hacer y comprender mucho. Desafortunadamente, existe el temor de que después de la transición final a la forma de prueba de control del conocimiento, las tareas de construcción causen más y más dificultades para los estudiantes.
En cuanto a encontrar tangentes comunes para más círculos, no siempre es posible, incluso si se encuentran en el mismo plano. Pero en algunos casos puedes encontrar una línea tan recta.
Ejemplos de vida
En la práctica, a menudo se encuentra una tangente común a dos círculos, aunque no siempre se nota. Transportadores, sistemas de bloques, correas de transmisión de poleas, tensión de hilo en una máquina de coser e incluso una cadena de bicicleta: todos estos son ejemplos de la vida. Así que no creas que los problemas geométricos se quedan solo en la teoría: en ingeniería, física, construcción y muchas otras áreas, encuentran aplicaciones prácticas.
