Con la división de las matemáticas en álgebra y geometría, el material educativo se vuelve más difícil. Aparecen nuevas figuras y sus casos especiales. Para comprender bien el material, es necesario estudiar los conceptos, las propiedades de los objetos y los teoremas relacionados.
Conceptos generales
Un cuadrilátero significa una figura geométrica. Consta de 4 puntos. Además, 3 de ellos no están ubicados en la misma línea recta. Hay segmentos que conectan los puntos especificados en serie.
Todos los cuadriláteros estudiados en el curso de geometría escolar se muestran en el siguiente diagrama. Conclusión: cualquier objeto de la figura presentada tiene las propiedades de la figura anterior.
Un cuadrilátero puede ser de los siguientes tipos:
- Paralelogramo. El paralelismo de sus lados opuestos se demuestra mediante los teoremas correspondientes.
- Trapecio. Un cuadrilátero con bases paralelas. Las otras dos partes no lo son.
- Rectángulo. Una figura que tiene las 4 esquinas=90º.
- Rombo. Una figura con todos los lados iguales.
- Cuadrado. Combina las propiedades de las dos últimas figuras. Tiene todos los lados iguales y todos los ángulos son rectos.
La definición principal de este tema es un cuadrilátero inscrito en un círculo. Consiste en lo siguiente. Esta es una figura alrededor de la cual se describe un círculo. Debe pasar por todos los vértices. Los ángulos interiores de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia suman 360º.
No todos los cuadriláteros se pueden inscribir. Esto se debe al hecho de que las bisectrices perpendiculares de los 4 lados pueden no intersecarse en un punto. Esto hará que sea imposible encontrar el centro de un círculo que circunscribe un 4-ágono.
Casos especiales
Hay excepciones a cada regla. Entonces, en este tema también hay casos especiales:
- Un paralelogramo, como tal, no puede inscribirse en un círculo. Sólo su caso especial. Es un rectángulo.
- Si todos los vértices de un rombo están en la línea que lo circunscribe, entonces es un cuadrado.
- Todos los vértices del trapezoide están en el límite del círculo. En este caso, hablan de una figura isósceles.
Propiedades de un cuadrilátero inscrito en un círculo
Antes de resolver problemas simples y complejos sobre un tema determinado, debe verificar su conocimiento. Sin estudiar el material educativo, es imposible resolver un solo ejemplo.
Teorema 1
La suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia es 180º.
Prueba
Dado: el cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia. Su centro es el punto O. Tenemos que demostrar que <A + <C=180º y < B + <D=180º.
Es necesario tener en cuenta las cifras presentadas.
- <A se inscribe en una circunferencia con centro en el punto O. Se mide por ½ BCD (medio arco).
- <C está inscrito en el mismo círculo. Se mide a través de ½ BAD (medio arco).
- BAD y BCD forman un círculo completo, es decir, su magnitud es 360º.
- <A + <C son iguales a la mitad de la suma de los medios arcos representados.
- Por lo tanto <A + <C=360º / 2=180º.
De manera similar, la prueba para <B y <D. Sin embargo, existe una segunda solución al problema.
- Se sabe que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.
- Porque <A + <C=180º. En consecuencia, <B + <D=360º – 180º=180º.
Teorema 2
(Suele llamarse inversa) Si en un cuadrilátero <A + <C=180º y <B + <D=180º (si son opuestos), entonces se puede describir un círculo alrededor de dicha figura.
Prueba
Se da la suma de los ángulos opuestos del cuadrilátero ABCD igual a 180º. <A + <C=180º, <B +<D=180º. Necesitamos demostrar que un círculo se puede circunscribir alrededor de ABCD.
Desde el curso de geometría se sabe que se puede dibujar un círculo a través de 3 puntos de un cuadrilátero. Por ejemplo, puede usar los puntos A, B, C. ¿Dónde estará ubicado el punto D? Hay 3 conjeturas:
- Ella termina dentro del círculo. En este caso, D no toca la línea.
- Fuera del círculo. Da un paso más allá de la línea delineada.
- Resulta en un círculo.
Debe suponerse que D está dentro del círculo. El lugar del vértice indicado lo ocupa D´. Resulta el cuadrilátero ABCD´.
El resultado es:<B + <D´=2d.
Si continuamos AD´ hasta la intersección con el círculo existente centrado en el punto E y conectamos E y C, obtenemos un cuadrilátero inscrito ABCE. Del primer teorema se sigue la igualdad:
Según las leyes de la geometría, la expresión no es válida porque <D´ es el vértice exterior del triángulo CD´E. En consecuencia, debe ser más de <E. De esto podemos concluir que D debe estar dentro o fuera del círculo.
Del mismo modo, se puede demostrar que la tercera suposición es incorrecta cuando D´´ va más allá del límite de la figura descrita.
De dos hipótesis se sigue la única correcta. El vértice D se encuentra en la línea circular. En otras palabras, D coincide con E. Se sigue que todos los puntos del cuadrilátero están ubicados en la línea descrita.
De estosdos teoremas, los corolarios siguen:
Cualquier rectángulo se puede inscribir en un círculo. Hay otra consecuencia. Un círculo se puede circunscribir alrededor de cualquier rectángulo
El trapezoide con caderas iguales se puede inscribir en un círculo. En otras palabras, suena así: se puede describir un círculo alrededor de un trapezoide con bordes iguales
Varios ejemplos
Problema 1. El cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia. <ABC=105º, <CAD=35º. Necesito encontrar <ABD. La respuesta debe escribirse en grados.
Decisión. Al principio, puede parecer difícil encontrar la respuesta.
1. Debe recordar las propiedades de este tema. A saber: la suma de los ángulos opuestos=180º.
<CAD=180º – <ABC=180º – 105º=75º
En geometría, es mejor ceñirse al principio: encuentra todo lo que puedas. Útil más adelante.
2. Siguiente paso: usa el teorema de la suma del triángulo.
<ACD=180º – <CAD – <ADC=180º – 35º – 75º=70º
<ABD y <ACD están inscritos. Por condición, se basan en un arco. En consecuencia, tienen valores iguales:
<ABD=<ACD=70º
Respuesta: <ABD=70º.
Problema 2. BCDE es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia. <B=69º, <C=84º. El centro del círculo es el punto E. Encuentra - <E.
Decisión.
- Necesita encontrar <E por el Teorema 1.
<E=180º – <C=180º – 84º=96º
Respuesta: < E=96º.
Problema 3. Dado un cuadrilátero inscrito en una circunferencia. Los datos se muestran en la figura. Es necesario encontrar valores desconocidos x, y, z.
Solución:
z=180º – 93º=87º (por el Teorema 1)
x=½(58º + 106º)=82º
y=180º – 82º=98º (por el Teorema 1)
Respuesta: z=87º, x=82º, y=98º.
Problema 4. Hay un cuadrilátero inscrito en una circunferencia. Los valores se muestran en la figura. Encuentra x, y.
Solución:
x=180º – 80º=100º
y=180º – 71º=109º
Respuesta: x=100º, y=109º.
Problemas para solución independiente
Ejemplo 1. Dado un círculo. Su centro es el punto O. AC y BD son diámetros. <ACB=38º. Necesito encontrar <AOD. La respuesta debe darse en grados.
Ejemplo 2. Dado un cuadrilátero ABCD y una circunferencia circunscrita a él. <ABC=110º, <ABD=70º. Busque <CAD. Escribe tu respuesta en grados.
Ejemplo 3. Dada una circunferencia y un cuadrilátero ABCD inscrito. Sus dos ángulos son 82º y58º. Necesitas encontrar el mayor de los ángulos restantes y escribir la respuesta en grados.
Ejemplo 4. Se da el cuadrilátero ABCD. Los ángulos A, B, C están dados en la razón 1:2:3. Es necesario encontrar el ángulo D si el cuadrilátero especificado se puede inscribir en un círculo. La respuesta debe darse en grados.
Ejemplo 5. Se da el cuadrilátero ABCD. Sus lados forman arcos de circunferencia circunscrita. Los valores de los grados AB, BC, CD y AD, respectivamente, son: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Debes encontrar <Del cuadrilátero dado y escribir la respuesta en grados.
