En el mundo actual, usamos cada vez más una variedad de autos y dispositivos. Y no solo cuando es necesario aplicar una fuerza literalmente inhumana: mover la carga, levantarla a una altura, cavar una zanja larga y profunda, etc. realizado por calculadoras. Cada vez escuchamos más a menudo la expresión "álgebra booleana". Tal vez sea hora de comprender el papel del hombre en la creación de robots y la capacidad de las máquinas para resolver no solo problemas matemáticos, sino también lógicos.
Lógica
Traducida del griego, la lógica es un sistema ordenado de pensamiento que crea relaciones entre condiciones dadas y te permite sacar conclusiones basadas en premisas y suposiciones. Muy a menudo nos preguntamos unos a otros: "¿Es lógico?" La respuesta recibida confirma nuestras suposiciones o critica el tren de pensamiento. Pero el proceso no se detiene: seguimos razonando.
A veces, la cantidad de condiciones (introductorias) es tan grande y las relaciones entre ellas son tan intrincadas y complejas que el cerebro humano no puede "digerir" todo a la vez. Puede tomar más de un mes (semana, año) comprender lo que está sucediendo. Perola vida moderna no nos da tales intervalos de tiempo para tomar decisiones. Y recurrimos a la ayuda de las computadoras. Y aquí es donde aparece el álgebra de la lógica, con sus propias leyes y propiedades. Al descargar todos los datos iniciales, permitimos que la computadora reconozca todas las relaciones, elimine las contradicciones y encuentre una solución satisfactoria.
Matemáticas y Lógica
El famoso Gottfried Wilhelm Leibniz formuló el concepto de "lógica matemática", cuyos problemas eran comprensibles solo para un círculo reducido de científicos. Esta dirección no despertó especial interés y, hasta mediados del siglo XIX, pocas personas conocían la lógica matemática.
El gran interés de la comunidad científica provocó una disputa en la que el inglés George Boole anunció su intención de crear una rama de las matemáticas que no tiene absolutamente ninguna aplicación práctica. Como recordamos de la historia, la producción industrial se estaba desarrollando activamente en ese momento, se estaban desarrollando todo tipo de máquinas auxiliares y máquinas herramienta, es decir, todos los descubrimientos científicos tenían un enfoque práctico.
Mirando hacia el futuro, digamos que el álgebra booleana es la parte más utilizada de las matemáticas en el mundo moderno. Entonces Bull perdió su argumento.
George Bühl
La propia personalidad del autor merece especial atención. Incluso considerando que en el pasado las personas crecieron antes que nosotros, es imposible no notar que a la edad de 16 años, J. Buhl enseñó en una escuela del pueblo, y a la edad de 20 años abrió su propia escuela en Lincoln. El matemático hablaba con fluidez cinco idiomas extranjeros, y en su tiempo libre leía obrasNewton y Lagrange. ¡Y todo esto es sobre el hijo de un simple trabajador!
En 1839, Boole envió por primera vez sus artículos científicos al Cambridge Mathematical Journal. El científico tiene 24 años. El trabajo de Boole interesó tanto a los miembros de la Royal Society que en 1844 recibió una medalla por su contribución al desarrollo del análisis matemático. Varios trabajos más publicados, que describían los elementos de la lógica matemática, permitieron al joven matemático ocupar el puesto de profesor en la Universidad de Cork. Recuerde que el propio Buhl no tenía educación.
Idea
En principio, el álgebra booleana es muy simple. Hay enunciados (expresiones lógicas) que, desde el punto de vista de las matemáticas, pueden definirse solo con dos palabras: “verdadero” o “falso”. Por ejemplo, en primavera los árboles florecen - cierto, en verano nieva - mentira. La belleza de estas matemáticas es que no hay una necesidad estricta de usar solo números. Cualquier afirmación con un significado inequívoco es muy adecuada para el álgebra de los juicios.
Por lo tanto, el álgebra de la lógica se puede usar literalmente en todas partes: al programar y escribir instrucciones, analizar información contradictoria sobre eventos y determinar la secuencia de acciones. Lo más importante es entender que es completamente irrelevante cómo determinamos la verdad o falsedad de la declaración. Estos "cómo" y "por qué" necesitan ser abstraídos. Solo importa la declaración de hecho: verdadero-falso.
Por supuesto, para la programación son importantes las funciones del álgebra de la lógica, que están escritas por el correspondientesignos y símbolos. Y aprenderlos significa dominar un nuevo idioma extranjero. Nada es imposible.
Conceptos básicos y definiciones
Sin profundizar, hablemos de la terminología. Entonces el álgebra booleana asume:
- declaraciones;
- operaciones lógicas;
- funciones y leyes.
Declaraciones son expresiones afirmativas que no pueden interpretarse de forma ambigua. Se escriben como números (5 > 3) o se formulan con palabras familiares (elefante es el mamífero más grande). Al mismo tiempo, la frase “la jirafa no tiene cuello” también tiene derecho a existir, solo el álgebra de Boole la definirá como “falsa”.
Todas las declaraciones deben ser inequívocas, pero pueden ser elementales y compuestas. Estos últimos utilizan conectores lógicos. Es decir, en el álgebra de juicios, los enunciados compuestos se forman sumando enunciados elementales por medio de operaciones lógicas.
Operaciones de álgebra booleana
Ya recordamos que las operaciones en el álgebra de juicios son lógicas. Así como el álgebra numérica usa la aritmética para sumar, restar o comparar números, los elementos de la lógica matemática le permiten hacer declaraciones complejas, negar o calcular el resultado final.
Las operaciones lógicas para la formalización y la simplicidad se escriben mediante fórmulas que nos son familiares en aritmética. Las propiedades del álgebra booleana hacen posible escribir ecuaciones y calcular incógnitas. Las operaciones lógicas generalmente se escriben usando una tabla de verdad. sus columnasdefine los elementos del cálculo y la operación que se realiza sobre ellos, y las líneas muestran el resultado del cálculo.
Acciones lógicas básicas
Las operaciones más comunes en el álgebra booleana son la negación (NOT) y los AND y OR lógicos. Casi todas las acciones en el álgebra de juicios pueden describirse de esta manera. Estudiemos cada una de las tres operaciones con más detalle.
La negación (no) se aplica a un solo elemento (operando). Por lo tanto, la operación de negación se llama unaria. Para escribir el concepto de "no A" utilice los siguientes símbolos: ¬A, A¯¯¯ o !A. En forma tabular se ve así:
La función de negación se caracteriza por la siguiente afirmación: si A es verdadero, entonces B es falso. Por ejemplo, la Luna gira alrededor de la Tierra, cierto; La tierra gira alrededor de la luna - falso.
Multiplicación y suma lógica
El AND lógico se llama operación de conjunción. ¿Qué significa? En primer lugar, que se puede aplicar a dos operandos, es decir, Y es una operación binaria. En segundo lugar, que sólo en el caso de la verdad de ambos operandos (tanto A como B) la expresión misma es verdadera. El proverbio "La paciencia y el trabajo triturarán todo" sugiere que solo ambos factores ayudarán a una persona a sobrellevar las dificultades.
Símbolos utilizados para escribir: A∧B, A⋅B o A&&B.
La conjunción es similar a la multiplicación en aritmética. A veces dicen eso: multiplicación lógica. Si multiplicamos los elementos de la tabla fila por fila, obtenemos un resultado similar al razonamiento lógico.
La disyunción es una operación OR lógica. Toma el valor de la verdadcuando al menos una de las afirmaciones es verdadera (ya sea A o B). Se escribe así: A∨B, A+B o A||B. Las tablas de verdad para estas operaciones son:
La disyunción es como la suma aritmética. La operación de suma lógica tiene una sola limitación: 1+1=1. Pero recordemos que en formato digital, la lógica matemática se limita a 0 y 1 (donde 1 es verdadero, 0 es falso). Por ejemplo, la afirmación "en un museo puedes ver una obra maestra o conocer a un interlocutor interesante" significa que puedes ver obras de arte o puedes conocer a una persona interesante. Al mismo tiempo, no se descarta la posibilidad de que ambos eventos ocurran simultáneamente.
Funciones y leyes
Entonces, ya sabemos qué operaciones lógicas usa el álgebra booleana. Las funciones describen todas las propiedades de los elementos de la lógica matemática y le permiten simplificar las condiciones compuestas complejas de los problemas. La propiedad más comprensible y simple parece ser el rechazo de las operaciones derivadas. Las derivadas son OR exclusivo, implicación y equivalencia. Como hemos estudiado solo las operaciones básicas, también consideraremos las propiedades solo de ellas.
Asociatividad significa que en sentencias como "y A, y B, y C", el orden de los operandos no importa. La fórmula se escribe así:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Como puede ver, esto es característico no solo de la conjunción, sino también de la disyunción.
La conmutatividad establece que el resultadoconjunción o disyunción no depende de qué elemento se consideró primero:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
La distributividad permite expandir paréntesis en expresiones lógicas complejas. Las reglas son similares a abrir corchetes en la multiplicación y la suma en álgebra:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Las propiedades de uno y cero, que pueden ser uno de los operandos, también son similares a la multiplicación algebraica por cero o uno y la suma por uno:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
La idempotencia nos dice que si, con respecto a dos operandos iguales, el resultado de una operación resulta ser similar, entonces podemos “tirar” los operandos sobrantes que complican el curso del razonamiento. Tanto la conjunción como la disyunción son operaciones idempotentes.
B∧B=B; B∨B=B.
La absorción también nos permite simplificar ecuaciones. La absorción establece que cuando se aplica otra operación con el mismo elemento a una expresión con un operando, el resultado es el operando de la operación de absorción.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Secuencia de operaciones
La secuencia de operaciones no es de poca importancia. En realidad, en cuanto al álgebra, hay una prioridad de funciones que usa el álgebra booleana. Las fórmulas se pueden simplificar solo si se observa el significado de las operaciones. Ordenando de más significativo a menos, obtenemos la siguiente secuencia:
1. Negación.
2. Conjunción.
3. Disyunción, exclusivaO.
4. Implicación, equivalencia.
Como puede ver, solo la negación y la conjunción no tienen la misma precedencia. Y la prioridad de disyunción y XOR son iguales, así como las prioridades de implicación y equivalencia.
Funciones de implicación y equivalencia
Como ya hemos dicho, además de las operaciones lógicas básicas, la lógica matemática y la teoría de algoritmos utilizan derivadas. Los más utilizados son implicación y equivalencia.
Implicación, o consecuencia lógica, es una declaración en la que una acción es una condición y la otra es una consecuencia de su implementación. En otras palabras, esta es una oración con preposiciones "si … entonces". "Si te gusta montar, ama llevar trineos". Es decir, para esquiar, debes apretar el trineo cuesta arriba. Si no hay ganas de bajar la montaña, entonces no tienes que llevar el trineo. Se escribe así: A→B o A⇒B.
Equivalencia asume que la acción resultante ocurre solo cuando ambos operandos son verdaderos. Por ejemplo, la noche se convierte en día cuando (y solo cuando) el sol sale por el horizonte. En el lenguaje de la lógica matemática, esta declaración se escribe de la siguiente manera: A≡B, A⇔B, A==B.
Otras leyes del álgebra booleana
El álgebra de los juicios se está desarrollando y muchos científicos interesados han formulado nuevas leyes. Los postulados del matemático escocés O. de Morgan se consideran los más famosos. Observó y definió propiedades como la negación cercana, el complemento y la doble negación.
Cerrar negación significa que no hay negación antes del paréntesis:no (A o B)=no A o NO B.
Cuando se niega un operando, independientemente de su valor, se habla de un complemento:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
Y finalmente, la doble negación se compensa. Aquellas. o la negación desaparece antes que el operando, o solo queda uno.
Cómo resolver pruebas
La lógica matemática implica la simplificación de ecuaciones dadas. Al igual que en el álgebra, primero debe hacer que la condición sea lo más fácil posible (deshacerse de entradas y operaciones complejas) y luego comenzar a buscar la respuesta correcta.
¿Qué se puede hacer para simplificar? Convierta todas las operaciones derivadas en simples. Luego abra todos los corchetes (o viceversa, sáquelo de los corchetes para acortar este elemento). El siguiente paso debería ser aplicar en la práctica las propiedades del álgebra booleana (absorción, propiedades del cero y del uno, etc.).
En última instancia, la ecuación debe consistir en el número mínimo de incógnitas combinadas mediante operaciones simples. La forma más fácil de encontrar una solución es lograr una gran cantidad de negativos cercanos. Entonces la respuesta aparecerá por sí misma.
