Métodos para establecer las ecuaciones de líneas en el plano y en el espacio tridimensional

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2024-01-02 17:45

La línea recta es el objeto geométrico principal en el plano y en el espacio tridimensional. Es a partir de líneas rectas que se construyen muchas figuras, por ejemplo: un paralelogramo, un triángulo, un prisma, una pirámide, etc. Considere en el artículo varias formas de establecer las ecuaciones de las líneas.

Definición de línea recta y tipos de ecuaciones para describirla

Cada alumno tiene una buena idea de qué objeto geométrico está hablando. Una línea recta se puede representar como una colección de puntos, y si conectamos cada uno de ellos a su vez con todos los demás, obtenemos un conjunto de vectores paralelos. En otras palabras, es posible llegar a cada punto de la línea desde uno de sus puntos fijos, transfiriéndolo a algún vector unitario multiplicado por un número real. Esta definición de línea recta se utiliza para definir una igualdad vectorial para su descripción matemática tanto en el plano como en el espacio tridimensional.

Una línea recta se puede representar matemáticamente mediante los siguientes tipos de ecuaciones:

general;
vectorial;
paramétrico;
en segmentos;
simétrico (canónico).

A continuación, consideraremos todos los tipos mencionados y mostraremos cómo trabajar con ellos usando ejemplos de resolución de problemas.

Vector y descripción paramétrica de una recta

Empecemos definiendo una línea recta a través de un vector conocido. Supongamos que hay un punto fijo en el espacio M(x₀; y₀; z_{0). Se sabe que la recta lo atraviesa y se dirige a lo largo del segmento vectorial v¯(a; b; c). ¿Cómo encontrar un punto arbitrario de la línea a partir de estos datos? La respuesta a esta pregunta dará la siguiente igualdad:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

Donde λ es un número arbitrario.

Se puede escribir una expresión similar para el caso bidimensional, donde las coordenadas de vectores y puntos se representan mediante un conjunto de dos números:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

Las ecuaciones escritas se denominan ecuaciones vectoriales, y el segmento dirigido v¯ en sí mismo es el vector director de la línea recta.

A partir de las expresiones escritas se obtienen simplemente las correspondientes ecuaciones paramétricas, basta reescribirlas explícitamente. Por ejemplo, para el caso en el espacio, obtenemos la siguiente ecuación:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

Es conveniente trabajar con ecuaciones paramétricas si necesitas analizar el comportamientocada coordenada. Tenga en cuenta que aunque el parámetro λ puede tomar valores arbitrarios, debe ser el mismo en las tres igualdades.

Ecuación general

Otra forma de definir una línea recta, que a menudo se usa para trabajar con el objeto geométrico considerado, es usar una ecuación general. Para el caso bidimensional, parece:

Ax + By + C=0

Aquí las letras latinas mayúsculas representan valores numéricos específicos. La conveniencia de esta igualdad en la resolución de problemas radica en el hecho de que contiene explícitamente un vector que es perpendicular a una línea recta. Si lo denotamos por n¯, entonces podemos escribir:

n¯=[A; B]

Además, es conveniente usar la expresión para determinar la distancia de una línea recta a algún punto P(x₁; y_{1). La fórmula para la distancia d es:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

Es fácil demostrar que si expresamos explícitamente la variable y de la ecuación general, obtenemos la siguiente forma bien conocida de escribir una línea recta:

y=kx + b

Donde k y b están determinados únicamente por los números A, B, C.

La ecuación en segmentos y canónica

Intersección de ejes de coordenadas de una línea recta

La ecuación en segmentos es más fácil de obtener desde la vista general. Le mostraremos cómo hacerlo.

Supongamos que tenemos la siguiente línea:

Ax + By + C=0

Mueva el término libre al lado derecho de la igualdad, luego divida toda la ecuación por él, obtenemos:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, donde q=-C / A, p=-C / B

Obtuvimos la llamada ecuación en segmentos. Obtuvo su nombre debido a que el denominador por el que se divide cada variable muestra el valor de la coordenada de la intersección de la recta con el eje correspondiente. Es conveniente utilizar este hecho para representar una línea recta en un sistema de coordenadas, así como para analizar su posición relativa en relación con otros objetos geométricos (líneas rectas, puntos).

Ahora pasemos a obtener la ecuación canónica. Esto es más fácil de hacer si consideramos la opción paramétrica. Para el caso del avión tenemos:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

Expresamos el parámetro λ en cada igualdad, luego las igualamos, obtenemos:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

Esta es la ecuación deseada escrita en forma simétrica. Al igual que una expresión vectorial, contiene explícitamente las coordenadas del vector director y las coordenadas de uno de los puntos que pertenecen a la línea.

Se puede ver que en este párrafo hemos dado ecuaciones para el caso bidimensional. De manera similar, puedes escribir la ecuación de una línea recta en el espacio. Cabe señalar aquí que si la forma canónicalos registros y la expresión en segmentos tendrán la misma forma, entonces la ecuación general en el espacio para una línea recta se representa mediante un sistema de dos ecuaciones para planos que se cortan.

El problema de construir la ecuación de una recta

De la geometría, todo estudiante sabe que a través de dos puntos se puede dibujar una sola línea. Suponga que los siguientes puntos están dados en el plano de coordenadas:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

Es necesario encontrar la ecuación de la recta a la que pertenecen ambos puntos, en segmentos, en forma vectorial, canónica y general.

Primero obtengamos la ecuación vectorial. Para hacer esto, defina para el vector de dirección directa M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Ahora puede crear una ecuación vectorial tomando uno de los dos puntos especificados en el enunciado del problema, por ejemplo, M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

Para obtener la ecuación canónica, es suficiente transformar la igualdad encontrada en una forma paramétrica y excluir el parámetro λ. Tenemos:

x=-1 - 2λ, por lo tanto λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, entonces obtenemos λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

Las dos ecuaciones restantes (general y en segmentos) se pueden encontrar a partir de la canónica transformándola de la siguiente manera:

x + 1=-2y + 6;

ecuación general: x + 2y - 5=0;

ecuación en segmentos: x / 5 + y / 2, 5=1

Las ecuaciones resultantes muestran que el vector (1; 2) debe ser perpendicular a la línea. De hecho, si encuentra su producto escalar con el vector de dirección, entonces será igual a cero. La ecuación del segmento de recta dice que la recta corta el eje x en (5; 0) y el eje y en (2, 5; 0).

El problema de determinar el punto de intersección de rectas

Dos rectas están dadas en el plano por las siguientes ecuaciones:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

Es necesario determinar las coordenadas del punto de intersección de estas líneas.

Hay dos formas de resolver el problema:

Transforma la ecuación vectorial en una forma general, luego resuelve el sistema de dos ecuaciones lineales.
No realice ninguna transformación, simplemente sustituya la coordenada del punto de intersección, expresada a través del parámetro λ, en la primera ecuación. Luego encuentre el valor del parámetro.

Hagamos la segunda forma. Tenemos: