Desigualdades algebraicas o sus sistemas con coeficientes racionales cuyas soluciones se buscan en números enteros o enteros. Por regla general, el número de incógnitas en las ecuaciones diofánticas es mayor. Por lo tanto, también se conocen como desigualdades indefinidas. En matemáticas modernas, el concepto anterior se aplica a ecuaciones algebraicas cuyas soluciones se buscan en enteros algebraicos de alguna extensión del campo de variables Q-racionales, el campo de variables p-ádicas, etc.
Los orígenes de estas desigualdades
El estudio de las ecuaciones diofánticas se encuentra en la frontera entre la teoría de números y la geometría algebraica. Encontrar soluciones en variables enteras es uno de los problemas matemáticos más antiguos. Ya a principios del segundo milenio antes de Cristo. los antiguos babilonios lograron resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Esta rama de las matemáticas floreció sobre todo en la antigua Grecia. La aritmética de Diofanto (ca. Siglo III d. C.) es una fuente importante y principal que contiene varios tipos y sistemas de ecuaciones.
En este libro, Diofanto previó una serie de métodos para estudiar las desigualdades del segundo y tercerGrados que se desarrollaron plenamente en el siglo XIX. La creación de la teoría de los números racionales por parte de este investigador de la antigua Grecia condujo al análisis de soluciones lógicas a sistemas indefinidos, que se siguen sistemáticamente en su libro. Aunque su trabajo contiene soluciones para ecuaciones diofánticas específicas, hay motivos para creer que también estaba familiarizado con varios métodos generales.
El estudio de estas desigualdades suele estar asociado a serias dificultades. Debido a que contienen polinomios con coeficientes enteros F (x, y1, …, y). Con base en esto, se sacaron conclusiones de que no existe un algoritmo único que pueda usarse para determinar para cualquier x dado si la ecuación F (x, y1, …., y ). La situación se puede resolver para y1, …, y . Se pueden escribir ejemplos de tales polinomios.
La desigualdad más simple
ax + by=1, donde a y b son números relativamente enteros y primos, tiene una gran cantidad de ejecuciones (si x0, y0 se forma el resultado, entonces el par de variables x=x0 + b e y=y0 -an, donde n es arbitrario, también se considerará como una desigualdad). Otro ejemplo de ecuaciones diofánticas es x2 + y2 =z2. Las soluciones integrales positivas de esta desigualdad son las longitudes de los lados pequeños x, y y los triángulos rectángulos, así como la hipotenusa z con dimensiones de lados enteros. Estos números se conocen como números pitagóricos. Todos los tripletes con respecto al primo indicadolas variables anteriores vienen dadas por x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, donde m y n son números enteros y primos (m>n>0).
Diofanto en su Aritmética busca soluciones racionales (no necesariamente integrales) de tipos especiales de sus desigualdades. C. G. Baschet desarrolló una teoría general para resolver ecuaciones diofánticas de primer grado en el siglo XVII. Otros científicos a principios del siglo XIX estudiaron principalmente desigualdades similares como ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, donde a, b, c, d, e y f son generales, heterogéneos, con dos incógnitas de segundo grado. Lagrange usó fracciones continuas en su estudio. Gauss para formas cuadráticas desarrolló una teoría general subyacente a algunos tipos de soluciones.
En el estudio de estas desigualdades de segundo grado, solo se lograron avances significativos en el siglo XX. A. Thue descubrió que la ecuación diofántica a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, donde n≧3, a0, …, a , c son números enteros, y a0tn + …+ a no puede tener un número infinito de soluciones enteras. Sin embargo, el método de Thue no se desarrolló adecuadamente. A. Baker creó teoremas efectivos que dan estimaciones sobre el desempeño de algunas ecuaciones de este tipo. BN Delaunay propuso otro método de investigación aplicable a una clase más estrecha de estas desigualdades. En particular, la forma ax3 + y3 =1 se puede resolver completamente de esta manera.
Ecuaciones diofánticas: métodos de solución
La teoría de Diofanto tiene muchas direcciones. Así, un problema bien conocido en este sistema es la hipótesis de que no existe una solución no trivial de las ecuaciones diofánticas xn + y =z n si n ≧ 3 (pregunta de Fermat). El estudio de los cumplimientos enteros de la desigualdad es una generalización natural del problema de los tripletes pitagóricos. Euler obtuvo una solución positiva del problema de Fermat para n=4. En virtud de este resultado, se refiere a la prueba del entero f altante, estudios distintos de cero de la ecuación si n es un número primo impar.
El estudio sobre la decisión no se ha completado. Las dificultades de su implementación están relacionadas con el hecho de que la factorización simple en el anillo de los enteros algebraicos no es única. La teoría de los divisores en este sistema para muchas clases de exponentes primos n permite confirmar la validez del teorema de Fermat. Así, la ecuación diofántica lineal con dos incógnitas se cumple con los métodos y formas existentes.
Tipos y tipos de tareas descritas
La aritmética de anillos de enteros algebraicos también se usa en muchos otros problemas y soluciones de ecuaciones diofánticas. Por ejemplo, dichos métodos se aplicaron al cumplir desigualdades de la forma N(a1 x1 +…+ a x)=m, donde N(a) es la norma de a, y x1, …, xn Se encuentran variables racionales integrales. Esta clase incluye la ecuación de Pell x2–dy2=1.
Los valores a1, …, a que aparecen, estas ecuaciones se dividen en dos tipos. El primer tipo - las llamadas formas completas - incluyen ecuaciones en las que entre a hay m números linealmente independientes sobre el campo de variables racionales Q, donde m=[Q(a1, …, a):Q], en la que hay un grado de exponentes algebraicos Q (a1, …, a ) sobre Q. Las especies incompletas son aquellas en que el número máximo de a i menor que m.
Las formas completas son más sencillas, su estudio es completo y se pueden describir todas las soluciones. El segundo tipo, especies incompletas, es más complicado y el desarrollo de tal teoría aún no se ha completado. Tales ecuaciones se estudian utilizando aproximaciones diofánticas, que incluyen la desigualdad F(x, y)=C, donde F (x, y) es un polinomio homogéneo e irreducible de grado n≧3. Por lo tanto, podemos suponer que yi→∞. En consecuencia, si yi es lo suficientemente grande, entonces la desigualdad contradirá el teorema de Thue, Siegel y Roth, del cual se sigue que F(x, y)=C, donde F es una forma de tercer grado o superior, el irreducible no puede tener un número infinito de soluciones.
¿Cómo resolver una ecuación diofántica?
Este ejemplo es una clase bastante estrecha entre todos. Por ejemplo, a pesar de su simplicidad, x3 + y3 + z3=N, y x2 +y 2 +z2 +u2 =N no están incluidos en esta clase. El estudio de las soluciones es una rama bastante estudiada de las ecuaciones diofánticas, donde la base es la representación por formas cuadráticas de números. Lagrangecreó un teorema que dice que el cumplimiento existe para todo N natural. Cualquier número natural puede representarse como la suma de tres cuadrados (teorema de Gauss), pero no debe tener la forma 4a (8K- 1), donde a y k son exponentes enteros no negativos.
Soluciones racionales o integrales de un sistema de una ecuación diofántica de tipo F (x1, …, x)=a, donde F (x 1, …, x) es una forma cuadrática con coeficientes enteros. Así, según el teorema de Minkowski-Hasse, la desigualdad ∑aijxixj=b ijy b es racional, tiene solución integral en números reales y p-ádicos para todo número primo p solo si es solucionable en esta estructura.
Debido a las dificultades inherentes, el estudio de números con formas arbitrarias de tercer grado y superiores se ha estudiado en menor medida. El principal método de ejecución es el método de las sumas trigonométricas. En este caso, el número de soluciones de la ecuación se escribe explícitamente en términos de la integral de Fourier. Posteriormente, se utiliza el método del entorno para expresar el número de cumplimientos de la desigualdad de las congruencias correspondientes. El método de las sumas trigonométricas depende de las características algebraicas de las desigualdades. Hay una gran cantidad de métodos elementales para resolver ecuaciones diofánticas lineales.
Análisis diofántico
Departamento de matemáticas, cuya materia es el estudio de soluciones integrales y racionales de sistemas de ecuaciones de álgebra por métodos de geometría, del mismoesferas En la segunda mitad del siglo XIX, el surgimiento de esta teoría de números condujo al estudio de las ecuaciones diofánticas desde un campo arbitrario con coeficientes, y se consideraban soluciones en él o en sus anillos. El sistema de funciones algebraicas se desarrolló en paralelo con los números. La analogía básica entre los dos, que fue enfatizada por D. Hilbert y, en particular, por L. Kronecker, condujo a la construcción uniforme de varios conceptos aritméticos, que generalmente se denominan globales.
Esto es especialmente notable si las funciones algebraicas bajo estudio sobre un campo finito de constantes son una variable. Conceptos como teoría de campos de clase, divisor y ramificación y resultados son una buena ilustración de lo anterior. Este punto de vista se adoptó en el sistema de desigualdades diofánticas solo más tarde, y la investigación sistemática no solo con coeficientes numéricos, sino también con coeficientes que son funciones, comenzó solo en la década de 1950. Uno de los factores decisivos en este enfoque fue el desarrollo de la geometría algebraica. El estudio simultáneo de los campos de números y funciones, que surgen como dos aspectos igualmente importantes de un mismo tema, no solo arrojó resultados elegantes y convincentes, sino que condujo al enriquecimiento mutuo de los dos temas.
En geometría algebraica, la noción de variedad se reemplaza por un conjunto no invariante de desigualdades sobre un campo K dado, y sus soluciones se reemplazan por puntos racionales con valores en K o en su extensión finita. En consecuencia, se puede decir que el problema fundamental de la geometría diofántica es el estudio de los puntos racionalesde un conjunto algebraico X(K), mientras que X son ciertos números en el campo K. La ejecución de enteros tiene un significado geométrico en las ecuaciones diofánticas lineales.
Estudios de desigualdad y opciones de ejecución
Al estudiar puntos racionales (o integrales) sobre variedades algebraicas, surge el primer problema, que es su existencia. El décimo problema de Hilbert se formula como el problema de encontrar un método general para resolver este problema. En el proceso de crear una definición exacta del algoritmo y después de que se demostró que tales ejecuciones no existen para una gran cantidad de problemas, el problema adquirió un resultado negativo obvio, y la pregunta más interesante es la definición de clases de ecuaciones diofánticas. para lo cual existe el sistema anterior. El enfoque más natural, desde un punto de vista algebraico, es el llamado principio de Hasse: el campo inicial K se estudia junto con sus complementos Kv sobre todas las estimaciones posibles. Dado que X(K)=X(Kv) son una condición necesaria para la existencia, y el punto K tiene en cuenta que el conjunto X(Kv) no está vacío para todos los v.
La importancia radica en que reúne dos problemas. El segundo es mucho más simple, es solucionable por un algoritmo conocido. En el caso particular en que la variedad X es proyectiva, el lema de Hansel y sus generalizaciones hacen posible una mayor reducción: el problema puede reducirse al estudio de puntos racionales sobre un campo finito. Luego decide construir un concepto a través de una investigación consistente o de métodos más efectivos.
últimouna consideración importante es que los conjuntos X(Kv) no son vacíos para todos excepto para un número finito de v, por lo que el número de condiciones siempre es finito y se pueden probar de manera efectiva. Sin embargo, el principio de Hasse no se aplica a las curvas de grado. Por ejemplo, 3x3 + 4y3=5 tiene puntos en todos los campos numéricos p-ádicos y en el sistema de números reales, pero no tiene puntos racionales.
Este método sirvió como punto de partida para construir un concepto que describiera las clases de los principales espacios homogéneos de las variedades abelianas para realizar una "desviación" del principio de Hasse. Se describe en términos de una estructura especial que se puede asociar con cada variedad (grupo Tate-Shafarevich). La principal dificultad de la teoría radica en el hecho de que los métodos para calcular grupos son difíciles de obtener. Este concepto también se ha extendido a otras clases de variedades algebraicas.
Buscar un algoritmo para resolver desigualdades
Otra idea heurística utilizada en el estudio de las ecuaciones diofánticas es que si el número de variables involucradas en un conjunto de desigualdades es grande, entonces el sistema generalmente tiene una solución. Sin embargo, esto es muy difícil de probar para cualquier caso particular. El enfoque general de problemas de este tipo utiliza la teoría analítica de números y se basa en estimaciones de sumas trigonométricas. Este método se aplicó originalmente a tipos especiales de ecuaciones.
Sin embargo, más tarde se demostró con su ayuda que si la forma de un grado impar es F, en dy n variables y con coeficientes racionales, entonces n es lo suficientemente grande en comparación con d, por lo que la hipersuperficie proyectiva F=0 tiene un punto racional. De acuerdo con la conjetura de Artin, este resultado es cierto incluso si n > d2. Esto solo ha sido probado para formas cuadráticas. También se pueden plantear problemas similares para otros campos. El problema central de la geometría diofántica es la estructura del conjunto de puntos enteros o racionales y su estudio, y la primera cuestión a aclarar es si este conjunto es finito. En este problema, la situación suele tener un número finito de ejecuciones si el grado del sistema es mucho mayor que el número de variables. Esta es la suposición básica.
Desigualdades en rectas y curvas
El grupo X(K) se puede representar como la suma directa de una estructura libre de rango ry un grupo finito de orden n. Desde la década de 1930, se ha estudiado la cuestión de si estos números están acotados en el conjunto de todas las curvas elípticas sobre un campo dado K. La acotación de la torsión n se demostró en los años setenta. Hay curvas de alto rango arbitrario en el caso funcional. En el caso numérico, todavía no hay respuesta a esta pregunta.
Finalmente, la conjetura de Mordell establece que el número de puntos integrales es finito para una curva de género g>1. En el caso funcional, este concepto fue demostrado por Yu. I. Manin en 1963. La principal herramienta utilizada para probar los teoremas de finitud en la geometría diofántica es la altura. De las variedades algebraicas, las dimensiones superiores a uno son abelianas.las variedades, que son los análogos multidimensionales de las curvas elípticas, han sido las más estudiadas.
A. Weil generalizó el teorema sobre la finitud del número de generadores de un grupo de puntos racionales a variedades abelianas de cualquier dimensión (el concepto de Mordell-Weil), ampliándolo. En la década de 1960 apareció la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer mejorando ésta y las funciones de grupo y zeta de la variedad. La evidencia numérica apoya esta hipótesis.
Problema de solucionabilidad
El problema de encontrar un algoritmo que pueda usarse para determinar si cualquier ecuación diofántica tiene solución. Una característica esencial del problema planteado es la búsqueda de un método universal que sea adecuado para cualquier desigualdad. Tal método también permitiría resolver los sistemas anteriores, ya que es equivalente a P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 o p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. El problema de encontrar una forma tan universal de encontrar soluciones para desigualdades lineales en números enteros fue planteado por D. Gilbert.
A principios de la década de 1950, aparecieron los primeros estudios destinados a demostrar la inexistencia de un algoritmo para resolver ecuaciones diofánticas. En este momento apareció la conjetura de Davis, que decía que cualquier conjunto enumerable también pertenece al científico griego. Porque se conocen ejemplos de conjuntos algorítmicamente indecidibles, pero son recursivamente enumerables. De ello se deduce que la conjetura de Davis es verdadera y el problema de resolución de estas ecuacionestiene una ejecución negativa.
Después de eso, para la conjetura de Davis, queda probar que existe un método para transformar una desigualdad que también (o no) al mismo tiempo tiene solución. Se demostró que tal cambio de la ecuación diofántica es posible si tiene las dos propiedades anteriores: 1) en cualquier solución de este tipo v ≦ uu; 2) para cualquier k, hay una ejecución con crecimiento exponencial.
Un ejemplo de una ecuación diofántica lineal de esta clase completó la prueba. El problema de la existencia de un algoritmo para la solución y reconocimiento de estas desigualdades en números racionales todavía se considera una cuestión importante y abierta que no ha sido suficientemente estudiada.
