En física, la consideración de problemas con cuerpos en rotación o sistemas que se encuentran en equilibrio se realiza utilizando el concepto de "momento de fuerza". Este artículo considerará la fórmula para el momento de la fuerza, así como su uso para resolver este tipo de problema.
Momento de fuerza en física
Como se indicó en la introducción, este artículo se centrará en los sistemas que pueden girar alrededor de un eje o alrededor de un punto. Considere un ejemplo de dicho modelo, que se muestra en la siguiente figura.
Vemos que la palanca gris está fija en el eje de rotación. Al final de la palanca hay un cubo negro de cierta masa, sobre el que actúa una fuerza (flecha roja). Es intuitivamente claro que el resultado de esta fuerza será la rotación de la palanca alrededor del eje en sentido antihorario.
El momento de la fuerza es una cantidad en física, que es igual al producto vectorial del radio que conecta el eje de rotación y el punto de aplicación de la fuerza (vector verde en la figura), y la fuerza externa sí mismo. Es decir, la fórmula para el momento de fuerza con respecto al eje se escribecomo sigue:
M¯=r¯F¯
El resultado de este producto es el vector M¯. Su dirección se determina a partir del conocimiento de los vectores multiplicadores, es decir, r¯ y F¯. Según la definición de producto vectorial, M¯ debe ser perpendicular al plano formado por los vectores r¯ y F¯, y estar dirigido de acuerdo con la regla de la mano derecha (si se colocan cuatro dedos de la mano derecha a lo largo del primer vector hacia el final del segundo, luego el pulgar indica hacia dónde se dirige el vector deseado). En la figura se puede ver hacia dónde se dirige el vector M¯ (flecha azul).
Notación escalar M¯
En la figura del párrafo anterior, la fuerza (flecha roja) actúa sobre la palanca en un ángulo de 90°o. En el caso general, se puede aplicar en absolutamente cualquier ángulo. Considere la imagen a continuación.
Aquí vemos que la fuerza F ya está actuando sobre la palanca L en un cierto ángulo Φ. Para este sistema, la fórmula para el momento de fuerza relativo a un punto (indicado por una flecha) en forma escalar tomará la forma:
M=LFsin(Φ)
De la expresión se sigue que el momento de la fuerza M será tanto mayor cuanto más cerca esté la dirección de acción de la fuerza F del ángulo 90o con respecto a L Por el contrario, si F actúa a lo largo de L, entonces sin(0)=0 y la fuerza no crea ningún momento (M=0).
Al considerar el momento de la fuerza en forma escalar, a menudo se usa el concepto de "palanca de fuerza". Este valor es la distancia entre el eje (puntorotación) y el vector F. Aplicando esta definición a la figura anterior, podemos decir que d=Lsin(Φ) es la palanca de la fuerza (la igualdad se deriva de la definición de la función trigonométrica "seno"). A través de la palanca de la fuerza, la fórmula para el momento M se puede reescribir de la siguiente manera:
M=reF
Significado físico de M
La cantidad física considerada determina la capacidad de la fuerza externa F para ejercer un efecto de rotación sobre el sistema. Para poner el cuerpo en movimiento de rotación, es necesario informarle de algún momento M.
Un excelente ejemplo de este proceso es abrir o cerrar la puerta de una habitación. Sosteniendo la manija, la persona hace un esfuerzo y gira la puerta sobre sus goznes. Todo el mundo puede hacerlo. Si intenta abrir la puerta actuando sobre ella cerca de las bisagras, deberá hacer un gran esfuerzo para moverla.
Otro ejemplo es aflojar una tuerca con una llave. Cuanto más corta sea esta clave, más difícil será completar la tarea.
Las características indicadas se demuestran mediante la fórmula del momento de fuerza sobre el hombro, que se dio en el párrafo anterior. Si M se considera un valor constante, entonces cuanto menor d, mayor F se debe aplicar para crear un momento de fuerza dado.
Varias fuerzas actuantes en el sistema
Los casos se consideraron anteriormente cuando solo una fuerza F actúa sobre un sistema capaz de rotar, pero ¿qué pasa si hay varias de esas fuerzas? En efecto, esta situación es más frecuente, ya que sobre el sistema pueden actuar fuerzasdiferente naturaleza (gravitacionales, eléctricas, de fricción, mecánicas y otras). En todos estos casos, el momento resultante de la fuerza M¯ puede obtenerse utilizando la suma vectorial de todos los momentos Mi¯, es decir:
M¯=∑i(Mi¯), donde i es el número de fuerza Fi
De la propiedad de la aditividad de los momentos se deriva una conclusión importante, que se llama el teorema de Varignon, llamado así por el matemático de finales del siglo XVII y principios del siglo XVIII, el francés Pierre Varignon. Dice: "La suma de los momentos de todas las fuerzas que actúan sobre el sistema en consideración se puede representar como un momento de una fuerza, que es igual a la suma de todas las demás y se aplica en un punto determinado". Matemáticamente, el teorema se puede escribir de la siguiente manera:
∑i(Mi¯)=M¯=d∑i (Fi¯)
Este importante teorema se usa a menudo en la práctica para resolver problemas sobre la rotación y el equilibrio de los cuerpos.
¿Un momento de fuerza hace trabajo?
Al analizar las fórmulas anteriores en forma escalar o vectorial, podemos concluir que el valor de M es algo de trabajo. En efecto, su dimensión es Nm, que en el SI corresponde al julio (J). De hecho, el momento de fuerza no es trabajo, sino solo una cantidad que es capaz de hacerlo. Para que esto suceda, es necesario que haya un movimiento circular en el sistema y una acción a largo plazo M. Por lo tanto, la fórmula para el trabajo del momento de la fuerza se escribe de la siguiente manera:
A=METROθ
BEn esta expresión, θ es el ángulo a través del cual se realizó la rotación por el momento de la fuerza M. Como resultado, la unidad de trabajo se puede escribir como Nmrad o Jrad. Por ejemplo, un valor de 60 Jrad indica que cuando se gira 1 radián (aproximadamente 1/3 del círculo), la fuerza F que crea el momento M realizó un trabajo de 60 julios. Esta fórmula se suele utilizar para resolver problemas en sistemas donde actúan fuerzas de fricción, como se verá a continuación.
Momento de fuerza y momento de cantidad de movimiento
Como se muestra, el impacto del momento M en el sistema conduce a la aparición de un movimiento de rotación en él. Este último se caracteriza por una cantidad llamada "momentum". Se puede calcular usando la fórmula:
L=yoω
Aquí I es el momento de inercia (un valor que juega el mismo papel en la rotación que la masa en el movimiento lineal del cuerpo), ω es la velocidad angular, está relacionada con la velocidad lineal por la fórmula ω=v/r.
Ambos momentos (cantidad de movimiento y fuerza) están relacionados entre sí por la siguiente expresión:
M=Iα, donde α=dω / dt es la aceleración angular.
Demos otra fórmula que es importante para resolver problemas para el trabajo de momentos de fuerzas. Usando esta fórmula, puedes calcular la energía cinética de un cuerpo giratorio. Ella se ve así:
Ek=1/2Iω2
A continuación, presentamos dos problemas con soluciones, donde mostramos cómo utilizar las fórmulas físicas consideradas.
Equilibrio de varios cuerpos
La primera tarea está relacionada con el equilibrio de un sistema en el que actúan varias fuerzas. Sobre elLa siguiente figura muestra un sistema sobre el que actúan tres fuerzas. Es necesario calcular qué masa debe suspenderse el objeto de esta palanca y en qué punto debe hacerse para que este sistema esté en equilibrio.
De las condiciones del problema, podemos entender que para resolverlo, se debe usar el teorema de Varignon. La primera parte del problema se puede responder inmediatamente, ya que el peso del objeto a colgar de la palanca será:
P=F1 - F2 + F3=20 - 10 + 25=35 H
Los signos aquí se eligen teniendo en cuenta que la fuerza que hace girar la palanca en el sentido contrario a las agujas del reloj crea un momento negativo.
La posición del punto d, donde debe colgarse este peso, se calcula mediante la fórmula:
M1 - M2 + M3=dP=720 - 510 + 325=d35=> d=165/35=4, 714 m
Tenga en cuenta que usando la fórmula para el momento de la gravedad, calculamos el valor equivalente M del creado por tres fuerzas. Para que el sistema esté en equilibrio es necesario suspender un cuerpo de 35 N en el punto 4, a 714 m del eje del otro lado de la palanca.
Problema de disco en movimiento
La solución del siguiente problema se basa en el uso de la fórmula para el momento de la fuerza de fricción y la energía cinética del cuerpo de revolución. Tarea: Dado un disco con un radio de r=0,3 metros, que gira a una velocidad de ω=1 rad/s. Es necesario calcular la distancia que puede recorrer en la superficie si el coeficiente de fricción de rodadura es Μ=0.001.
Este problema es más fácil de resolver si usas la ley de conservación de la energía. Tenemos la energía cinética inicial del disco. Cuando empieza a rodar, toda esta energía se gasta en calentar la superficie por la acción de la fuerza de fricción. Igualando ambas cantidades, obtenemos la expresión:
Iω2/2=ΜN/rrθ
La primera parte de la fórmula es la energía cinética del disco. La segunda parte es el trabajo del momento de la fuerza de fricción F=ΜN/r, aplicada al borde del disco (M=Fr).
Dado que N=mg y I=1/2mr2, calculamos θ:
θ=metror2 ω2/(4Μmetrog)=r 2 ω2/(4Μ g)=0, 32 1 2/(40,0019,81)=2,29358 rad
Dado que 2pi radianes corresponden a la longitud de 2pir, entonces obtenemos que la distancia requerida que cubrirá el disco es:
s=θr=2.293580.3=0.688m o alrededor de 69cm
Tenga en cuenta que la masa del disco no afecta este resultado.
