Al estudiar las propiedades de una ecuación cuadrática, se estableció una restricción: para un discriminante menor que cero, no hay solución. Inmediatamente se estipuló que estamos hablando de un conjunto de números reales. La mente inquisitiva de un matemático estará interesada: ¿cuál es el secreto contenido en la cláusula sobre valores reales?
Con el tiempo, los matemáticos introdujeron el concepto de números complejos, donde el valor condicional de la segunda raíz de menos uno se toma como una unidad.
Antecedentes históricos
La teoría matemática se desarrolla secuencialmente, de lo simple a lo complejo. Averigüemos cómo surgió el concepto llamado "número complejo" y por qué es necesario.
Desde tiempos inmemoriales, la base de las matemáticas fue la cuenta corriente. Los investigadores solo conocían el conjunto natural de valores. La suma y la resta eran simples. A medida que las relaciones económicas se hicieron más complejas, se empezó a utilizar la multiplicación en lugar de sumar los mismos valores. Hay una operación inversa paramultiplicación - división.
El concepto de número natural limitaba el uso de operaciones aritméticas. Es imposible resolver todos los problemas de división en el conjunto de valores enteros. Trabajar con fracciones condujo primero al concepto de valores racionales y luego a valores irracionales. Si para el racional es posible indicar la ubicación exacta del punto en la línea, entonces para el irracional es imposible indicar tal punto. Solo puedes aproximar el intervalo. La unión de números racionales e irracionales formaba un conjunto real, que se puede representar como una recta determinada con una escala dada. Cada paso a lo largo de la línea es un número natural, y entre ellos hay valores racionales e irracionales.
La era de las matemáticas teóricas ha comenzado. El desarrollo de la astronomía, la mecánica, la física requirió la solución de ecuaciones cada vez más complejas. En general, se encontraron las raíces de la ecuación cuadrática. Al resolver un polinomio cúbico más complejo, los científicos se encontraron con una contradicción. El concepto de una raíz cúbica a partir de un negativo tiene sentido, pero para una raíz cuadrada se obtiene incertidumbre. Además, la ecuación cuadrática es solo un caso especial de la cúbica.
En 1545, el italiano J. Cardano propuso introducir el concepto de número imaginario.
Este número es la segunda raíz de menos uno. El término número complejo finalmente se formó solo trescientos años después, en los trabajos del famoso matemático Gauss. Propuso extender formalmente todas las leyes del álgebra al número imaginario. La línea real se ha extendido aaviones El mundo es más grande.
Conceptos básicos
Recuerde una serie de funciones que tienen restricciones en el conjunto real:
- y=arcsen(x), definido entre negativo y positivo 1.
- y=ln(x), el logaritmo decimal tiene sentido con argumentos positivos.
- raíz cuadrada y=√x, calculada solo para x ≧ 0.
Denotando i=√(-1), introducimos un concepto como un número imaginario, esto eliminará todas las restricciones del dominio de definición de las funciones anteriores. Expresiones como y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) tienen sentido en algún espacio de números complejos.
La forma algebraica se puede escribir como una expresión z=x + i×y en el conjunto de valores reales de x e y, y i2 =-1.
El nuevo concepto elimina todas las restricciones sobre el uso de cualquier función algebraica y se asemeja a un gráfico de una línea recta en coordenadas de valores reales e imaginarios.
Plano complejo
La forma geométrica de los números complejos nos permite representar visualmente muchas de sus propiedades. En el eje Re(z) marcamos los valores reales de x, en Im(z) - los valores imaginarios de y, luego el punto z en el plano mostrará el valor complejo requerido.
Definiciones:
- Re(z) - eje real.
- Im(z) - significa el eje imaginario.
- z - punto condicional de un número complejo.
- El valor numérico de la longitud del vector de cero a z se llamamódulo.
- Los ejes real e imaginario dividen el plano en cuartos. Con un valor positivo de las coordenadas - I cuarto. Cuando el argumento del eje real es menor que 0, y el eje imaginario es mayor que 0 - II cuarto. Cuando las coordenadas son negativas - III trimestre. El último cuarto trimestre contiene muchos valores reales positivos y valores imaginarios negativos.
Así, en un plano con valores de coordenadas x e y, uno siempre puede visualizar un punto de un número complejo. Se introduce el carácter i para separar la parte real de la imaginaria.
Propiedades
- Cuando el valor del argumento imaginario es cero, obtenemos solo un número (z=x), que se ubica en el eje real y pertenece al conjunto real.
- Caso especial cuando el valor del argumento real se vuelve cero, la expresión z=i×y corresponde a la ubicación del punto en el eje imaginario.
- La forma general de z=x + i×y será para valores distintos de cero de los argumentos. Indica la ubicación del punto que caracteriza el número complejo en uno de los cuartos.
Notación trigonométrica
Recuerda el sistema de coordenadas polares y la definición de las funciones trigonométricas sen y cos. Es obvio que con la ayuda de estas funciones es posible describir la ubicación de cualquier punto en el plano. Para ello basta conocer la longitud del haz polar y el ángulo de inclinación respecto al eje real.
Definición. Una entrada de la forma ∣z ∣ multiplicada por la suma de las funciones trigonométricas cos(ϴ) y la parte imaginaria i ×sin(ϴ) se denomina número complejo trigonométrico. Aquí la designación es el ángulo de inclinación al eje real
ϴ=arg(z) y r=∣z∣, longitud del haz.
A partir de la definición y las propiedades de las funciones trigonométricas, se sigue una fórmula de Moivre muy importante:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).
Usando esta fórmula, es conveniente resolver muchos sistemas de ecuaciones que contienen funciones trigonométricas. Especialmente cuando surge el problema de elevar a una potencia.
Módulo y fase
Para completar la descripción de un conjunto complejo, proponemos dos definiciones importantes.
Conociendo el teorema de Pitágoras, es fácil calcular la longitud del haz en el sistema de coordenadas polares.
r=∣z∣=√(x2 + y2), tal notación en un espacio complejo se llama " module" y caracteriza la distancia de 0 a un punto en el plano.
El ángulo de inclinación del haz complejo con respecto a la línea real ϴ se denomina comúnmente fase.
La definición muestra que las partes real e imaginaria se describen usando funciones cíclicas. A saber:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
A la inversa, la fase se relaciona con valores algebraicos a través de la fórmula:
ϴ=arctan(x / y) + µ, se introduce la corrección µ para tener en cuenta la periodicidad de las funciones geométricas.
Fórmula de Euler
Los matemáticos suelen utilizar la forma exponencial. Los números planos complejos se escriben como expresiones
z=r × ei×ϴ , que se deriva de la fórmula de Euler.
Este registro es ampliamente utilizado para el cálculo práctico de cantidades físicas. Forma de presentación en el formularioLos números complejos exponenciales son especialmente convenientes para los cálculos de ingeniería, donde se hace necesario calcular circuitos con corrientes sinusoidales y es necesario conocer el valor de integrales de funciones con un período dado. Los propios cálculos sirven como herramienta en el diseño de varias máquinas y mecanismos.
Definir operaciones
Como ya se señaló, todas las leyes algebraicas para trabajar con funciones matemáticas básicas se aplican a los números complejos.
Operación suma
Al sumar valores complejos, también se suman sus partes real e imaginaria.
z=z1 + z2 donde z1 y z2 - números complejos generales. Transformando la expresión, después de abrir los paréntesis y simplificar la notación, obtenemos el argumento real x=(x1 + x2), el argumento imaginario y=(y 1 + y2).
En el gráfico, parece la suma de dos vectores, según la conocida regla del paralelogramo.
Operación de resta
Considerado como un caso especial de suma, cuando un número es positivo, el otro es negativo, es decir, se ubica en el cuarto del espejo. La notación algebraica parece la diferencia entre las partes real e imaginaria.
z=z1 - z2, o teniendo en cuenta los valores de los argumentos, de forma similar a la suma operación, obtenemos para los valores reales x=(x1 - x2) e imaginario y=(y1- y2).
Multiplicación en el plano complejo
Usando las reglas para trabajar con polinomios, derivamos la fórmulapara resolver números complejos.
Siguiendo las reglas algebraicas generales z=z1×z2, describe cada argumento y enumera los similares. Las partes real e imaginaria se pueden escribir así:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
Se ve más hermoso si usamos números complejos exponenciales.
La expresión se ve así: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × miiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
Más simple, los módulos se multiplican y las fases se suman.
División
Al considerar la operación de división como la inversa de la multiplicación, obtenemos una expresión simple en notación exponencial. Dividir el valor z1 entre z2 es el resultado de dividir sus módulos y diferencia de fase. Formalmente, cuando se usa la forma exponencial de números complejos, se ve así:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
En forma de notación algebraica, la operación de dividir los números del plano complejo se escribe un poco más complicada:
z=z1 / z2.
Describiendo argumentos y realizando transformaciones polinomiales, es fácil obtener valoresx=x1 × x2 + y1 × y2, respectivamente y=x2 × y1 - x1 × y2 , sin embargo, dentro del espacio descrito, esta expresión tiene sentido si z2 ≠ 0.
Extrae la raíz
Todo lo anterior se puede aplicar al definir funciones algebraicas más complejas, elevando a cualquier potencia e inversamente, extrayendo la raíz.
Usando el concepto general de elevar a la potencia n, obtenemos la definición:
zn =(r × eiϴ).
Usando propiedades comunes, reescribe como:
zn =rn × eiϴ.
Tenemos una fórmula simple para elevar un número complejo a una potencia.
De la definición del grado obtenemos una consecuencia muy importante. Una potencia par de la unidad imaginaria es siempre 1. Cualquier potencia impar de la unidad imaginaria es siempre -1.
Ahora estudiemos la función inversa: extraer la raíz.
Para facilitar la notación, tomemos n=2. La raíz cuadrada w del valor complejo z en el plano complejo C se considera que es la expresión z=±, válida para cualquier argumento real mayor o igual que cero. Para w ≦ 0, no hay solución.
Veamos la ecuación cuadrática más simple z2 =1. Usando fórmulas de números complejos, reescriba r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. Del registro se puede ver que r2 =1 y ϴ=0, por lo tanto, tenemos una única solución igual a 1. Pero esto contradice la idea de que z=-1 también se ajusta a la definición de raíz cuadrada.
Averigüemos qué es lo que no tenemos en cuenta. Si recordamos la notación trigonométrica, entonces restauramos la declaración: con un cambio periódico en la fase ϴ, el número complejo no cambia. Sea p el valor del período, entonces tenemos r2 × ei2ϴ =ei(0+p), de donde 2ϴ=0 + p, o ϴ=p / 2. Por lo tanto, ei0 =1 y eip/2 =-1. Obtuvimos la segunda solución, que corresponde a la comprensión general de la raíz cuadrada.
Entonces, para encontrar una raíz arbitraria de un número complejo, seguiremos el procedimiento.
- Escribe la forma exponencial w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k es un número entero arbitrario.
- El número deseado también se representa en la forma de Euler z=r × eiϴ.
- Utilice la definición general de la función de extracción de raíz r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + pk).
- De las propiedades generales de la igualdad de módulos y argumentos, escribimos rn =∣w∣ y nϴ=arg (w) + p×k.
- El registro final de la raíz de un número complejo se describe mediante la fórmula z=√∣w∣ × ei ( arg (w) + paquete ) / .
- Nota. El valor de ∣w∣, por definición,es un número real positivo, por lo que la raíz de cualquier grado tiene sentido.
Campo y conjugación
En conclusión, damos dos definiciones importantes que son de poca importancia para resolver problemas aplicados con números complejos, pero que son esenciales para el desarrollo posterior de la teoría matemática.
Se dice que las expresiones de suma y multiplicación forman un campo si satisfacen los axiomas para cualquier elemento del plano complejo z:
- La suma compleja no cambia al cambiar de lugar los términos complejos.
- La afirmación es verdadera: en una expresión compleja, cualquier suma de dos números puede reemplazarse por su valor.
- Hay un valor neutral 0 para el cual z + 0=0 + z=z es verdadero.
- Para cualquier z hay un opuesto - z, cuya suma da cero.
- Al cambiar de lugar los factores complejos, el producto complejo no cambia.
- La multiplicación de dos números cualquiera se puede reemplazar por su valor.
- Hay un valor neutral 1, cuya multiplicación no cambia el número complejo.
- Para todo z ≠ 0, existe un inverso de z-1, que se multiplica por 1.
- Multiplicar la suma de dos números por un tercio equivale a la operación de multiplicar cada uno de ellos por ese número y sumar los resultados.
- 0 ≠ 1.
Los números z1 =x + i×y y z2 =x - i×y se denominan conjugados.
Teorema. Para la conjugación, la afirmación es verdadera:
- La conjugación de la suma es igual a la suma de los elementos conjugados.
- El conjugado del producto esproducto de conjugaciones.
- La conjugación de la conjugación es igual al número mismo.
En álgebra general, tales propiedades se denominan automorfismos de campo.
Ejemplos
Siguiendo las reglas y fórmulas dadas de los números complejos, puede operar fácilmente con ellos.
Consideremos los ejemplos más simples.
Problema 1. Utilizando la ecuación 3y +5 x i=15 - 7i, determina x e y.
Decisión. Recuerda la definición de igualdades complejas, entonces 3y=15, 5x=-7. Por lo tanto, x=-7 / 5, y=5.
Tarea 2. Calcular los valores 2 + i28 y 1 + i135.
Decisión. Obviamente, 28 es un número par, por consecuencia de la definición de número complejo en la potencia tenemos i28 =1, lo que significa que la expresión 2 + i 28 =3. El segundo valor, i135 =-1, luego 1 + i135 =0.
Tarea 3. Calcular el producto de los valores 2 + 5i y 4 + 3i.
Decisión. De las propiedades generales de la multiplicación de números complejos, obtenemos (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). El nuevo valor será -7 + 26i.
Tarea 4. Calcular las raíces de la ecuación z3 =-i.
Decisión. Hay varias formas de encontrar un número complejo. Consideremos uno de los posibles. Por definición, ∣ - i∣=1, la fase para -i es -p / 4. La ecuación original se puede reescribir como r3ei3ϴ =e-p/4+pk, de donde z=e-p / 12 + pk/3, para cualquier entero k.
El conjunto solución tiene la forma (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
¿Por qué necesitamos los números complejos?
La historia conoce muchos ejemplos cuando los científicos, trabajando en una teoría, ni siquiera piensan en la aplicación práctica de sus resultados. Las matemáticas son, ante todo, un juego de la mente, una estricta adherencia a las relaciones de causa y efecto. Casi todas las construcciones matemáticas se reducen a resolver ecuaciones integrales y diferenciales, y éstas, a su vez, con alguna aproximación, se resuelven encontrando las raíces de polinomios. Aquí nos encontramos por primera vez con la paradoja de los números imaginarios.
Los científicos naturalistas, resolviendo problemas completamente prácticos, recurriendo a soluciones de varias ecuaciones, descubren paradojas matemáticas. La interpretación de estas paradojas conduce a descubrimientos absolutamente sorprendentes. La naturaleza dual de las ondas electromagnéticas es uno de esos ejemplos. Los números complejos juegan un papel crucial en la comprensión de sus propiedades.
Esto, a su vez, ha encontrado aplicación práctica en óptica, radioelectrónica, energía y muchos otros campos tecnológicos. Otro ejemplo, fenómenos físicos mucho más difíciles de entender. La antimateria fue predicha en la punta de un bolígrafo. Y solo muchos años después, comienzan los intentos de sintetizarlo físicamente.
No creas que solo en física existen tales situaciones. Se hacen descubrimientos no menos interesantes en la vida silvestre, en la síntesis de macromoléculas, durante el estudio de la inteligencia artificial. Y todo es gracias aexpansión de nuestra conciencia, alejándonos de la simple suma y resta de valores naturales.
