A menudo, en física, uno tiene que resolver problemas para calcular el equilibrio en sistemas complejos que tienen muchas fuerzas actuantes, palancas y ejes de rotación. En este caso, es más fácil usar el concepto de momento de fuerza. Este artículo proporciona todas las fórmulas necesarias con explicaciones detalladas que deben usarse para resolver problemas del tipo mencionado.
¿De qué hablaremos?
Muchas personas probablemente notaron que si actúas con alguna fuerza sobre un objeto fijo en un punto determinado, comienza a girar. Un ejemplo llamativo es la puerta de la casa o de la habitación. Si lo toma por el asa y empuja (aplica fuerza), comenzará a abrirse (gira sobre sus bisagras). Este proceso es una manifestación en la vida cotidiana de la acción de una cantidad física, que se denomina momento de fuerza.
Del ejemplo descrito con la puerta se deduce que el valor en cuestión indica la capacidad de rotación de la fuerza, que es su significado físico. También este valorse llama momento de torsión.
Determinación del momento de fuerza
Antes de definir la cantidad bajo consideración, tomemos una imagen simple.
Entonces, la figura muestra una palanca (azul), que está fija en el eje (verde). Esta palanca tiene una longitud d y en su extremo se aplica una fuerza F. ¿Qué sucederá con el sistema en este caso? Así es, la palanca comenzará a girar en sentido contrario a las agujas del reloj cuando se vea desde arriba (tenga en cuenta que si estira un poco su imaginación e imagina que la vista se dirige desde abajo hacia la palanca, entonces girará en el sentido de las agujas del reloj).
Llamémosle O al punto de unión del eje, y P al punto de aplicación de la fuerza. Entonces, podemos escribir la siguiente expresión matemática:
OP¯ F¯=M¯FO.
Donde OP¯ es el vector que se dirige desde el eje hasta el final de la palanca, también se denomina palanca de fuerza, F¯es la fuerza vectorial aplicada al punto P, y M¯FO es el momento de la fuerza con respecto al punto O (eje). Esta fórmula es la definición matemática de la cantidad física en cuestión.
Dirección del momento y regla de la mano derecha
La expresión anterior es un producto cruzado. Como sabes, su resultado es también un vector perpendicular al plano que pasa por los correspondientes vectores multiplicadores. Esta condición se cumple con dos direcciones del valor M¯FO (hacia abajo y hacia arriba).
Solopara determinar, se debe usar la llamada regla de la mano derecha. Se puede formular de esta manera: si doblas cuatro dedos de tu mano derecha en un medio arco y diriges este medio arco de manera que vaya a lo largo del primer vector (el primer factor en la fórmula) y vaya al final de el segundo, luego el pulgar que sobresale hacia arriba indicará la dirección del momento de torsión. Tenga en cuenta también que antes de usar esta regla, debe configurar los vectores multiplicados para que salgan del mismo punto (sus orígenes deben coincidir).
En el caso de la figura del párrafo anterior, podemos decir, aplicando la regla de la mano derecha, que el momento de fuerza relativo al eje estará dirigido hacia arriba, es decir, hacia nosotros.
Además del método marcado para determinar la dirección del vector M¯FO, hay dos más. Aquí están:
- El momento de torsión estará dirigido de tal manera que si miras la palanca giratoria desde el final de su vector, este último se moverá contrarreloj. Generalmente se acepta considerar esta dirección del momento como positiva cuando se resuelven varios tipos de problemas.
- Si gira el gimlet en el sentido de las agujas del reloj, el par se dirigirá hacia el movimiento (profundización) del gimlet.
Todas las definiciones anteriores son equivalentes, por lo que cada uno puede elegir la que más le convenga.
Entonces, se encontró que la dirección del momento de la fuerza es paralela al eje alrededor del cual gira la palanca correspondiente.
Fuerza angular
Considera la siguiente imagen.
Aquí también vemos una palanca de longitud L fijada en un punto (indicado por una flecha). Sobre él actúa una fuerza F, sin embargo, está dirigida en un cierto ángulo Φ (phi) a la palanca horizontal. La dirección del momento M¯FO en este caso será la misma que en la figura anterior (a nosotros). Para calcular el valor absoluto o módulo de esta cantidad, debe usar la propiedad del producto cruzado. Según él, para el ejemplo bajo consideración, puedes escribir la expresión: MFO=LFsin(180 o -Φ) o, usando la propiedad del seno, reescribimos:
MFO=LFsin(Φ).
La figura también muestra un triángulo rectángulo completo, cuyos lados son la palanca misma (hipotenusa), la línea de acción de la fuerza (cateto) y el lado de longitud d (el segundo cateto). Dado que sen(Φ)=d/L, esta fórmula tomará la forma: MFO=dF. Se puede ver que la distancia d es la distancia desde el punto de unión de la palanca hasta la línea de acción de la fuerza, es decir, d es la palanca de fuerza.
Las dos fórmulas consideradas en este párrafo, que se derivan directamente de la definición del momento de torsión, son útiles para resolver problemas prácticos.
Unidades de torsión
Usando la definición, se puede establecer que el valor MFOdebe medirse en newtons por metro (Nm). De hecho, en la forma de estas unidades, se usa en SI.
Tenga en cuenta que Nm es una unidad de trabajo, que se expresa en julios, como la energía. Sin embargo, no se utilizan julios para el concepto de momento de fuerza, ya que este valor refleja precisamente la posibilidad de implementar este último. Sin embargo, hay una conexión con la unidad de trabajo: si, como resultado de la fuerza F, la palanca gira completamente alrededor de su punto de pivote O, entonces el trabajo realizado será igual a A=MF O 2pi (2pi es el ángulo en radianes que corresponde a 360o). En este caso, la unidad de par MFO se puede expresar en julios por radián (J/rad.). Este último, junto con Hm, también se usa en el sistema SI.
Teorema de Varignon
A finales del siglo XVII, el matemático francés Pierre Varignon, estudiando el equilibrio de sistemas con palancas, formuló por primera vez el teorema, que ahora lleva su apellido. Se formula de la siguiente manera: el momento total de varias fuerzas es igual al momento de la fuerza resultante, que se aplica a un punto determinado en relación con el mismo eje de rotación. Matemáticamente, se puede escribir de la siguiente manera:
M¯1+M¯2 +…+M¯=M¯=re¯ ∑ i=1(F¯i)=re¯F¯.
Este teorema es conveniente para calcular los momentos de torsión en sistemas con múltiples fuerzas actuantes.
A continuación, damos un ejemplo del uso de las fórmulas anteriores para resolver problemas de física.
Problema de llave inglesa
Uno deUn ejemplo sorprendente que demuestra la importancia de tener en cuenta el momento de la fuerza es el proceso de desenroscar las tuercas con una llave. Para desenroscar la tuerca, debe aplicar un par de torsión. Es necesario calcular cuanta fuerza se debe aplicar en el punto A para comenzar a desenroscar la tuerca, si esta fuerza en el punto B es de 300 N (ver la figura a continuación).
De la figura anterior se desprenden dos cosas importantes: primero, la distancia OB es el doble que la de OA; en segundo lugar, las fuerzas FA y FBestán dirigidas perpendicularmente a la palanca correspondiente con el eje de giro coincidiendo con el centro de la tuerca (punto O).
El momento de torsión para este caso se puede escribir en forma escalar de la siguiente manera: M=OBFB=OAFA. Dado que OB/OA=2, esta igualdad solo se cumple si FA es 2 veces mayor que FB. De la condición del problema se obtiene que FA=2300=600 N. Es decir, cuanto más larga sea la llave, más fácil será desenroscar la tuerca.
Problema con dos bolas de diferente masa
La siguiente figura muestra un sistema que está en equilibrio. Es necesario encontrar la posición del fulcro si la longitud del tablero es de 3 metros.
Dado que el sistema está en equilibrio, la suma de los momentos de todas las fuerzas es igual a cero. Hay tres fuerzas que actúan sobre el tablero (los pesos de las dos bolas y la fuerza de reacción del soporte). Dado que la fuerza de apoyo no crea un momento de torsión (la longitud de la palanca es cero), solo hay dos momentos creados por el peso de las bolas.
Sea el punto de equilibrio a una distancia x deborde que contiene una bola de 100 kg. Entonces podemos escribir la igualdad: M1-M2=0. Dado que el peso del cuerpo está determinado por la fórmula mg, entonces tenemos: m 1gx - m2g(3-x)=0. Reducimos g y sustituimos los datos, obtenemos: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0,143 m o 14,3 cm.
Así, para que el sistema esté en equilibrio, es necesario establecer un punto de referencia a una distancia de 14,3 cm del borde, donde reposará una bola de 100 kg de masa.
