Una amplia gama de relaciones sobre el ejemplo de los conjuntos va acompañada de un gran número de conceptos, empezando por sus definiciones y terminando con un análisis analítico de las paradojas. La variedad del concepto comentado en el artículo sobre el plató es infinita. Aunque, cuando se habla de tipos duales, esto significa relaciones binarias entre varios valores. Y también entre objetos o sentencias.
Como regla, las relaciones binarias se denotan con el símbolo R, es decir, si xRx para cualquier valor x del campo R, tal propiedad se llama reflexiva, en la que x y x son objetos de pensamiento aceptados, y R sirve como signo de si u otra forma de relación entre individuos. A su vez, si expresas xRy® o yRx, entonces esto indica un estado de simetría, donde ® es un signo de implicación similar a la unión “si…entonces…”. Y, finalmente, la decodificación de la inscripción (xRy Ùy Rz) ®xRz habla de relación transitiva, y el signo Ù es una conjunción.
Una relación binaria que es a la vez reflexiva, simétrica y transitiva se denomina relación de equivalencia. La relación f es una función, y la igualdad y=z se sigue de Î f y Î f. Una función binaria simple se puede aplicar fácilmentea dos argumentos simples en un orden determinado, y sólo en este caso le otorga un significado dirigido a estas dos expresiones tomadas en un caso particular.
Debe decirse que f asigna x a y,
si f es una función con rango x y rango y. Sin embargo, cuando f extrapola xa y, y y Í z, esto hace que f muestre x en z. Un ejemplo simple: si f(x)=2x es cierto para cualquier entero x, entonces se dice que f asigna el conjunto con signo de todos los enteros conocidos al conjunto de los mismos enteros, pero esta vez números pares. Como se mencionó anteriormente, las relaciones binarias que son reflexivas, simétricas y transitivas son relaciones de equivalencia.
Con base en lo anterior, las relaciones de equivalencia de las relaciones binarias están determinadas por las propiedades:
- reflexividad - relación (M ~ N);
- simetrías - si la igualdad es M ~ N, entonces habrá N ~ M;
- transitividad - si dos igualdades M ~ N y N ~ P, entonces como resultado M ~ P.
Consideremos las propiedades declaradas de las relaciones binarias con más detalle. La reflexividad es una de las características de ciertas conexiones, donde cada elemento del conjunto en estudio se encuentra en una determinada igualdad consigo mismo. Por ejemplo, entre los números a=c y a³ c hay conexiones reflexivas, ya que siempre a=a, c=c, a³ a, c³ c. A su vez, la relación de la desigualdad a>c es antirreflexiva por la imposibilidad de existencia de la desigualdad a>a. El axioma de esta propiedad está codificado por signos: aRc®aRa Ù cRc, aquí el símbolo ® significa la palabra "involucra" (o "implica"), y el signo Ù - es la unión "y" (o conjunción). De esta afirmación se sigue que si el juicio aRc es verdadero, las expresiones aRa y cRc también lo son.
La simetría implica la presencia de una relación incluso si los objetos mentales se intercambian, es decir, con una relación simétrica, el reordenamiento de los objetos no conduce a una transformación del tipo "relaciones binarias". Por ejemplo, la relación de igualdad a=c es simétrica por la equivalencia de la relación c=a; la proposición a¹c es también la misma, ya que corresponde a la conexión con¹a.
Un conjunto transitivo es una propiedad que satisface el siguiente requisito: y í x, z í y ® z í x, donde ® es un signo que reemplaza las palabras: "si…, entonces…". La fórmula se lee verbalmente de la siguiente manera: "Si y depende de x, z pertenece a y, entonces z también depende de x".
