La paradoja de la teoría de la elección pública fue descrita por primera vez por el marqués Condorcet en 1785, que fue generalizada con éxito en los años 50 del siglo pasado por el economista estadounidense K. Arrow. El teorema de Arrow responde una pregunta muy simple en la teoría de la decisión colectiva. Digamos que hay múltiples opciones en política, proyectos públicos o distribución de ingresos, y hay personas cuyas preferencias determinan esas opciones.
La pregunta es qué procedimientos existen para determinar cualitativamente la elección. Y cómo aprender sobre las preferencias, sobre el ordenamiento colectivo o social de las alternativas, de mejor a peor. La respuesta de Arrow a esta pregunta sorprendió a muchos.
El teorema de Arrow dice que tales procedimientos no existen en absoluto; en cualquier caso, no corresponden a ciertas y bastante razonables preferencias de las personas. El marco técnico de Arrow, en el que dio un significado claro al problema de la contratación social, y su respuesta rigurosa ahora se utilizan ampliamente para estudiar problemas en la economía social. El teorema en sí formó la base de la teoría moderna de la elección pública.
Teoría de la elección pública
El teorema de Arrow muestra que si los votantes tienen al menos tres alternativas, entonces no existe un sistema electoral que pueda transformar la elección de los individuos en opinión pública.
La impactante declaración provino del economista y premio Nobel Kenneth Joseph Arrow, quien demostró esta paradoja en su tesis doctoral y la popularizó en su libro de 1951 Elección social y valores individuales. El título del artículo original es "Dificultades en el Concepto de Seguridad Social".
El teorema de Arrow establece que es imposible diseñar un sistema electoral con orden que siempre cumpla con criterios justos:
- Cuando un votante elige la alternativa X sobre Y, entonces la comunidad de votantes preferirá X sobre Y. Si las elecciones de cada uno de los votantes X e Y permanecen sin cambios, entonces la elección de la sociedad X e Y será la mismo incluso si los votantes eligen otros pares de X y Z, Y y Z, o Z y W.
- No existe un "dictador de elección" porque un votante no puede influir en la elección de un grupo.
- Los sistemas electorales existentes no cubren los requisitos exigidos ya que brindan más información que el rango ordinal.
Sistemas estatales de gestión social
Aunque el economista estadounidense Kenneth Arrow recibió el Premio Nobel de Economía, el trabajo fue más útil para el desarrollo de las ciencias sociales, ya que el "Teorema de la Imposibilidad" de Arrow marcó el comienzo de una dirección completamente nueva en la economía: la elección social. Esta industria está tratando de analizar matemáticamente la adopción de decisiones conjuntas, en particular en el campo de los sistemas públicos de gestión social.
La elección es democracia en acción. La gente va a las urnas y expresa sus preferencias, y al final, las preferencias de muchas personas deben unirse para tomar una decisión conjunta. Por eso la elección del método de votación es muy importante. Pero, ¿existe realmente un voto perfecto? Según los resultados de la teoría de Arrow, obtenidos en 1950, la respuesta es no. Si "ideal" significa un método de votación preferencial que cumple con los criterios definidos por métodos de votación razonables.
El método de votación preferido es la clasificación, donde los votantes califican a todos los candidatos de acuerdo con sus preferencias y, en función de estas calificaciones, el resultado es: otra lista de todos los candidatos que se presentará por la voluntad común de la gente. Según el teorema de la imposibilidad de Arrow, se puede especificar un método de votación razonable:
- No hay dictadores (ND): el resultado no siempre tiene que coincidir con la evaluación de una persona en particular.
- Eficiencia de Pareto (PE): si cada votante prefiere el candidato A al candidato B, entonces el resultado debe indicarcandidato A sobre candidato B.
- La independencia de alternativas incompatibles (IIA) es la puntuación relativa de los candidatos A, B y no debe cambiar si los votantes cambian la puntuación de otros candidatos, pero no cambian sus puntuaciones relativas de A y B.
Según el teorema de Arrow, resulta que en el caso de elecciones con tres o más criterios, no hay funciones de elección social que sean adecuadas simultáneamente para ND, PE e IIA.
Sistema de selección racional
La necesidad de agregar preferencias se manifiesta en muchas áreas de la vida humana:
- La economía del bienestar utiliza métodos microeconómicos para medir el bienestar a nivel económico agregado. Una metodología típica comienza por derivar o inferir una función de bienestar, que luego se puede utilizar para clasificar asignaciones de recursos económicamente sólidas en términos de bienestar. En este caso, los estados están tratando de encontrar un resultado económicamente viable y sostenible.
- En la teoría de la decisión, cuando una persona debe hacer una elección racional basada en varios criterios.
- En los sistemas electorales, que son mecanismos para encontrar una solución única a partir de las preferencias de muchos votantes.
Bajo las condiciones del teorema de Arrow, se distingue el orden de preferencias para un conjunto dado de parámetros (resultados). Cada unidad de la sociedad, o cada criterio de decisión, asigna un cierto orden de preferencia con respecto a un conjunto de resultados. La sociedad busca un sistemavotación basada en la clasificación, denominada función de bienestar.
Esta regla de agregación de preferencias transforma un conjunto de perfiles de preferencias en una orden pública global. La declaración de Arrow establece que si un órgano de gobierno tiene al menos dos votantes y tres criterios de selección, es imposible crear una función de bienestar que satisfaga todas estas condiciones a la vez.
Para cada conjunto de preferencias individuales de los votantes, la función de bienestar debe realizar una calificación de selección pública única y completa:
- Esto debe hacerse de tal manera que el resultado sea una evaluación completa de las preferencias de la audiencia.
- Debería otorgar de manera determinista la misma puntuación cuando las preferencias de los votantes parezcan ser las mismas.
Independencia de alternativas irrelevantes (IIA)
La elección entre X e Y está relacionada únicamente con las preferencias del individuo entre X e Y: esto es independencia en pares (independencia por pares), según el teorema de "Imposibilidad de la democracia" de Arrow. Al mismo tiempo, un cambio en la evaluación de una persona de alternativas irrelevantes ubicadas fuera de dichos grupos no afecta la evaluación social de este subconjunto. Por ejemplo, presentar un tercer candidato en una elección de dos candidatos no tiene efecto en el resultado de la elección a menos que gane el tercer candidato.
La sociedad se caracteriza por la monotonía y una combinación positiva de valores sociales e individuales. Si una persona cambia su orden de preferencia al promover una determinada opción, entonces el ordenlas preferencias de la sociedad deben corresponder a la misma opción sin cambios. Una persona no debería poder perjudicar una opción subiendo el precio.
En el teorema de la imposibilidad, la eficiencia y la justicia en la sociedad se aseguran a través de la soberanía del ciudadano. Cada posible orden social de preferencia debe ser alcanzable con algún conjunto de órdenes de preferencia individuales. Esto significa que la función de bienestar es sobreyectiva: tiene un espacio objetivo ilimitado. Una versión posterior (1963) del teorema de Arrow reemplazó los criterios de monotonicidad y no superposición.
Pareto. ¿Eficiencia o unanimidad?
Si cada persona prefiere una determinada opción a otra, entonces el orden de preferencia social también debería hacerlo. Es fundamental que la función de bienestar sea mínimamente sensible al perfil de preferencia. Esta última versión es más general y tiene condiciones algo más débiles. Los axiomas de uniformidad, no superposición, junto con IIA, denotan eficiencia de Pareto. Al mismo tiempo, no implica superposición de IIA y no implica monotonicidad.
IIA tiene tres propósitos:
- Estándar. Las alternativas irrelevantes no deberían importar.
- Práctico. Uso de información mínima.
- Estrategico. Proporcionar los incentivos adecuados para identificar verdaderamente las preferencias individuales. Aunque el objetivo estratégico es conceptualmente diferente del IIA, están estrechamente relacionados.
La eficiencia de Pareto, llamada así por el economista y politólogo italiano Vilfredo Pareto (1848-1923), se utiliza en la economía neoclásica junto con el concepto teórico de competencia perfecta como punto de referencia para evaluar la eficiencia de los mercados reales. Cabe señalar que ninguno de los resultados se logra fuera de la teoría económica. Hipotéticamente, si existiera la competencia perfecta y los recursos se usaran de la manera más eficiente posible, entonces todos tendrían el más alto nivel de vida o eficiencia de Pareto.
En la práctica, es imposible realizar cualquier acción social, como un cambio en la política económica, sin empeorar la situación de al menos una persona, por lo que el concepto de mejora de Pareto ha encontrado una aplicación más amplia en la economía. Una mejora de Pareto ocurre cuando un cambio en la distribución no perjudica a nadie y ayuda al menos a una persona, dada la distribución inicial de bienes a un grupo de personas. La teoría sugiere que las mejoras de Pareto continuarán agregando valor a la economía hasta que se alcance un equilibrio de Pareto, cuando no se puedan realizar más mejoras.
Enunciado formal del teorema
Sea A el conjunto de resultados, N el número de votantes o criterio de decisión. Denote el conjunto de todos los ordenamientos lineales completos de A a L (A). La función de seguridad social estricta (regla de agregación de preferencias) es una función que agrega las preferencias de los votantes en un orden de preferencia único porA.
N - una tupla (R 1, …, R N) ∈ L (A) N de preferencias de los votantes se denomina perfil de preferencias. En su forma más fuerte y simple, el teorema de imposibilidad de Arrow establece que siempre que el conjunto de alternativas posibles A tenga más de 2 elementos, las siguientes tres condiciones se vuelven inconsistentes:
- Unanimidad o eficiencia débil de Pareto. Si la alternativa A está estrictamente por encima de B para todos los órdenes R 1, …, R N, entonces A está estrictamente por encima de B en F (R 1, R 2, …, R N). Al mismo tiempo, la unanimidad implica la ausencia de imposición.
- No-dictadura. No hay un "yo" individual cuyas estrictas preferencias prevalezcan siempre. Es decir, no hay I ∈ {1, …, N }, que para todo (R 1, …, R N) ∈ L (A) N, sea estrictamente superior a B de R. "I" es estrictamente superior a B sobre F (R 1, R 2, …, R N), para todo A y B.
- Independencia de alternativas irrelevantes. Para dos perfiles de preferencia (R 1, …, R N) y (S 1, …, S N) tales que para todos los individuos I, las alternativas A y B tienen el mismo orden en R i que en S i, las alternativas A y B tienen el mismo orden mismo orden en F (R 1, R 2, …, R N) que en F (S 1, S2, …, S N).
Interpretación del teorema
Aunque el teorema de la imposibilidad está probado matemáticamente, a menudo se expresa de una manera no matemática con la afirmación de que ningún método de votación es justo, que todos los métodos de votación clasificados tienen fallas o que el único método de votación que no es incorrecto es una dictadura Estas declaraciones son una simplificación. Resultado de Arrow, que no siempre se considera correcto. El teorema de Arrow establece que un mecanismo de votación preferencial determinista, es decir, uno en el que el orden de preferencia es la única información en la votación, y cualquier posible conjunto de votos produce un resultado único, no puede satisfacer todas las condiciones anteriores al mismo tiempo.
Varios teóricos han sugerido relajar el criterio IIA como una forma de salir de la paradoja. Los defensores de los métodos de calificación argumentan que el IIA es un criterio innecesariamente fuerte que se viola en la mayoría de los sistemas electorales útiles. Los defensores de esta posición señalan que la posibilidad de preferencias cíclicas implica trivialmente el incumplimiento del criterio estándar del AII. Si los votantes votan así:
- 1 voto para A> B> C;
- 1 voto por B> C> A;
- 1 voto por C> A> B.
Entonces la preferencia del grupo de dobles de la mayoría es que A vence a B, B vence a C y C vence a A, y esto resulta en una preferencia de tijera-piedra-tijera para cualquier comparación de pares.
En este caso, cualquier regla de agregación que satisfaga el requisito de mayoría básica de que el candidato con más votos debe ganar la elección no cumplirá el criterio del IIA si las preferencias sociales deben ser transitivas o acíclicas. Para ver esto, se supone que tal regla satisface el IIA. Dado que las preferencias de la mayoríase observan, la sociedad favorece A - B (dos votos para A> B y uno para B> A), B - C y C - A. Así, se crea un ciclo que contradice el supuesto de que las preferencias sociales son transitivas.
Entonces, el teorema de Arrow sí muestra que cualquier sistema electoral con la mayor cantidad de victorias es un juego no trivial, y que la teoría del juego debe usarse para predecir el resultado de la mayoría de los mecanismos de votación. Esto puede verse como un resultado desalentador porque el juego no debería tener equilibrios eficientes, por ejemplo, votar podría conducir a una alternativa que nadie realmente quería pero por la que todos votaron.
Elección social en lugar de preferencia
La elección colectiva racional del mecanismo de votación según el teorema de Arrow no es el objetivo de la toma de decisiones sociales. A menudo basta con encontrar alguna alternativa. El enfoque centrado en la elección alternativa explora las funciones de elección social que asignan cada perfil de preferencia, o las reglas de elección social, funciones que asignan cada perfil de preferencia a un subconjunto de alternativas.
En cuanto a las funciones de elección social, es bien conocido el teorema de Gibbard-Satterthwaite, que establece que si una función de elección social cuyo rango contiene al menos tres alternativas es estratégicamente estable, entonces es dictatorial. Teniendo en cuenta las reglas de elección social, creen que las preferencias sociales están detrás de ellos.
Es decir, consideran la regla como una opciónelementos máximos - las mejores alternativas a cualquier preferencia social. El conjunto de elementos de máxima preferencia social se denomina núcleo. Las condiciones para la existencia de una alternativa en el núcleo se estudiaron en dos enfoques. El primer enfoque asume que las preferencias son al menos acíclicas, lo cual es necesario y suficiente para que las preferencias tengan un elemento máximo en cualquier subconjunto finito.
Por ello, está muy relacionado con la transitividad relajante. El segundo enfoque descarta el supuesto de preferencias acíclicas. Kumabe y Mihara adoptaron este enfoque. Hicieron la suposición más consistente de que las preferencias individuales son las más importantes.
Aversión al riesgo relativa
Hay varios indicadores de aversión al riesgo expresados por la función de utilidad en el teorema de Arrow Pratt. Aversión absoluta al riesgo: cuanto mayor sea la curvatura u(c), mayor será la aversión al riesgo. Sin embargo, dado que las funciones de utilidad esperada no están definidas unívocamente, la medida necesaria permanece constante con respecto a estas transformaciones. Una de esas medidas es la medida Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo (ARA), después de que los economistas Kenneth Arrow y John W. Pratt definieran la relación de aversión absoluta al riesgo como
A (c)=- {u'' (c)}/ {u'(c)}, donde: u '(c) y u '' (c) denotan la primera y segunda derivada con respecto a "c" de "u (c)".
Los datos experimentales y empíricos son generalmente consistentes con una disminución en la aversión absoluta al riesgo. medida relativaArrow Pratt Risk Aversion (ACR) o relación de aversión al riesgo relativa se define por:
R (c)=cA (c)={-cu '' (c)} /{u '(c) R (c).
Al igual que con la aversión al riesgo absoluta, los términos respectivos utilizados son aversión al riesgo relativa constante (CRRA) y aversión al riesgo relativa creciente/decreciente (DRRA/IRRA). La ventaja de esta cantidad es que sigue siendo una medida válida de la aversión al riesgo incluso si la función de utilidad cambia de la propensión al riesgo, es decir, la utilidad no es estrictamente convexa/cóncava en todo "c". Un RRA constante implica una reducción en el ARA de la teoría de Arrow Pratt, pero lo contrario no siempre es cierto. Como ejemplo específico de aversión al riesgo relativa constante, la función de utilidad: u(c)=log(c), implica RRA=1.
Gráfico izquierdo: la función de utilidad de evitación de riesgos es cóncava desde abajo y la función de utilidad de aversión al riesgo es convexa. Gráfico central: en el espacio de los valores de desviación estándar esperados, las curvas de indiferencia al riesgo tienen una pendiente ascendente. Gráfico derecho: con probabilidades fijas de los dos estados alternativos 1 y 2, las curvas de indiferencia de aversión al riesgo sobre los pares de resultados dependientes del estado son convexas.
Sistema Electoral Nominal
Inicialmente, Arrow rechazó la utilidad cardinal como una herramienta importante para expresar el bienestar social, por lo que concentró sus afirmaciones en clasificar las preferencias, pero luegollegó a la conclusión de que un sistema de calificación cardinal con tres o cuatro clases es probablemente el mejor. De acuerdo con el teorema de imposibilidad, la elección pública supone que las preferencias individuales y sociales están ordenadas, es decir, la satisfacción con la plenitud y la transitividad en varias alternativas. Esto significa que si las preferencias están representadas por una función de utilidad, su valor es útil en el sentido de que tiene sentido, ya que un valor más alto significa una mejor alternativa.
Las aplicaciones prácticas del teorema se utilizan para evaluar amplias categorías de sistemas de votación. El argumento principal de Arrow sostiene que los sistemas de votación por orden siempre deben violar al menos uno de los criterios de equidad que describió. La implicación práctica de esto es que es necesario estudiar los sistemas de votación que no están en orden. Por ejemplo, clasificar los sistemas de votación en los que los votantes otorgan puntos a cada candidato puede cumplir con todos los criterios de Arrow.
De hecho, el mecanismo de votación, la elección colectiva racional del teorema de Arrow y el diálogo posterior, fue increíblemente engañoso en el campo de la votación. A menudo, los estudiantes y los no especialistas creen que ningún sistema de votación puede cumplir con los criterios de imparcialidad de Arrow, cuando, de hecho, los sistemas de calificación pueden cumplir y cumplen con todos los criterios de Arrow.
