Cuando la física describe el movimiento de los cuerpos, utiliza cantidades como la fuerza, la velocidad, la trayectoria del movimiento, los ángulos de rotación, etc. Este artículo se centrará en una de las cantidades importantes que combina las ecuaciones de la cinemática y la dinámica del movimiento. Consideremos en detalle qué es la aceleración total.
El concepto de aceleración
Todo fanático de las marcas modernas de automóviles de alta velocidad sabe que uno de los parámetros importantes para ellos es la aceleración a una velocidad determinada (normalmente hasta 100 km/h) en un tiempo determinado. Esta aceleración en física se llama "aceleración". Una definición más rigurosa suena así: la aceleración es una cantidad física que describe la velocidad o tasa de cambio en el tiempo de la velocidad misma. Matemáticamente, esto debería escribirse de la siguiente manera:
ā=dv¯/dt
Calculando la primera derivada temporal de la velocidad, encontraremos el valor de la aceleración total instantánea ā.
Si el movimiento se acelera uniformemente, entonces à no depende del tiempo. Este hecho nos permite escribirvalor de aceleración promedio total ācp:
ācp=(v2¯-v1¯)/(t 2-t1).
Esta expresión es similar a la anterior, solo que las velocidades del cuerpo se toman durante un período de tiempo mucho más largo que dt.
Las fórmulas escritas para la relación entre velocidad y aceleración nos permiten sacar una conclusión con respecto a los vectores de estas cantidades. Si la velocidad siempre se dirige tangencialmente a la trayectoria del movimiento, entonces la aceleración se dirige en la dirección del cambio de velocidad.
Trayectoria de movimiento y vector de aceleración total
Al estudiar el movimiento de los cuerpos, se debe prestar especial atención a la trayectoria, es decir, una línea imaginaria a lo largo de la cual se produce el movimiento. En general, la trayectoria es curvilínea. Al moverse a lo largo de él, la velocidad del cuerpo cambia no solo en magnitud, sino también en dirección. Dado que la aceleración describe ambos componentes del cambio de velocidad, se puede representar como la suma de dos componentes. Para obtener la fórmula de la aceleración total en términos de componentes individuales, representamos la velocidad del cuerpo en el punto de la trayectoria de la siguiente forma:
v¯=vu¯
Aquí u¯ es el vector unitario tangente a la trayectoria, v es el modelo de velocidad. Tomando la derivada temporal de v¯ y simplificando los términos resultantes, llegamos a la siguiente igualdad:
ā=dv¯/dt=dv/dtu¯ + v2/rre¯.
El primer término es la componente de aceleración tangencialā, el segundo término es la aceleración normal. Aquí r es el radio de curvatura, re¯ es el vector radio de longitud unitaria.
Así, el vector aceleración total es la suma de los vectores de aceleración tangencial y normal mutuamente perpendiculares, por lo que su dirección difiere de las direcciones de las componentes consideradas y del vector velocidad.
Otra forma de determinar la dirección del vector ā es estudiar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en el proceso de su movimiento. El valor de à siempre se dirige a lo largo del vector de la fuerza total.
La perpendicularidad mutua de las componentes estudiadas at(tangencial) y a (normal) nos permite escribir una expresión para determinar la aceleración total módulo:
a=√(at2+ a2)
Movimiento rectilíneo rápido
Si la trayectoria es una línea recta, entonces el vector de velocidad no cambia durante el movimiento del cuerpo. Esto significa que al describir la aceleración total, uno debe conocer solo su componente tangencial at. El componente normal será cero. Así, la descripción del movimiento acelerado en línea recta se reduce a la fórmula:
a=at=dv/dt.
De esta expresión se siguen todas las fórmulas cinemáticas de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado o uniformemente lento. Escribámoslos:
v=v0±at;
S=v0t ± at2/2.
Aquí el signo más corresponde al movimiento acelerado, y el signo menos al movimiento lento (frenado).
Movimiento circular uniforme
Ahora consideremos cómo se relacionan la velocidad y la aceleración en el caso de la rotación del cuerpo alrededor del eje. Supongamos que esta rotación ocurre a una velocidad angular constante ω, es decir, el cuerpo gira ángulos iguales en intervalos de tiempo iguales. Bajo las condiciones descritas, la velocidad lineal v no cambia su valor absoluto, pero su vector cambia constantemente. El último hecho describe la aceleración normal.
La fórmula para la aceleración normal a ya se ha dado anteriormente. Escribámoslo de nuevo:
a=v2/r
Esta igualdad muestra que, a diferencia del componente at, el valor a no es igual a cero incluso a una velocidad constante módulo v. Cuanto mayor sea este módulo y menor el radio de curvatura r, mayor será el valor de a . La apariencia de aceleración normal se debe a la acción de la fuerza centrípeta, que tiende a mantener el cuerpo en rotación sobre la línea circular.
