¿Qué es un prisma recto? Propiedades y fórmulas. Ejemplo de tarea

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2023-12-17 05:23

La estereometría es el estudio de las características de las formas geométricas tridimensionales. Una de las figuras volumétricas más conocidas que aparecen en los problemas de geometría es un prisma recto. Consideremos en este artículo qué es, y también describamos en detalle un prisma con una base triangular.

Prisma y sus tipos

Un prisma es una figura que se forma como resultado de una traslación paralela de un polígono en el espacio. Como resultado de esta operación geométrica, se forma una figura que consta de varios paralelogramos y dos polígonos idénticos paralelos entre sí. Los paralelogramos son los lados del prisma y los polígonos son sus bases.

Todo prisma tiene n+2 lados, 3n aristas y 2n vértices, donde n es el número de vértices o lados de la base poligonal. La imagen muestra un prisma pentagonal que tiene 7 lados, 10 vértices y 15 aristas.

La clase de figuras considerada está representada por varios tipos de prismas. Los enumeramos brevemente:

• cóncavo y convexo;
• oblicua y recta;
• correcto e incorrecto.

Cada figura pertenece a uno de los tres tipos de clasificación enumerados. Al resolver problemas geométricos, es más fácil realizar cálculos para prismas rectos y regulares. Esto último se discutirá con más detalle en los siguientes párrafos del artículo.

¿Qué es un prisma recto?

Un prisma recto es un prisma cóncavo o convexo, regular o irregular, en el que todos los lados están representados por cuadriláteros con ángulos de 90°. Si al menos uno de los cuadrángulos de los lados no es un rectángulo o un cuadrado, entonces el prisma se llama oblicuo. También se puede dar otra definición: un prisma recto es una figura de una clase dada en la que cualquier borde lateral es igual a la altura. Debajo de la altura h del prisma, se asume la distancia entre sus bases.

Las dos definiciones dadas de que es un prisma directo son iguales y autosuficientes. De ellos se sigue que todos los ángulos diedros entre cualquiera de las bases y cada lado son 90°.

Se dijo anteriormente que es conveniente trabajar con figuras rectas al resolver problemas. Esto se debe al hecho de que la altura coincide con la longitud de la nervadura lateral. Este último hecho facilita el proceso de cálculo del volumen de una figura y el área de su superficie lateral.

Volumen de un prisma directo

Volumen - un valor inherente a cualquier figura espacial, que refleja numéricamente la parte del espacio encerrado entre las superficies del objeto consideradoobjeto. El volumen de un prisma se puede calcular usando la siguiente fórmula general:

V=S_oh.

Es decir, el producto de la altura por el área de la base dará el valor deseado V. Como las bases de un prisma recto son iguales, entonces para determinar el área S_o puedes tomar cualquiera de ellos.

La ventaja de usar la fórmula anterior específicamente para un prisma recto en comparación con sus otros tipos es que es muy fácil encontrar la altura de la figura, ya que coincide con la longitud del borde lateral.

Área lateral

Es conveniente calcular no solo el volumen de una figura recta de la clase considerada, sino también su superficie lateral. De hecho, cualquiera de sus lados es un rectángulo o un cuadrado. Todo estudiante sabe cómo calcular el área de estas figuras planas, para ello es necesario multiplicar los lados adyacentes entre sí.

Suponga que la base del prisma es un n-ágono arbitrario cuyos lados son iguales a_i. El índice i va de 1 a n. El área de un rectángulo se calcula así:

S_i=un_ih.

El área de la superficie lateral S_bes fácil de calcular si sumas todas las áreas S_i rectángulos. En este caso, obtenemos la fórmula final para S_bprisma recto:

S_b=h∑_i=1(a_i)=hP_o.

Por lo tanto, para determinar el área de la superficie lateral de un prisma recto, debes multiplicar su altura por el perímetro de una base.

Problema con un prisma triangular

Suponga que se da un prisma recto. La base es un triángulo rectángulo. Los catetos de este triangulo miden 12 cm y 8 cm, es necesario calcular el volumen de la figura y su area total si la altura del prisma es de 15 cm.

Primero, calculemos el volumen de un prisma recto. El triángulo (rectangular) ubicado en sus bases tiene un área:

S_o=a₁a₂/2=128/2=48cm².

Como puedes suponer, a₁ y a₂ son catetos en esta ecuación. Conociendo el área de la base y la altura (vea la condición del problema), puede usar la fórmula para V:

V=S_oh=4815=720cm³.

El área total de la figura está formada por dos partes: las áreas de las bases y la superficie lateral. Las áreas de las dos bases son:

S_2o=2S_o=482=96cm².

Para calcular el área de la superficie lateral, necesitas saber el perímetro de un triángulo rectángulo. Calcular por el teorema de Pitágoras su hipotenusa a₃, tenemos:

a₃ =√(a₁²+ a₂ 2^)=√(122^{+ 8}2^{)=14,42 cm.}

Entonces el perímetro del triángulo de la base del prisma recto será:

P=a₁+ a₂+ a₃=12 + 8 + 14, 42=34, 42 cm.

Aplicando la fórmula para S_b, que se escribió en el párrafo anterior,obtener:

S_b=hP=1534, 42=516, 3 cm.

Sumando las áreas de S_2o y S_b, obtenemos la superficie total de la figura geométrica estudiada:

S=S_2o+ S_b=96 + 516, 3=612, 3cm^2.

Un prisma triangular, que está hecho de tipos especiales de vidrio, se usa en óptica para estudiar los espectros de los objetos emisores de luz. Dichos prismas pueden descomponer la luz en frecuencias componentes debido al fenómeno de la dispersión.