Área de superficie de un prisma recto: fórmulas y ejemplo de problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2024-01-02 17:45

El volumen y el área superficial son dos características importantes de cualquier cuerpo que tiene dimensiones finitas en un espacio tridimensional. En este artículo, consideramos una clase bien conocida de poliedros: los prismas. En particular, se revelará la cuestión de cómo encontrar el área de la superficie de un prisma recto.

¿Qué es un prisma?

Un prisma es cualquier poliedro que está delimitado por varios paralelogramos y dos polígonos idénticos ubicados en planos paralelos. Estos polígonos se consideran las bases de la figura, y sus paralelogramos son los lados. El número de lados (esquinas) de la base determina el nombre de la figura. Por ejemplo, la siguiente figura muestra un prisma pentagonal.

La distancia entre las bases se llama altura de la figura. Si la altura es igual a la longitud de cualquier borde lateral, dicho prisma será recto. La segunda característica suficiente para un prisma recto es que todos sus lados sean rectángulos o cuadrados. si, sin embargoSi un lado es un paralelogramo general, entonces la figura estará inclinada. A continuación puede ver cómo los prismas rectos y oblicuos difieren visualmente en el ejemplo de figuras cuadrangulares.

Superficie de un prisma recto

Si una figura geométrica tiene una base n-gonal, entonces consta de n+2 caras, n de las cuales son rectángulos. Denotemos las longitudes de los lados de la base como a_i, donde i=1, 2, …, n, y denotemos la altura de la figura, que es igual a la longitud de la borde lateral, como h. Para determinar el área (S) de la superficie de todas las caras, suma el área S_{o de cada una de las bases y todas las áreas de los lados (rectángulos). Por lo tanto, la fórmula de S en forma general se puede escribir de la siguiente manera:}

S=2S_o+ S_b

Donde S_{b es el área de la superficie lateral.}

Dado que la base de un prisma recto puede ser absolutamente cualquier polígono plano, entonces no se puede dar una sola fórmula para calcular S_{o, y para determinar este valor, en general caso, se debe realizar un análisis geométrico. Por ejemplo, si la base es un n-ágono regular con lado a, su área se calcula mediante la fórmula:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

En cuanto al valor de S_{b, se puede dar la expresión para su cálculo. El área de la superficie lateral de un prisma recto es:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

Es decir, el valorS_{b se calcula como el producto de la altura de la figura por el perímetro de su base.}

Ejemplo de resolución de problemas

Apliquemos los conocimientos adquiridos para resolver el siguiente problema geométrico. Dado un prisma, cuya base es un triángulo rectángulo con lados en ángulo recto de 5 cm y 7 cm. La altura de la figura es de 10 cm. Es necesario encontrar el área de superficie de un prisma triangular rectángulo.

Primero, calculemos la hipotenusa del triángulo. Será igual a:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 cm}

Ahora hagamos una operación matemática preparatoria más: calcule el perímetro de la base. Será:

P=5 + 7 + 8,6=20,6 cm

El área de la superficie lateral de la figura se calcula como el producto del valor P y la altura h=10 cm, es decir, S_b=206 cm ^2.

Para encontrar el área de toda la superficie, se deben sumar dos áreas base al valor encontrado. Como el área de un triángulo rectángulo está determinada por la mitad del producto de los catetos, obtenemos:

2S_o=257/2=35cm²

Entonces obtenemos que el área de la superficie de un prisma triangular recto es 35 + 206=241 cm2.