Un sistema mecánico que consiste en un punto material (cuerpo) que cuelga de un hilo inextensible y sin peso (su masa es insignificante en comparación con el peso del cuerpo) en un campo de gravedad uniforme se llama péndulo matemático (otro nombre es un oscilador). Hay otros tipos de este dispositivo. En lugar de un hilo, se puede usar una varilla sin peso. Un péndulo matemático puede revelar claramente la esencia de muchos fenómenos interesantes. Con una pequeña amplitud de oscilación, su movimiento se llama armónico.
Resumen del sistema mecánico
La fórmula para el período de oscilación de este péndulo fue deducida por el científico holandés Huygens (1629-1695). Este contemporáneo de I. Newton era muy aficionado a este sistema mecánico. En 1656 creó el primer reloj de péndulo. Midieron el tiempo con excepcionalpara esos tiempos precisión. Esta invención se ha convertido en un hito importante en el desarrollo de experimentos físicos y actividades prácticas.
Si el péndulo está en equilibrio (colgando verticalmente), entonces la fuerza de la gravedad se equilibrará con la fuerza de la tensión del hilo. Un péndulo plano sobre un hilo inextensible es un sistema de dos grados de libertad con una conexión. Cuando cambias solo un componente, las características de todas sus partes cambian. Entonces, si el hilo se reemplaza por una varilla, entonces este sistema mecánico tendrá solo 1 grado de libertad. ¿Cuáles son las propiedades de un péndulo matemático? En este sistema más simple, el caos surge bajo la influencia de una perturbación periódica. En el caso de que el punto de suspensión no se mueva, sino que oscile, el péndulo tiene una nueva posición de equilibrio. Con rápidas oscilaciones hacia arriba y hacia abajo, este sistema mecánico adquiere una posición invertida estable. Ella también tiene su propio nombre. Se llama péndulo de Kapitza.
Propiedades del péndulo
El péndulo matemático tiene propiedades muy interesantes. Todos ellos están confirmados por leyes físicas conocidas. El período de oscilación de cualquier otro péndulo depende de varias circunstancias, como el tamaño y la forma del cuerpo, la distancia entre el punto de suspensión y el centro de gravedad, la distribución de la masa con respecto a este punto. Es por eso que determinar el período de un cuerpo colgante es una tarea bastante difícil. Es mucho más fácil calcular el período de un péndulo matemático, cuya fórmula se dará a continuación. Como resultado de observaciones de similaresLos sistemas mecánicos pueden establecer los siguientes patrones:
• Si, manteniendo la misma longitud del péndulo, colgamos pesos diferentes, entonces el período de sus oscilaciones será el mismo, aunque sus masas variarán mucho. Por lo tanto, el período de dicho péndulo no depende de la masa de la carga.
• Al iniciar el sistema, si el péndulo se desvía en ángulos no demasiado grandes, pero diferentes, comenzará a oscilar con el mismo período, pero con diferentes amplitudes. Siempre que las desviaciones del centro de equilibrio no sean demasiado grandes, las oscilaciones en su forma serán bastante cercanas a las armónicas. El período de tal péndulo no depende de la amplitud de oscilación de ninguna manera. Esta propiedad de este sistema mecánico se llama isocronismo (traducido del griego "chronos" - tiempo, "isos" - igual).
Período del péndulo matemático
Este indicador representa el período de oscilaciones naturales. A pesar de la redacción compleja, el proceso en sí es muy simple. Si la longitud del hilo de un péndulo matemático es L y la aceleración de caída libre es g, entonces este valor es:
T=2π√L/g
El período de las pequeñas oscilaciones naturales no depende de la masa del péndulo ni de la amplitud de las oscilaciones. En este caso, el péndulo se mueve como un péndulo matemático con una longitud reducida.
Oscilaciones del péndulo matemático
Oscila un péndulo matemático, que se puede describir mediante una simple ecuación diferencial:
x + ω2 sen x=0, donde x (t) es una función desconocida (este es el ángulo de desviación de la parte inferiorposición de equilibrio en el tiempo t, expresada en radianes); ω es una constante positiva, que se determina a partir de los parámetros del péndulo (ω=√g/L, donde g es la aceleración de caída libre y L es la longitud del péndulo matemático (suspensión).
La ecuación de pequeñas fluctuaciones cerca de la posición de equilibrio (ecuación armónica) se ve así:
x + ω2 sen x=0
Movimientos oscilatorios del péndulo
Un péndulo matemático que hace pequeñas oscilaciones se mueve a lo largo de una sinusoide. La ecuación diferencial de segundo orden cumple con todos los requisitos y parámetros de dicho movimiento. Para determinar la trayectoria, debe especificar la velocidad y la coordenada, a partir de las cuales se determinan las constantes independientes:
x=A pecado (θ0 + ωt), donde θ0 es la fase inicial, A es la amplitud de oscilación, ω es la frecuencia cíclica determinada a partir de la ecuación de movimiento.
Péndulo matemático (fórmulas para grandes amplitudes)
Este sistema mecánico, que realiza sus oscilaciones con una amplitud importante, obedece a leyes de movimiento más complejas. Para tal péndulo, se calculan mediante la fórmula:
sen x/2=usn(ωt/u), donde sn es el seno de Jacobi, que para u < 1 es una función periódica, y para u pequeña coincide con un seno trigonométrico simple. El valor de u está determinado por la siguiente expresión:
u=(ε + ω2)/2ω2, donde ε=E/mL2 (mL2 es la energía del péndulo).
Determinación del período de oscilación de un péndulo no linealse lleva a cabo según la fórmula:
T=2π/Ω, donde Ω=π/2ω/2K(u), K es la integral elíptica, π - 3, 14.
Movimiento del péndulo a lo largo de la separadora
Una separatriz es una trayectoria de un sistema dinámico con un espacio de fase bidimensional. El péndulo matemático se mueve a lo largo de él de forma no periódica. En un momento de tiempo infinitamente distante, cae desde la posición más alta al costado con velocidad cero, luego lo levanta gradualmente. Finalmente se detiene y vuelve a su posición original.
Si la amplitud de las oscilaciones del péndulo se acerca al número π, esto indica que el movimiento en el plano de fase se acerca a la separatriz. En este caso, bajo la acción de una pequeña fuerza motriz periódica, el sistema mecánico presenta un comportamiento caótico.
Cuando el péndulo matemático se desvía de la posición de equilibrio con un cierto ángulo φ, surge una fuerza de gravedad tangencial Fτ=–mg sen φ. El signo menos significa que esta componente tangencial está dirigida en dirección opuesta a la desviación del péndulo. Cuando el desplazamiento del péndulo a lo largo del arco de un círculo con radio L se denota por x, su desplazamiento angular es igual a φ=x/L. La segunda ley de Isaac Newton, diseñada para proyecciones del vector aceleración y la fuerza, dará el valor deseado:
mg τ=Fτ=–mg sen x/L
Con base en esta relación, es claro que este péndulo es un sistema no lineal, ya que la fuerza que busca regresara la posición de equilibrio, siempre es proporcional no al desplazamiento x, sino al sen x/L.
Solo cuando el péndulo matemático hace pequeñas oscilaciones, es un oscilador armónico. En otras palabras, se convierte en un sistema mecánico capaz de realizar vibraciones armónicas. Esta aproximación es prácticamente válida para ángulos de 15 a 20°. Las oscilaciones del péndulo con grandes amplitudes no son armónicas.
Ley de Newton para pequeñas oscilaciones de un péndulo
Si este sistema mecánico realiza pequeñas vibraciones, la segunda ley de Newton se verá así:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Con base en esto, podemos concluir que la aceleración tangencial del péndulo matemático es proporcional a su desplazamiento con un signo menos. Esta es la condición por la cual el sistema se convierte en un oscilador armónico. El módulo de la ganancia proporcional entre el desplazamiento y la aceleración es igual al cuadrado de la frecuencia circular:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Esta fórmula refleja la frecuencia natural de las pequeñas oscilaciones de este tipo de péndulo. Basado en esto, T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Cálculos basados en la ley de conservación de la energía
Las propiedades de los movimientos oscilatorios del péndulo también se pueden describir utilizando la ley de conservación de la energía. En este caso se debe tener en cuenta que la energía potencial del péndulo en el campo gravitatorio es:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sen2 α/2
Energía mecánica totales igual al potencial cinético o máximo: Epmax=Ekmsx=E
Después de escribir la ley de conservación de la energía, obtenga la derivada de los lados derecho e izquierdo de la ecuación:
Ep + Ek=constante
Como la derivada de valores constantes es 0, entonces (Ep + Ek)'=0. La derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, por lo tanto:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + mα)=0.
Basándonos en la última fórmula, encontramos: α=- g/Lx.
Aplicación práctica del péndulo matemático
La aceleración de la caída libre varía con la latitud geográfica, ya que la densidad de la corteza terrestre en todo el planeta no es la misma. Donde se encuentran rocas con una densidad más alta, será algo más alta. La aceleración de un péndulo matemático se usa a menudo para la exploración geológica. Se utiliza para buscar varios minerales. Simplemente contando el número de oscilaciones del péndulo, puedes encontrar carbón o mineral en las entrañas de la Tierra. Esto se debe al hecho de que estos fósiles tienen una densidad y una masa mayores que las rocas sueltas que se encuentran debajo.
El péndulo matemático fue utilizado por científicos tan destacados como Sócrates, Aristóteles, Platón, Plutarco, Arquímedes. Muchos de ellos creían que este sistema mecánico podía influir en el destino y la vida de una persona. Arquímedes usó un péndulo matemático en sus cálculos. Hoy en día, muchos ocultistas y psíquicosusa este sistema mecánico para cumplir sus profecías o buscar personas desaparecidas.
El famoso astrónomo y naturalista francés K. Flammarion también utilizó un péndulo matemático para sus investigaciones. Afirmó que con su ayuda pudo predecir el descubrimiento de un nuevo planeta, la aparición del meteorito de Tunguska y otros eventos importantes. Durante la Segunda Guerra Mundial en Alemania (Berlín) funcionó un Instituto de Péndulo especializado. Hoy, el Instituto de Parapsicología de Munich se dedica a una investigación similar. Los empleados de esta institución llaman a su trabajo con el péndulo “radiestesia”.
