Las funciones trigonométricas inversas tradicionalmente causan dificultades a los escolares. La capacidad de calcular el arco tangente de un número puede ser necesaria en las tareas de USE en planimetría y estereometría. Para resolver con éxito una ecuación y un problema con un parámetro, debe comprender las propiedades de la función arco tangente.
Definición
El arco tangente de un número x es un número y cuya tangente es x. Esta es la definición matemática.
La función arcotangente se escribe como y=arctg x.
Más generalmente: y=Carctg (kx + a).
Cálculo
Para entender cómo funciona la función trigonométrica inversa del arcotangente, primero debes recordar cómo se determina el valor de la tangente de un número. Echemos un vistazo más de cerca.
La tangente de x es la razón del seno de x al coseno de x. Si se conoce al menos una de estas dos cantidades, entonces el módulo de la segunda se puede obtener a partir de la identidad trigonométrica básica:
sin2 x + cos2 x=1.
Es cierto que se requerirá una evaluación para desbloquear el módulo.
Sise conoce el número en sí, y no sus características trigonométricas, entonces en la mayoría de los casos es necesario estimar aproximadamente la tangente del número consultando la tabla de Bradis.
Las excepciones son los llamados valores estándar.
Se presentan en la siguiente tabla:
Además de lo anterior, cualquier valor obtenido de los datos sumando un número de la forma ½πк (к - cualquier número entero, π=3, 14) puede considerarse estándar.
Exactamente lo mismo es cierto para el arco tangente: la mayoría de las veces, el valor aproximado se puede ver en la tabla, pero solo unos pocos valores se conocen con seguridad:
En la práctica, cuando se resuelven problemas de matemáticas escolares, se acostumbra dar una respuesta en forma de expresión que contiene el arco tangente, y no su estimación aproximada. Por ejemplo, arctg 6, arctg (-¼).
Trazar un gráfico
Dado que la tangente puede tomar cualquier valor, el dominio de la función arcotangente es toda la recta numérica. Expliquemos con más detalle.
La misma tangente corresponde a un número infinito de argumentos. Por ejemplo, no solo la tangente de cero es igual a cero, sino también la tangente de cualquier número de la forma π k, donde k es un número entero. Por lo tanto, los matemáticos acordaron elegir valores para el arco tangente del intervalo de -½ π a ½ π. Debe entenderse de esta manera. El rango de la función arcotangente es el intervalo (-½ π; ½ π). Los extremos del hueco no están incluidos, ya que la tangente -½p y ½p no existen.
En el intervalo especificado, la tangente es continuamenteaumenta Esto significa que la función inversa del arco tangente también aumenta continuamente en toda la recta numérica, pero está limitada por arriba y por abajo. Como resultado, tiene dos asíntotas horizontales: y=-½ π y y=½ π.
En este caso, tg 0=0, otros puntos de intersección con el eje de abscisas, excepto (0;0), la gráfica no puede tener por aumento.
Como se deduce de la paridad de la función tangente, la arcotangente tiene una propiedad similar.
Para construir un gráfico, tome varios puntos de entre los valores estándar:
La derivada de la función y=arctg x en cualquier punto se calcula mediante la fórmula:
Tenga en cuenta que su derivada es positiva en todas partes. Esto es consistente con la conclusión hecha anteriormente sobre el aumento continuo de la función.
La segunda derivada de la arcotangente se anula en el punto 0, es negativa para valores positivos del argumento, y viceversa.
Esto significa que la gráfica de la función arcotangente tiene un punto de inflexión en cero y es convexa hacia abajo en el intervalo (-∞; 0] y convexa hacia arriba en el intervalo [0; +∞).
