El círculo es la figura principal en geometría, cuyas propiedades se consideran en la escuela en el 8º grado. Uno de los problemas típicos asociados a un círculo es encontrar el área de alguna parte del mismo, lo que se denomina sector circular. El artículo proporciona fórmulas para el área de un sector y la longitud de su arco, así como un ejemplo de su uso para resolver un problema específico.
El concepto de un círculo y un círculo
Antes de dar la fórmula del área de un sector de un círculo, consideremos cuál es la figura indicada. De acuerdo con la definición matemática, un círculo se entiende como una figura en un plano, cuyos puntos son todos equidistantes de algún punto (centro).
Al considerar un círculo, se utiliza la siguiente terminología:
- Radio - un segmento que se dibuja desde el punto central hasta la curva del círculo. Por lo general, se denota con la letra R.
- Diámetro es un segmento que conecta dos puntos del círculo, pero también pasa por el centro de la figura. Por lo general, se denota con la letra D.
- El arco es parte de un círculo curvo. Se mide en unidades de longitud o usando ángulos.
El círculo es otra figura geométrica importante, es un conjunto de puntos delimitados por un círculo curvo.
Área del círculo y circunferencia
Los valores anotados en el título del artículo se calculan usando dos fórmulas simples. Se enumeran a continuación:
- Circunferencia: L=2piR.
- Área de un círculo: S=piR2.
En estas fórmulas, pi es una constante llamada Pi. Es irracional, es decir, no se puede expresar exactamente como una fracción simple. Pi es aproximadamente 3.1416.
Como puede ver en las expresiones anteriores, para calcular el área y la longitud, es suficiente saber solo el radio del círculo.
El área del sector del círculo y la longitud de su arco
Antes de considerar las fórmulas correspondientes, recordamos que el ángulo en geometría se suele expresar de dos formas principales:
- en grados sexagesimales, y una rotación completa alrededor de su eje es 360o;
- en radianes, expresados como fracciones de pi y relacionados con los grados mediante la siguiente ecuación: 2pi=360o.
El sector de un círculo es una figura delimitada por tres líneas: un arco de círculo y dos radios ubicados en los extremos de este arco. En la foto de abajo se muestra un ejemplo de un sector circular.
Hacerse una idea de lo que es un sector para un círculo, es fácilentender cómo calcular su área y la longitud del arco correspondiente. Se puede ver en la figura anterior que el arco del sector corresponde al ángulo θ. Sabemos que un círculo completo corresponde a 2pi radianes, por lo que la fórmula del área de un sector circular será de la siguiente forma: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Aquí el ángulo θ se expresa en radianes. Una fórmula similar para el área del sector, si el ángulo θ se mide en grados, se verá así: S1=piθR2 /360.
La longitud del arco que forma un sector se calcula mediante la fórmula: L1=θ2piR/(2pi)=θR. Y si θ se conoce en grados, entonces: L1=piθR/180.
Ejemplo de resolución de problemas
Usemos el ejemplo de un problema simple para mostrar cómo usar las fórmulas para el área de un sector de un círculo y la longitud de su arco.
Se sabe que la rueda tiene 12 radios. Cuando la rueda da una vuelta completa, cubre una distancia de 1,5 metros. ¿Cuál es el área encerrada entre dos radios adyacentes de la rueda y cuál es la longitud del arco entre ellos?
Como puedes ver en las fórmulas correspondientes, para usarlas, necesitas saber dos cantidades: el radio del círculo y el ángulo del arco. El radio se puede calcular conociendo la circunferencia de la rueda, ya que la distancia recorrida por ella en una revolución le corresponde exactamente. Tenemos: 2Rpi=1,5, de donde: R=1,5/(2pi)=0,2387 metros. El ángulo entre los radios más cercanos se puede determinar conociendo su número. Suponiendo que los 12 radios dividen el círculo uniformemente en sectores iguales, obtenemos 12 sectores idénticos. En consecuencia, la medida angular del arco entre los dos radios es: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radianes.
Hemos encontrado todos los valores necesarios, ahora se pueden sustituir en las fórmulas y calcular los valores requeridos por la condición del problema. Obtenemos: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, o 149cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m o 12,5 cm.
