Proyección de fuerza sobre el eje y sobre el plano. Física

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2023-12-17 05:23

La potencia es uno de los conceptos más importantes de la física. Provoca un cambio en el estado de cualquier objeto. En este artículo, consideraremos cuál es este valor, qué fuerzas hay y también mostraremos cómo encontrar la proyección de la fuerza en el eje y en el plano.

Poder y su significado físico

En física, la fuerza es una cantidad vectorial que muestra el cambio en el impulso de un cuerpo por unidad de tiempo. Esta definición considera que la fuerza es una característica dinámica. Desde el punto de vista de la estática, la fuerza en física es una medida de la deformación elástica o plástica de los cuerpos.

El sistema internacional SI expresa la fuerza en newtons (N). ¿Qué es 1 newton, la forma más fácil de entender el ejemplo de la segunda ley de la mecánica clásica. Su notación matemática es la siguiente:

F¯=ma¯

Aquí F¯ es una fuerza externa que actúa sobre un cuerpo de masa my resulta en una aceleración a¯. La definición cuantitativa de un newton se deriva de la fórmula: 1 N es una fuerza que conduce a un cambio en la velocidad de un cuerpo con una masa de 1 kg por 1 m / s por cada segundo.

Ejemplos de dinámicamanifestaciones de la fuerza son la aceleración de un automóvil o un cuerpo que cae libremente en el campo gravitacional de la tierra.

La manifestación estática de la fuerza, como se ha señalado, está asociada a los fenómenos de deformación. Aquí se deben dar las siguientes fórmulas:

F=PP

F=-kx

La primera expresión relaciona la fuerza F con la presión P que ejerce sobre un área S. Mediante esta fórmula, 1 N se puede definir como una presión de 1 pascal aplicada a un área de 1 m 2^{. Por ejemplo, una columna de aire atmosférico al nivel del mar presiona en un sitio de 1 m}2^{con una fuerza de 10}5^N!

La segunda expresión es la forma clásica de la ley de Hooke. Por ejemplo, estirar o comprimir un resorte por un valor lineal x conduce a la aparición de una fuerza opuesta F (en la expresión k es el factor de proporcionalidad).

¿Qué fuerzas hay?

Ya se ha demostrado anteriormente que las fuerzas pueden ser estáticas y dinámicas. Aquí decimos que además de esta característica, pueden ser fuerzas de contacto o de largo alcance. Por ejemplo, la fuerza de fricción, las reacciones de apoyo son fuerzas de contacto. El motivo de su aparición es la vigencia del principio de Pauli. Este último establece que dos electrones no pueden ocupar el mismo estado. Por eso el contacto de dos átomos provoca su repulsión.

Las fuerzas de largo alcance aparecen como resultado de la interacción de los cuerpos a través de un determinado campo portador. Por ejemplo, tales son la fuerza de la gravedad o la interacción electromagnética. Ambos poderes tienen un alcance infinito,sin embargo, su intensidad cae como el cuadrado de la distancia (leyes de Coulomb y gravedad).

La potencia es una cantidad vectorial

Habiendo tratado el significado de la cantidad física considerada, podemos proceder al estudio del tema de la proyección de la fuerza en el eje. En primer lugar, notamos que esta cantidad es un vector, es decir, se caracteriza por un módulo y una dirección. Mostraremos cómo calcular el módulo de fuerza y su dirección.

Se sabe que cualquier vector puede definirse de manera única en un sistema de coordenadas dado si se conocen los valores de las coordenadas de su inicio y fin. Suponga que existe algún segmento dirigido MN¯. Entonces su dirección y módulo se pueden determinar usando las siguientes expresiones:

MN¯=(x₂-x₁; y₂-y 1_{; z}2_-z1_);

|MN¯|=√((x₂-x₁)²+ (y_{2 -y}1₎2^{+ (z}2_-z1 ₎2^).

Aquí, las coordenadas de índice 2 corresponden al punto N, las de índice 1 corresponden al punto M. El vector MN¯ está dirigido de M a N.

En aras de la generalidad, hemos mostrado cómo encontrar el módulo y las coordenadas (dirección) de un vector en un espacio tridimensional. Fórmulas similares sin la tercera coordenada son válidas para el caso del plano.

Así, el módulo de fuerza es su valor absoluto, expresado en newtons. Desde el punto de vista de la geometría, el módulo es la longitud del segmento dirigido.

¿Cuál es la proyección de la fuerza sobreeje?

Es más conveniente hablar de proyecciones de segmentos dirigidos sobre ejes y planos de coordenadas si primero colocas el vector correspondiente en el origen, es decir, en el punto (0; 0; 0). Supongamos que tenemos algún vector de fuerza F¯. Situemos su inicio en el punto (0; 0; 0), entonces las coordenadas del vector se pueden escribir de la siguiente manera:

F¯=((x₁- 0); (y₁- 0); (z₁ - 0))=(x₁; y₁; z₁).

Vector F¯ muestra la dirección de la fuerza en el espacio en el sistema de coordenadas dado. Ahora dibujemos segmentos perpendiculares desde el final de F¯ a cada uno de los ejes. La distancia desde el punto de intersección de la perpendicular con el eje correspondiente al origen se denomina proyección de la fuerza sobre el eje. No es difícil adivinar que en el caso de la fuerza F¯, sus proyecciones sobre los ejes x, y y z serán x₁, y_{1 y z 1}, respectivamente. Tenga en cuenta que estas coordenadas muestran los módulos de las proyecciones de fuerza (la longitud de los segmentos).

Ángulos entre la fuerza y sus proyecciones en los ejes de coordenadas

Calcular estos ángulos no es difícil. Todo lo que se requiere para resolverlo es el conocimiento de las propiedades de las funciones trigonométricas y la capacidad de aplicar el teorema de Pitágoras.

Por ejemplo, definamos el ángulo entre la dirección de la fuerza y su proyección en el eje x. El triángulo rectángulo correspondiente estará formado por la hipotenusa (vector F¯) y el cateto (segmento x₁). El segundo cateto es la distancia desde el final del vector F¯ hasta el eje x. El ángulo α entre F¯ y el eje x se calcula mediante la fórmula:

α=arccos(|x₁|/|F¯|)=arccos(x₁/√(x ₁²+y₁²+z₁ ²)).

Como ves, para determinar el ángulo entre el eje y el vector, es necesario y suficiente conocer las coordenadas del final del segmento dirigido.

Para ángulos con otros ejes (y y z), puedes escribir expresiones similares:

β=arccos(|y₁|/|F¯|)=arccos(y₁/√(x 12^+y12^+z 12^));

γ=arccos(|z₁|/|F¯|)=arccos(z₁/√(x 12^+y12^+z 12^)).

Tenga en cuenta que en todas las fórmulas hay módulos en los numeradores, lo que elimina la aparición de esquinas obtusas. Entre la fuerza y sus proyecciones axiales, los ángulos son siempre menores o iguales a 90^o.

La fuerza y sus proyecciones en el plano de coordenadas

La definición de la proyección de la fuerza sobre el plano es la misma que para el eje, solo que en este caso la perpendicular no se debe bajar sobre el eje, sino sobre el plano.

En el caso de un sistema espacial de coordenadas rectangulares, tenemos tres planos mutuamente perpendiculares xy (horizontal), yz (vertical frontal), xz (vertical lateral). Los puntos de intersección de las perpendiculares caídas desde el final del vector a los planos mencionados son:

(x₁; y₁; 0) para xy;

(x₁; 0; z₁) para xz;

(0; y₁; z₁) para zy.

Si cada uno de los puntos marcados está conectado al origen, entonces obtenemos la proyección de la fuerza F¯ sobre el plano correspondiente. Cuál es el módulo de fuerza, lo sabemos. Para encontrar el módulo de cada proyección, debe aplicar el teorema de Pitágoras. Denotemos las proyecciones en el plano como F_xy, F_xz y F_zy. Entonces las igualdades serán válidas para sus módulos:

F_xy=√(x₁²+y₁ ²);

F_xz=√(x₁²+ z₁ ²);

F_zy=√(y₁²+ z₁ ²).

Ángulos entre las proyecciones sobre el plano y el vector de fuerza

En el párrafo anterior, se dieron fórmulas para los módulos de proyecciones sobre el plano del vector considerado F¯. Estas proyecciones, junto con el segmento F¯ y la distancia desde su extremo al plano, forman triángulos rectángulos. Por tanto, como en el caso de las proyecciones sobre el eje, se puede utilizar la definición de funciones trigonométricas para calcular los ángulos en cuestión. Puedes escribir las siguientes igualdades:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +y}12^{) /√(x}12 +y¹₂+z¹₂));

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +z}12^)/√(x12 +y¹₂+z¹₂));

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(√(y₁²+z₁²)/√(x₁²+y₁² +z₁²)).

Es importante entender que el ángulo entre la dirección de la fuerza F¯ y su correspondiente proyección sobre el plano es igual al ángulo entre F¯ y este plano. Si consideramos este problema desde el punto de vista de la geometría, entonces podemos decir que el segmento dirigido F¯ está inclinado con respecto a los planos xy, xz y zy.

¿Dónde se usan las proyecciones de fuerza?

Las fórmulas anteriores para las proyecciones de fuerza en los ejes de coordenadas y en el plano no son solo de interés teórico. A menudo se utilizan para resolver problemas físicos. El mismo proceso de encontrar proyecciones se denomina descomposición de la fuerza en sus componentes. Estos últimos son vectores, cuya suma debe dar el vector de fuerza original. En el caso general, es posible descomponer la fuerza en componentes arbitrarios, sin embargo, para resolver problemas, es conveniente utilizar proyecciones sobre ejes y planos perpendiculares.

Los problemas en los que se aplica el concepto de proyección de fuerza pueden ser muy diferentes. Por ejemplo, la misma segunda ley de Newton supone que la fuerza externa F¯ que actúa sobre el cuerpo debe estar dirigida de la misma manera que el vector velocidad v¯. Si sus direcciones difieren en algún ángulo, entonces, para que la igualdad siga siendo válida, uno debe sustituirla no por la fuerza F¯ en sí misma, sino por su proyección en la dirección v¯.

A continuación, daremos un par de ejemplos, donde mostraremos cómo usar la grabaciónfórmulas.

La tarea de determinar las proyecciones de fuerza en el plano y en los ejes de coordenadas

Supongamos que existe una fuerza F¯, que está representada por un vector que tiene las siguientes coordenadas de inicio y fin:

(2; 0; 1);

(-1; 4; -1).

Es necesario determinar el módulo de la fuerza, así como todas sus proyecciones sobre los ejes y planos de coordenadas, y los ángulos entre F¯ y cada una de sus proyecciones.

Comencemos a resolver el problema calculando las coordenadas del vector F¯. Tenemos:

F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).

Entonces el módulo de fuerza será:

|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.

Las proyecciones sobre los ejes de coordenadas son iguales a las coordenadas correspondientes del vector F¯. Calculemos los ángulos entre ellos y la dirección F¯. Tenemos:

α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14^o;

β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03^o;

γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20^o.

Dado que se conocen las coordenadas del vector F¯, es posible calcular los módulos de las proyecciones de fuerza en el plano de coordenadas. Usando las fórmulas anteriores, obtenemos:

F_xy=√(9 +16)=5 N;

F_xz=√(9 + 4)=3, 606 N;

F_zy=√(16 + 4)=4, 472 N.

Finalmente, queda calcular los ángulos entre las proyecciones encontradas en el plano y el vector fuerza. Tenemos:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8^o;

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0^o;

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9^o.

Así, el vector F¯ es el más cercano al plano de coordenadas xy.

Problema con una barra deslizante en un plano inclinado

Ahora resolvamos un problema físico donde será necesario aplicar el concepto de proyección de fuerza. Sea dado un plano inclinado de madera. El ángulo de su inclinación con el horizonte es 45^o. En el plano hay un bloque de madera que tiene una masa de 3 kg. Es necesario determinar con qué aceleración se moverá esta barra por el plano si se sabe que el coeficiente de fricción por deslizamiento es 0.7.

Primero, hagamos la ecuación de movimiento del cuerpo. Como solo dos fuerzas actuarán sobre él (la proyección de la gravedad sobre un plano y la fuerza de fricción), la ecuación tomará la forma:

F_g- F_f=ma=>

a=(F_g- F_f)/m.

Aquí F_g, F_f es la proyección de la gravedad y la fricción, respectivamente. Es decir, la tarea se reduce a calcular sus valores.

Dado que el ángulo en el que el plano está inclinado hacia el horizonte es 45^o, es fácil demostrar que la proyección de la gravedad F_ga lo largo de la superficie del plano será igual a:

F_g=mgsen(45^o)=39, 81/√2 ≈ 20, 81 N.

Esta proyección de fuerza busca desestabilizarbloque de madera y dale aceleración.

Según la definición, la fuerza de fricción por deslizamiento es:

F_f=ΜN

Donde Μ=0, 7 (ver la condición del problema). La fuerza de reacción del soporte N es igual a la proyección de la fuerza de gravedad sobre el eje perpendicular al plano inclinado, es decir: