Para determinar el paralelismo y la perpendicularidad de los planos, así como para calcular las distancias entre estos objetos geométricos, es conveniente utilizar uno u otro tipo de funciones numéricas. ¿Para qué problemas es conveniente utilizar la ecuación de un plano en segmentos? En este artículo, veremos qué es y cómo usarlo en tareas prácticas.
¿Qué es una ecuación en segmentos de recta?
Un plano se puede definir en el espacio 3D de varias maneras. En este artículo, algunos de ellos se darán mientras se resuelven problemas de varios tipos. Aquí damos una descripción detallada de la ecuación en segmentos del plano. Generalmente tiene la siguiente forma:
x/p + y/q + z/r=1.
Donde los símbolos p, q, r denotan algunos números específicos. Esta ecuación se puede traducir fácilmente a una expresión general y a otras formas de funciones numéricas para el plano.
La conveniencia de escribir la ecuación en segmentos radica en que contiene las coordenadas explícitas de la intersección del plano con los ejes de coordenadas perpendiculares. en el eje xcon respecto al origen, el plano corta un segmento de longitud p, en el eje y - igual a q, en z - de longitud r.
Si alguna de las tres variables no está contenida en la ecuación, entonces esto significa que el plano no pasa por el eje correspondiente (los matemáticos dicen que se cruza en el infinito).
A continuación, aquí hay algunos problemas en los que mostraremos cómo trabajar con esta ecuación.
Comunicación de lo general y en segmentos de ecuaciones
Se sabe que el plano viene dado por la siguiente igualdad:
2x - 3y + z - 6=0.
Es necesario escribir esta ecuación general del plano en segmentos.
Cuando surge un problema similar, debe seguir esta técnica: transferimos el término libre al lado derecho de la igualdad. Luego dividimos toda la ecuación por este término, tratando de expresarlo en la forma dada en el párrafo anterior. Tenemos:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Hemos obtenido en los segmentos la ecuación del plano, dada inicialmente en forma general. Se nota que el plano corta segmentos con longitudes de 3, 2 y 6 para los ejes x, y y z, respectivamente. El eje y interseca al plano en el área de coordenadas negativas.
Al dibujar una ecuación en segmentos, es importante que todas las variables estén precedidas por un signo "+". Solo en este caso, el número por el que se divide esta variable mostrará la coordenada cortada en el eje.
Vector normal y punto en el plano
Se sabe que algún plano tiene un vector director (3; 0; -1). También se sabe que pasa por el punto (1; 1; 1). Para este plano, escribe una ecuación en segmentos.
Para resolver este problema, primero debes usar la forma general de este objeto geométrico bidimensional. La forma general se escribe como:
Ax + By + Cz + D=0.
Los tres primeros coeficientes aquí son las coordenadas del vector guía, que se especifica en el enunciado del problema, es decir:
A=3;
B=0;
C=-1.
Queda por encontrar el término libre D. Se puede determinar mediante la siguiente fórmula:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Donde los valores de coordenadas con índice 1 corresponden a las coordenadas de un punto perteneciente al plano. Sustituimos sus valores por la condición del problema, obtenemos:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Ahora puedes escribir la ecuación completa:
3x - z - 2=0.
La técnica para convertir esta expresión en una ecuación en segmentos del plano ya se ha demostrado anteriormente. Aplicarlo:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Se ha recibido la respuesta al problema. Tenga en cuenta que este plano solo interseca los ejes x y z. Para y es paralelo.
Dos rectas que definen un plano
Desde el curso de geometría espacial, cada estudiante sabe que dos líneas arbitrarias definen de manera única un plano enespacio tridimensional. Resolvamos un problema similar.
Se conocen dos ecuaciones de líneas:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Es necesario escribir la ecuación del plano en segmentos, pasando por estas rectas.
Dado que ambas líneas deben estar en el plano, esto significa que sus vectores (guías) deben ser perpendiculares al vector (guía) del plano. Al mismo tiempo, se sabe que el producto vectorial de dos segmentos arbitrarios dirigidos da el resultado en forma de coordenadas del tercero, perpendiculares a los dos originales. Dada esta propiedad, obtenemos las coordenadas de un vector normal al plano deseado:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Como se puede multiplicar por un número arbitrario, este forma un nuevo segmento dirigido paralelo al original, podemos reemplazar el signo de las coordenadas obtenidas por el opuesto (multiplicar por -1), obtenemos:
(1; 2; 1).
Conocemos el vector de dirección. Resta tomar un punto arbitrario de una de las rectas y trazar la ecuación general del plano:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Traduciendo esta igualdad a una expresión en segmentos, obtenemos:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Así, el plano corta los tres ejes en la región positiva del sistema de coordenadas.
Tres puntas y un plano
Al igual que dos líneas rectas, tres puntos definen un plano de forma única en el espacio tridimensional. Escribimos la ecuación correspondiente en segmentos si se conocen las siguientes coordenadas de los puntos que se encuentran en el plano:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Hagamos lo siguiente: calculemos las coordenadas de dos vectores arbitrarios que conectan estos puntos, luego busquemos el vector n¯ normal al plano calculando el producto de los segmentos dirigidos encontrados. Obtenemos:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Toma el punto P como ejemplo, compone la ecuación del plano:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 o z=0.
Obtuvimos una expresión simple que corresponde al plano xy en el sistema de coordenadas rectangulares dado. No se puede escribir en segmentos, ya que los ejes x e y pertenecen al plano, y la longitud del segmento cortado en el eje z es cero (el punto (0; 0; 0) pertenece al plano).
