Un cuerpo lanzado en ángulo hacia el horizonte: tipos de trayectorias, fórmulas

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2023-12-17 05:23

Cada uno de nosotros arrojó piedras al cielo y observó la trayectoria de su caída. Este es el ejemplo más común del movimiento de un cuerpo rígido en el campo de fuerzas gravitatorias de nuestro planeta. En este artículo, consideraremos fórmulas que pueden ser útiles para resolver problemas sobre el movimiento libre de un cuerpo lanzado al horizonte en ángulo.

El concepto de moverse hacia el horizonte en ángulo

Cuando a un objeto sólido se le da una velocidad inicial y comienza a ganar altura, y luego, nuevamente, cae al suelo, generalmente se acepta que el cuerpo se mueve a lo largo de una trayectoria parabólica. De hecho, la solución de ecuaciones para este tipo de movimiento muestra que la línea descrita por el cuerpo en el aire es parte de una elipse. Sin embargo, para uso práctico, la aproximación parabólica resulta bastante conveniente y conduce a resultados exactos.

Ejemplos del movimiento de un cuerpo lanzado en ángulo hacia el horizonte son disparar un proyectil desde la boca de un cañón, patear una pelota e incluso s altar guijarros en la superficie del agua ("sapos"), que son retenidacompeticiones internacionales.

La balística estudia el tipo de movimiento en ángulo.

Propiedades del tipo de movimiento considerado

Al considerar la trayectoria de un cuerpo en el campo de las fuerzas gravitatorias de la Tierra, las siguientes afirmaciones son verdaderas:

• conocer la altura inicial, la velocidad y el ángulo con respecto al horizonte te permite calcular toda la trayectoria;
• el ángulo de salida es igual al ángulo de incidencia del cuerpo, siempre que la altura inicial sea cero;
• el movimiento vertical se puede considerar independientemente del movimiento horizontal;

Tenga en cuenta que estas propiedades son válidas si la fuerza de fricción durante el vuelo del cuerpo es despreciable. En balística, cuando se estudia el vuelo de los proyectiles, se tienen en cuenta muchos factores diferentes, incluida la fricción.

Tipos de movimiento parabólico

Según la altura desde la que se inicia el movimiento, a qué altura finaliza y cómo se dirige la velocidad inicial, se distinguen los siguientes tipos de movimiento parabólico:

• Parábola completa. En este caso, el cuerpo es lanzado desde la superficie de la tierra y cae sobre esta superficie, describiendo una parábola completa.
• La mitad de una parábola. Tal gráfico del movimiento del cuerpo se observa si se lanza desde cierta altura h, dirigiendo la velocidad v paralela al horizonte, es decir, en un ángulo θ=0^o.
• Parte de una parábola. Tales trayectorias surgen cuando se lanza un cuerpo en algún ángulo θ≠0^o, y la diferencialas alturas inicial y final tampoco son cero (h-h₀≠0). La mayoría de las trayectorias de movimiento de objetos son de este tipo. Por ejemplo, un disparo de un cañón parado en una colina, o un jugador de baloncesto lanzando una pelota a una canasta.

Arriba se muestra la gráfica del movimiento del cuerpo correspondiente a una parábola completa.

Fórmulas necesarias para el cálculo

Vamos a dar fórmulas para describir el movimiento de un cuerpo lanzado en ángulo con respecto al horizonte. Despreciando la fuerza de fricción y teniendo en cuenta únicamente la fuerza de gravedad, podemos escribir dos ecuaciones para la velocidad de un objeto:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ) - gt

Dado que la gravedad se dirige verticalmente hacia abajo, no cambia la componente horizontal de la velocidad v_x, por lo que no hay dependencia del tiempo en la primera igualdad. El componente v_y, a su vez, está influenciado por la gravedad, lo que le da a g una aceleración del cuerpo dirigida hacia el suelo (de ahí el signo menos en la fórmula).

Ahora escribamos fórmulas para cambiar las coordenadas de un cuerpo lanzado en ángulo con el horizonte:

x=x₀+v₀cos(θ)t

y=y₀+ v₀sen(θ)t - gt² /2

La coordenada inicial x₀a menudo se supone que es cero. La coordenada y₀ no es más que la altura h desde la que se lanza el cuerpo (y₀=h).

Ahora expresemos el tiempo t de la primera expresión y sustituyamos en la segunda, obtenemos:

y=h + tg(θ)x - g /(2v₀²cos ²(θ))x²

Esta expresión en geometría corresponde a una parábola cuyas ramas están dirigidas hacia abajo.

Las ecuaciones anteriores son suficientes para determinar cualquier característica de este tipo de movimiento. Entonces, su solución lleva al hecho de que el rango de vuelo máximo se logra si θ=45^o, mientras que la altura máxima a la que se eleva el cuerpo lanzado se logra cuando θ=90o.