Movimiento del cuerpo en ángulo con respecto al horizonte: fórmulas, cálculo de la distancia de vuelo y altitud máxima de despegue

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2023-12-17 05:23

Al estudiar el movimiento mecánico en física, después de familiarizarse con el movimiento uniforme y uniformemente acelerado de los objetos, proceden a considerar el movimiento de un cuerpo en un ángulo con el horizonte. En este artículo, estudiaremos este tema con más detalle.

¿Cuál es el movimiento de un cuerpo en un ángulo con el horizonte?

Este tipo de movimiento de objetos ocurre cuando una persona lanza una piedra al aire, un cañón dispara una bala de cañón o un portero patea una pelota de fútbol fuera de la portería. Todos estos casos son considerados por la ciencia de la balística.

El tipo mencionado de movimiento de objetos en el aire ocurre a lo largo de una trayectoria parabólica. En el caso general, realizar los cálculos correspondientes no es tarea fácil, ya que es necesario tener en cuenta la resistencia del aire, la rotación del cuerpo durante el vuelo, la rotación de la Tierra alrededor de su eje y algunos otros factores.

En este artículo, no tendremos en cuenta todos estos factores, sino que consideraremos el problema desde un punto de vista puramente teórico. Sin embargo, las fórmulas resultantes son bastante buenas.describir las trayectorias de los cuerpos que se mueven en distancias cortas.

Obtención de fórmulas para el tipo de movimiento considerado

Vamos a derivar las fórmulas para el movimiento del cuerpo hacia el horizonte en ángulo. En este caso, tendremos en cuenta una sola fuerza que actúa sobre un objeto volador: la gravedad. Como actúa verticalmente hacia abajo (paralelo al eje y y contra él), entonces, considerando las componentes horizontal y vertical del movimiento, podemos decir que el primero tendrá el carácter de un movimiento rectilíneo uniforme. Y el segundo: movimiento rectilíneo igualmente lento (acelerado uniformemente) con aceleración g. Es decir, las componentes de la velocidad a través del valor v₀ (velocidad inicial) y θ (el ángulo de la dirección del movimiento del cuerpo) se escribirán de la siguiente manera:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ)-gt

La primera fórmula (para v_x) siempre es válida. En cuanto al segundo, se debe tener en cuenta un matiz: el signo menos antes del producto gt se coloca solo si la componente vertical v₀sin(θ) se dirige hacia arriba. En la mayoría de los casos, esto sucede, sin embargo, si lanzas un cuerpo desde una altura, apuntando hacia abajo, entonces en la expresión para v_y debes poner un signo "+" antes de g t.

Integrando las fórmulas de las componentes de la velocidad en el tiempo, y teniendo en cuenta la altura inicial h del vuelo del cuerpo, obtenemos las ecuaciones de las coordenadas:

x=v₀cos(θ)t

s=h+v₀sin(θ)t-gt²/2

Calcular rango de vuelo

Al considerar en física el movimiento de un cuerpo hacia el horizonte en un ángulo útil para el uso práctico, resulta calcular el rango de vuelo. Vamos a definirlo.

Dado que este movimiento es un movimiento uniforme sin aceleración, basta con sustituirlo por el tiempo de vuelo y obtener el resultado deseado. El rango de vuelo está determinado únicamente por el movimiento a lo largo del eje x (paralelo al horizonte).

El tiempo que el cuerpo está en el aire se puede calcular igualando la coordenada y a cero. Tenemos:

0=h+v₀sin(θ)t-gt²/2

Esta ecuación cuadrática se resuelve a través del discriminante, obtenemos:

D=b²- 4ac=v₀²sin ²(θ) - 4(-g/2)h=v₀² pecado²(θ) + 2gh, t=(-b±√D)/(2a)=(-v₀sen(θ)±√(v₀ ²sin²(θ) + 2gh))/(-2g/2)=

=(v₀sin(θ)+√(v₀² pecado²(θ) + 2gh))/g.

En la última expresión, se descarta una raíz con signo menos, debido a su valor físico insignificante. Sustituyendo el tiempo de vuelo t en la expresión de x, obtenemos el rango de vuelo l:

l=x=v₀cos(θ)(v₀sen(θ)+√(v ₀²sin²(θ) + 2gh))/g.

La forma más fácil de analizar esta expresión es si la altura iniciales igual a cero (h=0), entonces obtenemos una fórmula simple:

l=v ₀²sin(2θ)/g

Esta expresión indica que se puede obtener el máximo alcance de vuelo si el cuerpo se lanza en un ángulo de 45^o(sin(245^o )=m1).

Altura máxima del cuerpo

Además del rango de vuelo, también es útil encontrar la altura sobre el suelo a la que puede elevarse el cuerpo. Dado que este tipo de movimiento se describe mediante una parábola cuyas ramas se dirigen hacia abajo, la altura máxima de elevación es su extremo. Este último se calcula resolviendo la ecuación de la derivada con respecto a t para y:

dy/dt=d(h+v₀sin(θ)t-gt²/2)/dt=v₀sin(θ)-gt=0=>

=>t=v₀sin(θ)/g.

Sustituye y en la ecuación por este tiempo, obtenemos:

y=h+v₀sen(θ)v₀sen(θ)/g-g(v ₀sin(θ)/g)²/2=h + v₀ ²pecado²(θ)/(2g).

Esta expresión indica que el cuerpo alcanzará la altura máxima si se lanza verticalmente hacia arriba (sin²(90^o)=1).