El estudio de la teoría de la probabilidad comienza con la resolución de problemas de suma y multiplicación de probabilidades. Vale la pena mencionar de inmediato que al dominar este campo del conocimiento, un estudiante puede encontrar un problema: si los procesos físicos o químicos pueden representarse visualmente y entenderse empíricamente, entonces el nivel de abstracción matemática es muy alto, y la comprensión aquí solo viene con experiencia.
Sin embargo, el juego vale la pena, porque las fórmulas, tanto las consideradas en este artículo como otras más complejas, se usan en todas partes hoy en día y pueden ser útiles en el trabajo.
Origen
Curiosamente, el ímpetu para el desarrollo de esta sección de matemáticas fue… el juego. De hecho, los dados, el lanzamiento de una moneda, el póquer, la ruleta son ejemplos típicos que utilizan la suma y la multiplicación de probabilidades. En el ejemplo de tareas en cualquier libro de texto, esto se puede ver claramente. La gente estaba interesada en saber cómo aumentar sus posibilidades de ganar y, debo decir, algunos lo lograron.
Por ejemplo, ya en el siglo XXI, una persona, cuyo nombre no revelaremos,usó este conocimiento acumulado a lo largo de los siglos para literalmente "limpiar" el casino, ganando varias decenas de millones de dólares en la ruleta.
Sin embargo, a pesar del creciente interés en el tema, no fue sino hasta el siglo XX que se desarrolló un marco teórico que convirtió al "teorver" en un componente completo de las matemáticas. Hoy, en casi cualquier ciencia, puedes encontrar cálculos utilizando métodos probabilísticos.
Aplicabilidad
Un punto importante al usar fórmulas de suma y multiplicación de probabilidades, la probabilidad condicional es la satisfacibilidad del teorema del límite central. De lo contrario, aunque no se dé cuenta por parte del alumno, todos los cálculos, por plausibles que parezcan, serán incorrectos.
Sí, el alumno altamente motivado se siente tentado a usar nuevos conocimientos en cada oportunidad. Pero en este caso, uno debe reducir la velocidad un poco y delinear estrictamente el alcance de la aplicabilidad.
La teoría de la probabilidad se ocupa de sucesos aleatorios, que en términos empíricos son el resultado de experimentos: podemos lanzar un dado de seis caras, sacar una carta de una baraja, predecir el número de piezas defectuosas en un lote. Sin embargo, en algunas preguntas es categóricamente imposible usar fórmulas de esta sección de matemáticas. Discutiremos las características de considerar las probabilidades de un evento, los teoremas de suma y multiplicación de eventos al final del artículo, pero por ahora pasemos a ejemplos.
Conceptos básicos
Un evento aleatorio significa algún proceso o resultado que puede o no aparecercomo resultado del experimento. Por ejemplo, lanzamos un sándwich: puede caer mantequilla hacia arriba o hacia abajo. Cualquiera de los dos resultados será aleatorio y no sabemos de antemano cuál de ellos tendrá lugar.
Al estudiar la suma y la multiplicación de probabilidades, necesitamos dos conceptos más.
Los eventos conjuntos son aquellos eventos, la ocurrencia de uno de los cuales no excluye la ocurrencia del otro. Digamos que dos personas disparan a un objetivo al mismo tiempo. Si uno de ellos dispara con éxito, no afectará la capacidad del otro para acertar o fallar.
Inconsistentes serán tales eventos, cuya ocurrencia es simultáneamente imposible. Por ejemplo, al sacar solo una bola de la caja, no puede obtener la azul y la roja a la vez.
Designación
El concepto de probabilidad se denota con la letra latina P mayúscula. Los siguientes entre paréntesis son argumentos que denotan algunos eventos.
En las fórmulas del teorema de la suma, probabilidad condicional, teorema de la multiplicación, verá expresiones entre paréntesis, por ejemplo: A+B, AB o A|B. Se calcularán de varias maneras, ahora nos ocuparemos de ellos.
Adición
Consideremos casos en los que se utilizan fórmulas de suma y multiplicación.
Para eventos incompatibles, la fórmula de suma más simple es relevante: la probabilidad de cualquiera de los resultados aleatorios será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de estos resultados.
Supongamos que hay una caja con 2 globos azules, 3 rojos y 5 amarillos. Hay 10 artículos en total en la caja. ¿Cuál es el porcentaje de verdad de la afirmación de que sacaremos una bola azul o roja? Será igual a 2/10 + 3/10, es decir, el cincuenta por ciento.
En el caso de eventos incompatibles, la fórmula se vuelve más complicada, ya que se agrega un término adicional. Volveremos a él en un párrafo, después de considerar una fórmula más.
Multiplicación
La suma y la multiplicación de probabilidades de eventos independientes se usan en diferentes casos. Si, según la condición del experimento, estamos satisfechos con cualquiera de los dos resultados posibles, calcularemos la suma; si queremos obtener dos resultados determinados uno tras otro, recurriremos al uso de una fórmula diferente.
Volviendo al ejemplo de la sección anterior, queremos dibujar primero la bola azul y luego la roja. El primer número que conocemos es 2/10. ¿Qué pasa después? Quedan 9 bolas, todavía hay la misma cantidad de bolas rojas: tres piezas. Según los cálculos, obtienes 3/9 o 1/3. Pero, ¿qué hacer con dos números ahora? La respuesta correcta es multiplicar para obtener 2/30.
Eventos conjuntos
Ahora podemos revisar la fórmula de suma para eventos conjuntos. ¿Por qué nos estamos desviando del tema? Aprender cómo se multiplican las probabilidades. Ahora este conocimiento será útil.
Ya sabemos cuáles serán los primeros dos términos (los mismos que en la fórmula de suma considerada anteriormente), ahora necesitamos restarel producto de probabilidades que acabamos de aprender a calcular. Para mayor claridad, escribimos la fórmula: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Resulta que tanto la suma como la multiplicación de probabilidades se usan en una expresión.
Digamos que tenemos que resolver cualquiera de los dos problemas para obtener crédito. Podemos resolver el primero con una probabilidad de 0,3 y el segundo - 0,6. Solución: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Tenga en cuenta que simplemente sumar los números aquí no será suficiente.
Probabilidad condicional
Finalmente, está el concepto de probabilidad condicional, cuyos argumentos se indican entre paréntesis y separados por una barra vertical. La entrada P(A|B) dice lo siguiente: “probabilidad del evento A dado el evento B”.
Veamos un ejemplo: un amigo te da un dispositivo, que sea un teléfono. Puede estar roto (20%) o bien (80%). Eres capaz de reparar cualquier aparato que caiga en tus manos con una probabilidad de 0,4 o no eres capaz de hacerlo (0,6). Finalmente, si el dispositivo funciona correctamente, puede comunicarse con la persona adecuada con una probabilidad de 0.7.
Es fácil ver cómo funciona la probabilidad condicional en este caso: no puedes comunicarte con una persona si el teléfono está roto, y si está bien, no necesitas arreglarlo. Por lo tanto, para obtener resultados en el "segundo nivel", necesita saber qué evento se ejecutó en el primero.
Cálculos
Consideremos ejemplos de resolución de problemas de suma y multiplicación de probabilidades, utilizando los datos del párrafo anterior.
Primero, encontremos la probabilidad de quereparar el dispositivo que se le entregó. Para hacer esto, en primer lugar, debe estar defectuoso y, en segundo lugar, debe hacer frente a la reparación. Este es un problema típico de multiplicación: obtenemos 0.20.4=0.08.
¿Cuál es la probabilidad de comunicarse inmediatamente con la persona adecuada? Más fácil que simple: 0,80,7=0,56. En este caso, descubrió que el teléfono funciona y realizó una llamada con éxito.
Finalmente, considere este escenario: recibió un teléfono roto, lo reparó, luego marcó el número y la persona en el otro extremo contestó el teléfono. Aquí ya se requiere la multiplicación de tres componentes: 0, 20, 40, 7=0, 056.
¿Y si tienes dos teléfonos que no funcionan a la vez? ¿Qué posibilidades hay de que arregle al menos uno de ellos? Este es un problema de suma y multiplicación de probabilidades, ya que se utilizan eventos conjuntos. Solución: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Uso cuidadoso
Como se mencionó al principio del artículo, el uso de la teoría de la probabilidad debe ser deliberado y consciente.
Cuanto mayor sea la serie de experimentos, más se acercará el valor predicho teóricamente al valor práctico. Por ejemplo, estamos lanzando una moneda. Teóricamente, conociendo la existencia de fórmulas para la suma y multiplicación de probabilidades, podemos predecir cuántas veces saldrá cara y cruz si realizamos el experimento 10 veces. Hicimos un experimento yCoincidentemente, la proporción de los lados caídos era de 3 a 7. Pero si realizas una serie de 100, 1000 o más intentos, resulta que el gráfico de distribución se acerca cada vez más al teórico: 44 a 56, 482 a 518 y así sucesivamente.
Ahora imagina que este experimento no se lleva a cabo con una moneda, sino con la producción de una nueva sustancia química, cuya probabilidad no conocemos. Realizaríamos 10 experimentos y, si no obtuviéramos un resultado exitoso, podríamos generalizar: "la sustancia no se puede obtener". Pero quién sabe, si hiciéramos el undécimo intento, ¿habríamos llegado a la meta o no?
Entonces, si te adentras en lo desconocido, el reino inexplorado, es posible que la teoría de la probabilidad no se aplique. Cada intento subsiguiente en este caso puede tener éxito y generalizaciones como "X no existe" o "X es imposible" serán prematuras.
Palabra de cierre
Así que hemos visto dos tipos de probabilidades de suma, multiplicación y condicionales. Con un mayor estudio de esta área, es necesario aprender a distinguir situaciones cuando se utiliza cada fórmula específica. Además, debe comprender si los métodos probabilísticos son generalmente aplicables para resolver su problema.
Si practicas, después de un tiempo comenzarás a realizar todas las operaciones requeridas exclusivamente en tu mente. Para los amantes de los juegos de cartas, esta habilidad se puede considerarextremadamente valioso: aumentará significativamente sus posibilidades de ganar, simplemente calculando la probabilidad de que caiga una carta o un palo en particular. Sin embargo, los conocimientos adquiridos pueden aplicarse fácilmente en otras áreas de actividad.
