Resolver ecuaciones en matemáticas tiene un lugar especial. Este proceso está precedido por muchas horas de estudio de la teoría, durante las cuales el estudiante aprende a resolver ecuaciones, determinar su forma y llevar la habilidad al automatismo completo. Sin embargo, la búsqueda de raíces no siempre tiene sentido, ya que es posible que simplemente no existan. Hay métodos especiales para encontrar raíces. En este artículo analizaremos las funciones principales, sus alcances, así como los casos en los que sus raíces están ausentes.
¿Qué ecuación no tiene raíces?
Una ecuación no tiene raíces si no existen tales argumentos reales x para los cuales la ecuación es idénticamente cierta. Para un no especialista, esta formulación, como la mayoría de los teoremas y fórmulas matemáticas, parece muy vaga y abstracta, pero esto es en teoría. En la práctica, todo se vuelve extremadamente simple. Por ejemplo: la ecuación 0x=-53 no tiene solución, ya que no existe tal número x, cuyo producto con cero daría algo distinto de cero.
Ahora veremos los tipos más básicos de ecuaciones.
1. Ecuación lineal
Una ecuación se llama lineal si sus partes derecha e izquierda se representan como funciones lineales: ax + b=cx + d o en forma generalizada kx + b=0. Donde a, b, c, d son conocidas números, y x es una cantidad desconocida. ¿Qué ecuación no tiene raíces? En la siguiente ilustración se muestran ejemplos de ecuaciones lineales.
Básicamente, las ecuaciones lineales se resuelven simplemente moviendo la parte numérica a una parte y el contenido de x a la otra. Resulta una ecuación de la forma mx \u003d n, donde m y n son números, yx es una incógnita. Para encontrar x, basta con dividir ambas partes por m. Entonces x=n/m. Básicamente, las ecuaciones lineales tienen una sola raíz, pero hay casos en los que hay infinitas raíces o ninguna. Con m=0 y n=0, la ecuación toma la forma 0x=0. Absolutamente cualquier número será la solución a tal ecuación.
¿Pero qué ecuación no tiene raíces?
Cuando m=0 y n=0, la ecuación no tiene raíces del conjunto de números reales. 0x=-1; 0x=200 - estas ecuaciones no tienen raíces.
2. Ecuación cuadrática
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c=0 para a=0. La forma más común de resolver una ecuación cuadrática es resolverla a través del discriminante. La fórmula para encontrar el discriminante de una ecuación cuadrática: D=b2 - 4ac. Entonces hay dos raíces x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Cuando D > 0 la ecuación tiene dos raíces, cuando D=0 - una raíz. Pero, ¿qué ecuación cuadrática no tiene raíces?La forma más fácil de observar el número de raíces de una ecuación cuadrática es en la gráfica de una función, que es una parábola. En > 0 las ramas se dirigen hacia arriba, en < 0 las ramas se bajan. Si el discriminante es negativo, tal ecuación cuadrática no tiene raíces en el conjunto de números reales.
También puedes determinar visualmente el número de raíces sin calcular el discriminante. Para hacer esto, debe encontrar la parte superior de la parábola y determinar en qué dirección se dirigen las ramas. Puedes determinar la coordenada x de un vértice usando la fórmula: x0 =-b / 2a. En este caso, la coordenada y del vértice se encuentra simplemente sustituyendo el valor de x0 en la ecuación original.
La ecuación cuadrática x2 – 8x + 72=0 no tiene raíces porque tiene un discriminante negativo D=(–8)2 - 4172=-224. Esto significa que la parábola no toca el eje x y la función nunca toma el valor 0, por lo que la ecuación no tiene raíces reales.
3. Ecuaciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas se consideran en un círculo trigonométrico, pero también se pueden representar en un sistema de coordenadas cartesianas. En este artículo, veremos dos funciones trigonométricas básicas y sus ecuaciones: senx y cosx. Como estas funciones forman un círculo trigonométrico con radio 1, |senx| y |cosx| no puede ser mayor que 1. Entonces, ¿qué ecuación senx no tiene raíces? Considere la gráfica de la función senx presentada en la imagenabajo.
Vemos que la función es simétrica y tiene un periodo de repetición de 2pi. En base a esto, podemos decir que el valor máximo de esta función puede ser 1 y el mínimo -1. Por ejemplo, la expresión cosx=5 no tendrá raíces, ya que su módulo es mayor que uno.
Este es el ejemplo más simple de ecuaciones trigonométricas. De hecho, su solución puede tomar muchas páginas, al final de las cuales te das cuenta de que usaste la fórmula incorrecta y debes comenzar de nuevo. A veces, incluso con el hallazgo correcto de las raíces, puede olvidarse de tener en cuenta las restricciones en la ODZ, por lo que aparece una raíz o intervalo adicional en la respuesta, y toda la respuesta se convierte en errónea. Por lo tanto, siga estrictamente todas las restricciones, ya que no todas las raíces se ajustan al alcance de la tarea.
4. Sistemas de Ecuaciones
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones combinadas con corchetes o corchetes. Las llaves denotan la ejecución conjunta de todas las ecuaciones. Es decir, si al menos una de las ecuaciones no tiene raíces o contradice a la otra, todo el sistema no tiene solución. Los corchetes indican la palabra "o". Esto significa que si al menos una de las ecuaciones del sistema tiene solución, entonces todo el sistema tiene solución.
La respuesta del sistema entre corchetes es la totalidad de todas las raíces de las ecuaciones individuales. Y los sistemas con llaves solo tienen raíces comunes. Los sistemas de ecuaciones pueden incluir funciones absolutamente diversas, por lo que esta complejidad no esle permite saber inmediatamente qué ecuación no tiene raíces.
Generalización y consejos para encontrar las raíces de la ecuación
En los libros de problemas y de texto hay diferentes tipos de ecuaciones: las que tienen raíces y las que no las tienen. En primer lugar, si no puede encontrar raíces, no piense que no existen en absoluto. Es posible que haya cometido un error en alguna parte, entonces simplemente verifique su solución.
Hemos cubierto las ecuaciones más básicas y sus tipos. Ahora puedes saber qué ecuación no tiene raíces. En la mayoría de los casos, esto no es nada difícil de hacer. Para lograr el éxito en la resolución de ecuaciones, solo se requiere atención y concentración. Practica más, te ayudará a navegar el material mucho mejor y más rápido.
Entonces, la ecuación no tiene raíces si:
- en la ecuación lineal mx=n el valor m=0 y n=0;
- en una ecuación cuadrática si el discriminante es menor que cero;
- en una ecuación trigonométrica de la forma cosx=m / senx=n, si |m| > 0, |n| > 0;
- en un sistema de ecuaciones con corchetes si al menos una ecuación no tiene raíces, y con corchetes si todas las ecuaciones no tienen raíces.
