Georg Kantor (la foto se muestra más adelante en el artículo) es un matemático alemán que creó la teoría de conjuntos e introdujo el concepto de números transfinitos, infinitamente grandes, pero diferentes entre sí. También definió los números ordinales y cardinales y creó su aritmética.
Georg Kantor: breve biografía
Nacido en San Petersburgo el 1845-03-03. Su padre era un danés de fe protestante, Georg-Valdemar Kantor, que se dedicaba al comercio, incluso en la bolsa de valores. Su madre, Maria Bem, era católica y provenía de una familia de destacados músicos. Cuando el padre de Georg enfermó en 1856, la familia se mudó primero a Wiesbaden y luego a Frankfurt en busca de un clima más templado. Los talentos matemáticos del niño aparecieron incluso antes de cumplir 15 años mientras estudiaba en escuelas privadas y gimnasios en Darmstadt y Wiesbaden. Al final, Georg Cantor convenció a su padre de su firme intención de convertirse en matemático, no en ingeniero.
Después de un breve estudio en la Universidad de Zúrich, en 1863 Kantor se trasladó a la Universidad de Berlín para estudiar física, filosofía y matemáticas. ahí élenseñado:
- Karl Theodor Weierstrass, cuya especialización en análisis probablemente tuvo la mayor influencia en Georg;
- Ernst Eduard Kummer, que enseñó aritmética superior;
- Leopold Kronecker, teórico de números que luego se opuso a Cantor.
Después de pasar un semestre en la Universidad de Göttingen en 1866, al año siguiente Georg escribió su tesis doctoral titulada "En matemáticas, el arte de hacer preguntas es más valioso que resolver problemas", sobre un problema que Carl Friedrich Gauss había planteado dejado sin resolver en sus Disquisitiones Arithmeticae (1801). Después de enseñar brevemente en la Escuela para Niñas de Berlín, Kantor comenzó a trabajar en la Universidad de Halle, donde permaneció hasta el final de su vida, primero como profesor, desde 1872 como profesor asistente y desde 1879 como profesor.
Investigación
Al comienzo de una serie de 10 artículos de 1869 a 1873, Georg Cantor consideró la teoría de números. La obra reflejaba su pasión por el tema, sus estudios de Gauss y la influencia de Kronecker. Por sugerencia de Heinrich Eduard Heine, colega de Cantor en Halle, quien reconoció su talento matemático, recurrió a la teoría de las series trigonométricas, en la que amplió el concepto de los números reales.
Basándose en el trabajo sobre la función de una variable compleja del matemático alemán Bernhard Riemann en 1854, en 1870 Kantor demostró que tal función puede representarse de una sola manera: mediante series trigonométricas. Consideración de un conjunto de números (puntos) queno contradeciría tal punto de vista, lo llevó, en primer lugar, en 1872 a la definición de números irracionales en términos de secuencias convergentes de números racionales (fracciones de números enteros) y luego al comienzo del trabajo sobre el trabajo de su vida, la teoría de conjuntos y el concepto de números transfinitos.
Teoría de conjuntos
Georg Cantor, cuya teoría de conjuntos se originó en la correspondencia con el matemático del Instituto Técnico de Braunschweig Richard Dedekind, fue amigo suyo desde la infancia. Llegaron a la conclusión de que los conjuntos, ya sean finitos o infinitos, son colecciones de elementos (p. ej., números, {0, ±1, ±2…}) que tienen una determinada propiedad al tiempo que conservan su individualidad. Pero cuando Georg Cantor usó una correspondencia uno a uno (por ejemplo, {A, B, C} a {1, 2, 3}) para estudiar sus características, rápidamente se dio cuenta de que difieren en su grado de pertenencia, incluso si fueran conjuntos infinitos, es decir, conjuntos, una parte o subconjunto del cual incluye tantos objetos como él mismo. Su método pronto dio resultados asombrosos.
En 1873, Georg Cantor (matemático) demostró que los números racionales, aunque infinitos, son contables porque se pueden poner en correspondencia biunívoca con los números naturales (es decir, 1, 2, 3, etc.). d.). Demostró que el conjunto de los números reales, que consta de irracionales y racionales, es infinito e incontable. Más paradójicamente, Cantor demostró que el conjunto de todos los números algebraicos contiene tantos elementos comocuántos son el conjunto de todos los números enteros, y que los números trascendentales, que no son algebraicos, que son un subconjunto de los números irracionales, son incontables y, por lo tanto, su número es mayor que los números enteros, y deben ser considerados como infinitos.
Opositores y partidarios
Pero el artículo de Kantor, en el que presentó por primera vez estos resultados, no se publicó en Krell, ya que uno de los revisores, Kronecker, se opuso con vehemencia. Pero tras la intervención de Dedekind, se publicó en 1874 con el título "Sobre las propiedades características de todos los números algebraicos reales".
Ciencia y vida privada
El mismo año, durante su luna de miel con su esposa Wally Gutman en Interlaken, Suiza, Kantor conoció a Dedekind, quien habló favorablemente de su nueva teoría. El salario de George era pequeño, pero con el dinero de su padre, quien murió en 1863, construyó una casa para su esposa y sus cinco hijos. Muchos de sus artículos se publicaron en Suecia en la nueva revista Acta Mathematica, editada y fundada por Gesta Mittag-Leffler, quien estuvo entre los primeros en reconocer el talento del matemático alemán.
Conexión con la metafísica
La teoría de Cantor se convirtió en un tema de estudio completamente nuevo relacionado con las matemáticas del infinito (p. ej., series 1, 2, 3, etc. y conjuntos más complejos), que dependía en gran medida de la correspondencia biunívoca. El desarrollo de Kantor de nuevos métodos de puesta en escenacuestiones relativas a la continuidad y el infinito, dieron a su investigación un carácter ambiguo.
Cuando argumentó que los números infinitos realmente existen, recurrió a la filosofía antigua y medieval sobre el infinito real y potencial, así como a la temprana educación religiosa que le dieron sus padres. En 1883, en su libro Fundamentos de la teoría general de conjuntos, Kantor combinó su concepto con la metafísica de Platón.
Kronecker, quien afirmaba que solo los números enteros “existen” (“Dios creó los números enteros, el resto es obra del hombre”), durante muchos años rechazó con vehemencia su razonamiento e impidió su nombramiento en la Universidad de Berlín.
Números transfinitos
En 1895-97. Georg Cantor formó completamente su noción de continuidad e infinito, incluidos los infinitos números ordinales y cardinales, en su obra más famosa, publicada como Contribuciones al establecimiento de la teoría de los números transfinitos (1915). Este ensayo contiene su concepto, al que fue llevado al demostrar que un conjunto infinito se puede poner en una correspondencia biunívoca con uno de sus subconjuntos.
Bajo el número cardinal mínimo transfinito, se refería a la cardinalidad de cualquier conjunto que se pueda poner en correspondencia biunívoca con los números naturales. Cantor lo llamó alef-nulo. Los grandes conjuntos transfinitos se denotan alef-uno, alef-dos, etc. Desarrolló aún más la aritmética de los números transfinitos, que era análoga a la aritmética finita. Entonces elenriqueció el concepto de infinito.
La oposición que enfrentó y el tiempo que tomó para que sus ideas fueran completamente aceptadas se debe a la dificultad de reevaluar la antigua cuestión de qué es un número. Cantor demostró que el conjunto de puntos de una línea tiene una cardinalidad mayor que alef-cero. Esto condujo al conocido problema de la hipótesis del continuo: no hay números cardinales entre alef-cero y la potencia de los puntos en la línea. Este problema en la primera y segunda mitad del siglo XX despertó un gran interés y fue estudiado por muchos matemáticos, entre ellos Kurt Gödel y Paul Cohen.
Depresión
La biografía de Georg Kantor desde 1884 se vio ensombrecida por su enfermedad mental, pero siguió trabajando activamente. En 1897 ayudó a celebrar el primer congreso matemático internacional en Zúrich. En parte porque Kronecker se opuso a él, a menudo simpatizaba con los jóvenes aspirantes a matemáticos y buscaba una manera de salvarlos del acoso de los profesores que se sentían amenazados por las nuevas ideas.
Reconocimiento
A principios de siglo, su trabajo fue plenamente reconocido como la base para la teoría, el análisis y la topología de funciones. Además, los libros de Cantor Georg sirvieron como impulso para un mayor desarrollo de las escuelas intuicionista y formalista de los fundamentos lógicos de las matemáticas. Esto cambió significativamente el sistema de enseñanza y a menudo se asocia con las "nuevas matemáticas".
En 1911, Kantor fue uno de los invitados acelebración del 500 aniversario de la Universidad de St. Andrews en Escocia. Fue allí con la esperanza de encontrarse con Bertrand Russell, quien, en su obra Principia Mathematica, recientemente publicada, se refirió repetidamente al matemático alemán, pero esto no sucedió. La universidad otorgó a Kantor un título honorario, pero debido a una enfermedad no pudo aceptar el premio en persona.
Kantor se retiró en 1913, vivió en la pobreza y pasó hambre durante la Primera Guerra Mundial. Las celebraciones en honor a su 70 cumpleaños en 1915 se cancelaron debido a la guerra, pero se llevó a cabo una pequeña ceremonia en su casa. Murió el 1918-01-06 en Halle, en un hospital psiquiátrico, donde pasó los últimos años de su vida.
Georg Kantor: biografía. Familia
El 9 de agosto de 1874, un matemático alemán se casa con Wally Gutmann. La pareja tuvo 4 hijos y 2 hijas. El último niño nació en 1886 en una nueva casa comprada por Kantor. La herencia de su padre lo ayudó a mantener a su familia. La salud de Kantor se vio muy afectada por la muerte de su hijo menor en 1899, y la depresión no lo ha abandonado desde entonces.
