Las matrices y los determinantes se descubrieron en los siglos XVIII y XIX. Inicialmente, su desarrollo se centró en la transformación de objetos geométricos y la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Históricamente, el énfasis inicial estaba en el determinante. En los métodos modernos de procesamiento de álgebra lineal, las matrices se consideran primero. Vale la pena reflexionar sobre esta pregunta por un tiempo.
Respuestas de esta área de conocimiento
Las matrices proporcionan una forma teórica y práctica útil para resolver muchos problemas, tales como:
- sistemas de ecuaciones lineales;
- equilibrio de sólidos (en física);
- teoría de grafos;
- Modelo económico de Leontief;
- silvicultura;
- infografía y tomografía;
- genética;
- criptografía;
- redes eléctricas;
- fractal.
De hecho, el álgebra matricial para "tontos" tiene una definición simplificada. Se expresa así: se trata de un campo científico del conocimiento en el quelos valores en cuestión son estudiados, analizados y explorados a fondo. En esta sección de álgebra, se estudian varias operaciones sobre las matrices en estudio.
Cómo trabajar con matrices
Estos valores se consideran iguales si tienen las mismas dimensiones y cada elemento de uno es igual al elemento correspondiente del otro. Es posible multiplicar una matriz por cualquier constante. Esto dado se llama multiplicación escalar. Ejemplo: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Se pueden sumar y restar matrices del mismo tamaño mediante entradas, y se pueden multiplicar valores de tamaños compatibles. Ejemplo: suma dos A y B: A=[21−10]B=[1423]. Esto es posible porque A y B son matrices con dos filas y el mismo número de columnas. Es necesario sumar cada elemento de A al elemento correspondiente de B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Las matrices se restan de la misma manera en álgebra.
La multiplicación de matrices funciona un poco diferente. Además, puede haber muchos casos y opciones, así como soluciones. Si multiplicamos la matriz Apq y Bmn, entonces el producto Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. La entrada en la g-ésima fila y la h-ésima columna de AB es la suma del producto de las entradas correspondientes en g A y h B. Solo es posible multiplicar dos matrices si el número de columnas en la primera y filas en la segunda son iguales. Ejemplo: cumplir la condición para A y B considerados: A=[1−130]B=[2−11214]. Esto es posible porque la primera matriz contiene 2 columnas y la segunda contiene 2 filas. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Información básica sobre matrices
Los valores en cuestión organizan información como variables y constantes y las almacenan en filas y columnas, generalmente denominadas C. Cada posición en la matriz se denomina elemento. Ejemplo: C=[1234]. Consta de dos filas y dos columnas. El elemento 4 está en la fila 2 y la columna 2. Por lo general, puede nombrar una matriz según sus dimensiones, la denominada Cmk tiene m filas yk columnas.
Matrices expandidas
Las consideraciones son cosas increíblemente útiles que surgen en muchas áreas de aplicación diferentes. Las matrices se basaron originalmente en sistemas de ecuaciones lineales. Dada la siguiente estructura de desigualdades, se debe tener en cuenta la siguiente matriz complementada:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Escribe los coeficientes y los valores de las respuestas, incluidos todos los signos menos. Si el elemento con un número negativo, será igual a "1". Es decir, dado un sistema de ecuaciones (lineales), es posible asociarle una matriz (cuadrícula de números entre paréntesis). Es el que contiene sólo los coeficientes del sistema lineal. Esto se llama la "matriz expandida". La cuadrícula que contiene los coeficientes del lado izquierdo de cada ecuación se ha "rellenado" con las respuestas del lado derecho de cada ecuación.
Registros, eso eslos valores B de la matriz corresponden a los valores x, y y z del sistema original. Si está correctamente organizado, primero verifíquelo. A veces es necesario reorganizar los términos o insertar ceros como marcadores de posición en la matriz que se está estudiando o estudiando.
Dado el siguiente sistema de ecuaciones, podemos escribir inmediatamente la matriz aumentada asociada:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Primero, asegúrese de reorganizar el sistema como:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Entonces es posible escribir la matriz asociada como: [11000113-1012]. Al formar uno extendido, vale la pena usar cero para cualquier registro donde el lugar correspondiente en el sistema de ecuaciones lineales esté vacío.
Álgebra de matrices: propiedades de las operaciones
Si es necesario formar elementos solo a partir de valores de coeficiente, entonces el valor considerado se verá así: [110011-101]. Esto se llama la "matriz de coeficientes".
Teniendo en cuenta el siguiente álgebra matricial extendida, es necesario mejorarlo y agregarle el sistema lineal asociado. Dicho esto, es importante recordar que requieren que las variables estén bien organizadas y ordenadas. Y por lo general, cuando hay tres variables, use x, y y z en ese orden. Por lo tanto, el sistema lineal asociado debe ser:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Tamaño de matriz
A menudo se hace referencia a los elementos en cuestión por su rendimiento. El tamaño de una matriz en álgebra se da comomedidas, ya que la habitación se puede llamar de otra manera. Las medidas medidas de valores son filas y columnas, no ancho y largo. Por ejemplo, matriz A:
[1234]
[2345]
[3456].
Como A tiene tres filas y cuatro columnas, el tamaño de A es 3 × 4.
→
↓
Las líneas van de lado. Las columnas suben y bajan. "Fila" y "columna" son especificaciones y no son intercambiables. Los tamaños de matriz siempre se especifican con el número de filas y luego el número de columnas. Siguiendo esta convención, el siguiente B:
[123]
[234] es 2 × 3. Si una matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, entonces se llama "cuadrado". Por ejemplo, valores de coeficiente de arriba:
[110]
[011]
[-101] es una matriz cuadrada de 3×3.
Notación matricial y formato
Nota de formato: Por ejemplo, cuando necesite escribir una matriz, es importante usar corchetes . Las barras de valor absoluto || no se utilizan porque tienen una dirección diferente en este contexto. Nunca se utilizan paréntesis ni llaves {}. O algún otro símbolo de agrupación, o ninguno, ya que estas presentaciones no tienen ningún significado. En álgebra, una matriz siempre está entre corchetes. Solo se debe usar la notación correcta, o las respuestas pueden considerarse distorsionadas.
Como se mencionó anteriormente, los valores contenidos en una matriz se denominan registros. Por la razón que sea, los elementos en cuestión suelen escribirseletras mayúsculas, como A o B, y las entradas se especifican utilizando las letras minúsculas correspondientes, pero con subíndices. En la matriz A, los valores suelen llamarse "ai, j", donde i es la fila de A y j es la columna de A. Por ejemplo, a3, 2=8. La entrada para a1, 3 es 3.
Para matrices más pequeñas, aquellas con menos de diez filas y columnas, a veces se omite la coma del subíndice. Por ejemplo, "a1, 3=3" podría escribirse como "a13=3". Obviamente esto no funcionará para matrices grandes ya que a213 será oscuro.
Tipos de matriz
A veces se clasifican según sus configuraciones de registro. Por ejemplo, una matriz que tiene todas las entradas cero debajo de la "diagonal" diagonal superior-izquierda-inferior-derecha se denomina triangular superior. Entre otras cosas, puede haber otras clases y tipos, pero no son muy útiles. En general, se percibe principalmente como triangular superior. Los valores con exponentes distintos de cero solo horizontalmente se denominan valores diagonales. Los tipos similares tienen entradas distintas de cero en las que todos son 1, tales respuestas se denominan idénticas (por razones que quedarán claras cuando se aprenda y comprenda cómo multiplicar los valores en cuestión). Hay muchos indicadores de investigación similares. La identidad 3 × 3 se denota por I3. De manera similar, la identidad 4 × 4 es I4.
Álgebra matricial y espacios lineales
Tenga en cuenta que las matrices triangulares son cuadradas. Pero las diagonales son triangulares. Ante esto, soncuadrado. Y las identidades se consideran diagonales y, por tanto, triangulares y cuadradas. Cuando se requiere describir una matriz, generalmente se especifica simplemente la clasificación propia más específica, ya que esto implica todas las demás. Clasifica las siguientes opciones de investigación:como 3 × 4. En este caso, no son cuadrados. Por tanto, los valores no pueden ser otra cosa. La siguiente clasificación:es posible como 3 × 3. Pero se considera un cuadrado y no tiene nada de especial. Clasificación de los siguientes datos:como triangular superior de 3 × 3, pero no es diagonal. Es cierto que en los valores en consideración puede haber ceros adicionales en o por encima del espacio ubicado e indicado. La clasificación en estudio es además: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], donde se representa como una diagonal y, además, las entradas son todas 1. Entonces esta es una identidad de 3 × 3, E3.
Dado que las matrices análogas son por definición cuadradas, solo necesitas usar un solo índice para encontrar sus dimensiones. Para que dos matrices sean iguales, deben tener el mismo parámetro y tener las mismas entradas en los mismos lugares. Por ejemplo, suponga que hay dos elementos bajo consideración: A=[1 3 0] [-2 0 0] y B=[1 3] [-2 0]. Estos valores no pueden ser iguales ya que son de diferente tamaño.
Incluso si A y B son: A=[3 6] [2 5] [1 4] y B=[1 2 3] [4 5 6] - todavía no son lo mismo la misma cosa. A y B tienen cada unoseis entradas y también tienen los mismos números, pero esto no es suficiente para las matrices. A es 3 × 2. Y B es una matriz de 2 × 3. A para 3 × 2 no es 2 × 3. No importa si A y B tienen la misma cantidad de datos o incluso los mismos números que los registros. Si A y B no tienen el mismo tamaño y forma, pero tienen valores idénticos en lugares similares, no son iguales.
Operaciones similares en el área bajo consideración
Esta propiedad de igualdad matricial se puede convertir en tareas de investigación independiente. Por ejemplo, se dan dos matrices y se indica que son iguales. En este caso, necesitará usar esta igualdad para explorar y obtener respuestas para los valores de las variables.
Los ejemplos y soluciones de matrices en álgebra pueden variar, especialmente cuando se trata de igualdades. Dado que se consideran las siguientes matrices, es necesario encontrar los valores de x e y. Para que A y B sean iguales, deben tener el mismo tamaño y forma. De hecho, son tales, porque cada una de ellas son matrices de 2 × 2. Y deberían tener los mismos valores en los mismos lugares. Entonces a1, 1 debe ser igual a b1, 1, a1, 2 debe ser igual a b1, 2, y así sucesivamente. Pero, a1, 1=1 obviamente no es igual a b1, 1=x. Para que A sea idéntica a B, la entrada debe tener a1, 1=b1, 1, por lo que puede ser 1=x. De manera similar, los índices a2, 2=b2, 2, por lo que 4=y. Entonces la solución es: x=1, y=4. Dado que el siguientelas matrices son iguales, necesitas encontrar los valores de x, y y z. Para tener A=B, los coeficientes deben tener todas las entradas iguales. Es decir, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 y así sucesivamente. En particular, debe:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Como puede ver en las matrices seleccionadas: con 1, 1-, 2, 2- y 3, 1-elementos. Resolviendo estas tres ecuaciones, obtenemos la respuesta: x=4, y=-6 y z=9. El álgebra de matrices y las operaciones con matrices son diferentes a lo que todo el mundo está acostumbrado, pero no son reproducibles.
Información adicional en esta área
El álgebra matricial lineal es el estudio de conjuntos de ecuaciones similares y sus propiedades de transformación. Este campo de conocimiento te permite analizar rotaciones en el espacio, aproximar mínimos cuadrados, resolver ecuaciones diferenciales asociadas, determinar un círculo que pasa por tres puntos dados y resolver muchos otros problemas de matemáticas, física y tecnología. El álgebra lineal de una matriz no es realmente el sentido técnico de la palabra utilizada, es decir, un espacio vectorial v sobre un campo f, etc.
La matriz y el determinante son herramientas de álgebra lineal extremadamente útiles. Una de las tareas centrales es la solución de la ecuación matricial Ax=b, para x. Aunque esto podría resolverse teóricamente usando la inversa x=A-1 b. Otros métodos, como la eliminación gaussiana, son numéricamente más fiables.
Además de usarse para describir el estudio de conjuntos de ecuaciones lineales, elel término anterior también se usa para describir cierto tipo de álgebra. En particular, L sobre un cuerpo F tiene la estructura de un anillo con todos los axiomas usuales para la suma y multiplicación interna, junto con las leyes distributivas. Por lo tanto, le da más estructura que un anillo. El álgebra matricial lineal también admite una operación externa de multiplicación por escalares que son elementos del campo subyacente F. Por ejemplo, el conjunto de todas las transformaciones consideradas de un espacio vectorial V a sí mismo sobre un campo F se forma sobre F. Otro ejemplo de álgebra lineal el álgebra es el conjunto de todas las matrices cuadradas reales sobre un campo R números reales.
