Como sabes, al multiplicar expresiones con potencias, sus exponentes siempre suman (abac=ab+ do). Esta ley matemática fue derivada por Arquímedes, y más tarde, en el siglo VIII, el matemático Virasen creó una tabla de indicadores de números enteros. Fueron ellos quienes sirvieron para el descubrimiento posterior de los logaritmos. Se pueden encontrar ejemplos del uso de esta función en casi todas partes donde se requiere simplificar la engorrosa multiplicación a una simple suma. Si dedicas 10 minutos a leer este artículo, te explicaremos qué son los logaritmos y cómo trabajar con ellos. Lenguaje sencillo y accesible.
Definición en matemáticas
El logaritmo es una expresión de la siguiente forma: logab=c c" a la que debes elevar la base "a" para finalmente obtener el valor " b". Analicemos el logaritmo usando ejemplos, digamos que hay una expresión log28. ¿Cómo encontrar la respuesta? Es muy simple, necesitas encontrar un grado tal que de 2 al grado requerido obtengas 8. Después de hacer algunos cálculos en tu mente, ¡obtenemos el número 3! Y es cierto, porque2 elevado a la potencia de 3 da como resultado 8.
Variedades de logaritmos
Para muchos alumnos y estudiantes, este tema parece complicado e incomprensible, pero de hecho, los logaritmos no dan tanto miedo, lo principal es comprender su significado general y recordar sus propiedades y algunas reglas. Hay tres tipos distintos de expresiones logarítmicas:
- Logaritmo natural en a, donde la base es el número de Euler (e=2, 7).
- Logaritmo decimal lg a, donde la base es el número 10.
- Logaritmo de cualquier número b en base a>1.
Cada uno de ellos se resuelve de manera estándar, incluyendo simplificación, reducción y posterior reducción a un logaritmo usando teoremas logarítmicos. Para obtener los valores correctos de los logaritmos, se deben recordar sus propiedades y el orden de las acciones para resolverlos.
Reglas y algunas restricciones
En matemáticas existen varias reglas-restricciones que se aceptan como un axioma, es decir, no son negociables y son verdaderas. Por ejemplo, es imposible dividir números por cero, y también es imposible sacar una raíz par de números negativos. Los logaritmos también tienen sus propias reglas, siguiendo las cuales puede aprender fácilmente a trabajar incluso con expresiones logarítmicas largas y amplias:
- la base de "a" debe ser siempre mayor que cero, y al mismo tiempo no ser igual a 1, de lo contrario la expresión perderá su significado, porque "1" y "0" en cualquier grado son siempre igual a sus valores;
- si a > 0, entonces ab>0,resulta que "c" también debe ser mayor que cero.
¿Cómo resolver logaritmos?
Por ejemplo, dada la tarea de encontrar la respuesta a la ecuación 10x=100. Es muy fácil, debes elegir esa potencia, elevando el número diez, obtener 100. Esto, por supuesto Bueno, potencia cuadrática! 102=100.
Ahora representemos esta expresión como una expresión logarítmica. Obtenemos log10100=2. Al resolver logaritmos, todas las acciones prácticamente convergen en encontrar la potencia a la cual se debe ingresar la base del logaritmo para obtener un número dado.
Para determinar con precisión el valor de un grado desconocido, debe aprender a trabajar con la tabla de grados. Tiene este aspecto:
Como puede ver, algunos exponentes se pueden adivinar intuitivamente si tiene una mentalidad técnica y conocimiento de la tabla de multiplicar. Sin embargo, valores más grandes requerirán una tabla de potencia. Puede ser utilizado incluso por aquellos que no entienden nada en temas matemáticos complejos. La columna de la izquierda contiene números (base a), la fila superior de números es el valor de la potencia c, a la que se eleva el número a. En la intersección, las celdas definen los valores de los números que son la respuesta (ac=b). Tomemos, por ejemplo, la primera celda con el número 10 y elévela al cuadrado, obtenemos el valor 100, que se indica en la intersección de nuestras dos celdas. ¡Todo es tan simple y fácil que hasta el humanista más auténtico lo entenderá!
Ecuaciones y desigualdades
Resulta que cuandoBajo ciertas condiciones, el exponente es el logaritmo. Por lo tanto, cualquier expresión numérica matemática se puede escribir como una ecuación logarítmica. Por ejemplo, 34=81 se puede escribir como el logaritmo de 81 en base 3, que es cuatro (log381=4). Para grados negativos, las reglas son las mismas: 2-5=1/32 escrito como un logaritmo, obtenemos log2 (1/32)=-5. Una de las secciones más fascinantes de las matemáticas es el tema de los "logaritmos". Consideraremos ejemplos y soluciones de ecuaciones un poco más abajo, inmediatamente después de estudiar sus propiedades. Por ahora, veamos cómo son las desigualdades y cómo distinguirlas de las ecuaciones.
Se da la siguiente expresión: log2(x-1) > 3 - es una desigualdad logarítmica, ya que el valor desconocido "x" está bajo el signo de la logaritmo. La expresión también compara dos valores: el logaritmo en base dos del número deseado es mayor que el número tres.
La diferencia más importante entre ecuaciones logarítmicas y desigualdades es que las ecuaciones con logaritmos (ejemplo - logaritmo2x=√9) implican en la respuesta uno o más valores numéricos específicos, mientras que al resolver una desigualdad se determina tanto el rango de valores aceptables como los puntos de quiebre de esta función. Como resultado, la respuesta no es un simple conjunto de números individuales, como en la respuesta de la ecuación, sino una serie continua o un conjunto de números.
Teoremas básicos sobre logaritmos
Al resolver tareas primitivas para encontrar los valores del logaritmo, es posible que no conozcas sus propiedades. Sin embargo, cuando se trata de ecuaciones o desigualdades logarítmicas, en primer lugar, es necesario comprender claramente y aplicar en la práctica todas las propiedades básicas de los logaritmos. Nos familiarizaremos con los ejemplos de ecuaciones más adelante, primero analicemos cada propiedad con más detalle.
- La identidad básica se ve así: alogaB=B. Solo se aplica si a es mayor que 0, no igual a uno, y B es mayor que cero.
- El logaritmo del producto se puede representar con la siguiente fórmula: logd(s1s2)=logds1 + logds2. En este caso, la condición obligatoria es: d, s1 y s2 > 0; a≠1. Puedes dar una demostración de esta fórmula de logaritmos, con ejemplos y una solución. Sea logas1 =f1 y logas 2=f2, luego af1=s1, la f2=s2. Obtenemos que s1s2 =af1a f2=af1+f2 (propiedades de grado), y además por definición: loga(s1 s2)=f1+ f2=log as1 + logas2, que iba a probarse.
- El logaritmo del cociente se ve así: loga(s1/s2)=registro as1- registroas2.
- El teorema en forma de fórmula toma la siguiente forma: logaqbn =n/q logab.
Esta fórmula se llama la "propiedad del grado del logaritmo". Se parece a las propiedades de los grados ordinarios, y no es de extrañar, porque todas las matemáticas se basan en postulados regulares. Veamos la prueba.
Seamos logab=t, obtenemos at=b. Si elevas ambos lados a la potencia m: atn=b;
pero porque atn=(aq)nt/q=b , por lo tanto logaq bn=(nt)/t, luego logaq bn=n/q logab. Teorema probado.
Ejemplos de problemas y desigualdades
Los tipos más comunes de problemas de logaritmos son ejemplos de ecuaciones y desigualdades. Se encuentran en casi todos los libros de problemas y también se incluyen en la parte obligatoria de los exámenes de matemáticas. Para ingresar a una universidad o aprobar las pruebas de ingreso en matemáticas, debe saber cómo resolver dichos problemas correctamente.
Desafortunadamente, no existe un plan o esquema único para resolver y determinar el valor desconocido del logaritmo, pero se pueden aplicar ciertas reglas a cada desigualdad matemática o ecuación logarítmica. En primer lugar, debe averiguar si la expresión se puede simplificar o reducir a una forma general. Puedes simplificar expresiones logarítmicas largas si usas sus propiedades correctamente. Conozcámoslos pronto.
Al resolver ecuaciones logarítmicas,es necesario determinar qué tipo de logaritmo tenemos ante nosotros: un ejemplo de una expresión puede contener un logaritmo natural o uno decimal.
Estos son ejemplos de logaritmos decimales: ln100, ln1026. Su solución se reduce al hecho de que necesita determinar el grado en que la base 10 será igual a 100 y 1026, respectivamente. Para soluciones de logaritmos naturales, se deben aplicar identidades logarítmicas o sus propiedades. Veamos ejemplos de resolución de problemas logarítmicos de varios tipos.
Cómo usar fórmulas logarítmicas: con ejemplos y soluciones
Entonces, veamos ejemplos del uso de los principales teoremas sobre logaritmos.
- La propiedad del logaritmo del producto puede usarse en tareas donde es necesario descomponer un valor grande del número b en factores más simples. Por ejemplo, log24 + log2128=log2(4128)=log2512. La respuesta es 9.
- registro48=registro22 23 =3/2 log22=1, 5 - como puedes ver, aplicando la cuarta propiedad del grado del logaritmo, logramos resolver a primera vista una expresión compleja e irresoluble. Todo lo que tienes que hacer es factorizar la base y luego sacar la potencia del signo del logaritmo.
Tareas del examen
Los logaritmos a menudo se encuentran en los exámenes de ingreso, especialmente en muchos problemas logarítmicos en el Examen Estatal Unificado (examen estatal para todos los graduados de la escuela). Por lo general, estas tareas están presentes no solo en la parte A (la másprueba fácil parte del examen), pero también en la parte C (las tareas más difíciles y voluminosas). El examen requiere un conocimiento preciso y perfecto del tema "Logaritmos naturales".
Los ejemplos y las soluciones de problemas se toman de las versiones oficiales del examen. Veamos cómo se resuelven tales tareas.
Dado log2(2x-1)=4. Solución:
reescribe la expresión, simplificándola un poco log2(2x-1)=22, por la definición del logaritmo obtenemos que 2x-1=24, por lo tanto 2x=17; x=8, 5.
Siguiendo algunas pautas, siguiendo las cuales puedes resolver fácilmente todas las ecuaciones que contienen expresiones que están bajo el signo del logaritmo.
- Es mejor reducir todos los logaritmos a la misma base para que la solución no sea engorrosa y confusa.
- Todas las expresiones bajo el signo del logaritmo se indican como positivas, por lo que al multiplicar el exponente de la expresión que está bajo el signo del logaritmo y como su base, la expresión que queda bajo el logaritmo debe ser positiva.
