Este artículo se centrará en una sección especial de las matemáticas llamada combinatoria. Fórmulas, reglas, ejemplos de resolución de problemas: todo esto lo puede encontrar aquí leyendo el artículo hasta el final.
Entonces, ¿qué es esta sección? La combinatoria se ocupa del tema de contar cualquier objeto. Pero en este caso, los objetos no son ciruelas, peras o manzanas, sino otra cosa. La combinatoria nos ayuda a encontrar la probabilidad de un evento. Por ejemplo, al jugar a las cartas, ¿cuál es la probabilidad de que el oponente tenga una carta de triunfo? O tal ejemplo: ¿cuál es la probabilidad de que obtenga exactamente blanco de una bolsa de veinte bolas? Es para este tipo de tareas que necesitamos saber al menos los conceptos básicos de esta sección de matemáticas.
Configuraciones combinatorias
Considerando el tema de los conceptos básicos y las fórmulas de la combinatoria, no podemos dejar de prestar atención a las configuraciones combinatorias. Se utilizan no solo para la formulación, sino también para resolver varios problemas combinatorios. Ejemplos de tales modelos son:
- colocación;
- permutación;
- combinación;
- composición numérica;
- dividir número.
Hablaremos de los tres primeros con más detalle más adelante, pero en esta sección prestaremos atención a la composición y la división. Cuando hablan de la composición de cierto número (digamos, a), se refieren a la representación del número a como una suma ordenada de algunos números positivos. Y una división es una suma desordenada.
Secciones
Antes de pasar directamente a las fórmulas de la combinatoria y la consideración de problemas, vale la pena prestar atención al hecho de que la combinatoria, como otras secciones de las matemáticas, tiene sus propias subsecciones. Estos incluyen:
- enumerativo;
- estructural;
- extremo;
- Teoría de Ramsey;
- probabilístico;
- topológico;
- infinito.
En el primer caso, estamos hablando de combinatoria enumerativa, los problemas consideran la enumeración o conteo de diferentes configuraciones que están formadas por elementos de conjuntos. Por regla general, se imponen algunas restricciones a estos conjuntos (distinguibilidad, indistinguibilidad, posibilidad de repetición, etc.). Y el número de estas configuraciones se calcula usando la regla de la suma o multiplicación, de la que hablaremos un poco más adelante. La combinatoria estructural incluye las teorías de grafos y matroides. Un ejemplo de un problema de combinatoria extremal es cuál es la mayor dimensión de un grafo que satisface las siguientes propiedades… En el cuarto párrafo mencionamos la teoría de Ramsey, que estudia la presencia de estructuras regulares en configuraciones aleatorias. probabilísticola combinatoria puede responder a la pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que un conjunto dado tenga una determinada propiedad? Como puede suponer, la combinatoria topológica aplica métodos en topología. Y finalmente, el séptimo punto: la combinatoria infinitaria estudia la aplicación de métodos combinatorios a conjuntos infinitos.
Regla de adición
Entre las fórmulas de la combinatoria, se pueden encontrar fórmulas bastante simples, con las que estamos familiarizados desde hace mucho tiempo. Un ejemplo es la regla de la suma. Supongamos que nos dan dos acciones (C y E), si son mutuamente excluyentes, la acción C se puede realizar de varias formas (por ejemplo, a), y la acción E se puede realizar de formas b, entonces cualquiera de ellas (C o E) se puede hacer de a + b formas.
En teoría, esto es bastante difícil de entender, intentaremos transmitir todo el punto con un ejemplo simple. Tomemos el número promedio de estudiantes en una clase, digamos que son veinticinco. Entre ellos hay quince chicas y diez chicos. Un asistente es asignado a la clase diariamente. ¿Cuántas formas hay de asignar un asistente de clase hoy? La solución al problema es bastante sencilla, recurriremos a la regla de la suma. El texto de la tarea no dice que solo los niños o solo las niñas pueden estar de servicio. Por tanto, podría ser cualquiera de las quince chicas o cualquiera de los diez chicos. Aplicando la regla de la suma, obtenemos un ejemplo bastante simple que un estudiante de primaria puede manejar fácilmente: 15 + 10. Habiendo calculado, obtenemos la respuesta: veinticinco. Es decir, sólo hay veinticinco manerasasigne una clase de servicio para hoy.
Regla de multiplicación
La regla de la multiplicación también pertenece a las fórmulas básicas de la combinatoria. Comencemos con la teoría. Supongamos que necesitamos realizar varias acciones (a): la primera acción se realiza de 1 manera, la segunda, de 2 formas, la tercera, de 3 formas, y así sucesivamente hasta que la última acción a se realiza de sa formas. Entonces todas estas acciones (de las cuales tenemos un total) se pueden realizar de N maneras. ¿Cómo calcular la incógnita N? La fórmula nos ayudará con esto: N \u003d c1c2c3…ca.
Nuevamente, nada está claro en teoría, pasemos a un ejemplo simple de cómo aplicar la regla de la multiplicación. Tomemos la misma clase de veinticinco personas, en la que estudian quince chicas y diez chicos. Solo que esta vez necesitamos elegir dos asistentes. Pueden ser solo niños o niñas, o un niño con una niña. Pasamos a la solución elemental del problema. Elegimos el primer asistente, como decidimos en el último párrafo, obtenemos veinticinco opciones posibles. La segunda persona de servicio puede ser cualquiera de las personas restantes. Teníamos veinticinco alumnos, elegimos uno, lo que significa que cualquiera de las veinticuatro personas restantes puede ser el segundo de turno. Finalmente, aplicamos la regla de la multiplicación y encontramos que los dos asistentes se pueden elegir de seiscientas maneras. Obtuvimos este número al multiplicar veinticinco y veinticuatro.
Intercambiar
Ahora consideraremos una fórmula combinatoria más. En esta sección del artículo, nosHablemos de permutaciones. Considere el problema inmediatamente con un ejemplo. Tomemos bolas de billar, tenemos el n-ésimo número de ellas. Necesitamos calcular: cuantas opciones hay para ordenarlas en fila, es decir, para hacer un conjunto ordenado.
Empecemos, si no tenemos bolas, entonces también tenemos cero opciones de colocación. Y si tenemos una bola, entonces el arreglo también es el mismo (matemáticamente, esto se puede escribir de la siguiente manera: Р1=1). Dos bolas pueden disponerse de dos maneras diferentes: 1, 2 y 2, 1. Por lo tanto, Р2=2. Tres bolas pueden disponerse de seis formas (Р3=6): 1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 2, 1; 3, 1, 2. ¿Y si no hay tres de esas bolas, sino diez o quince? Enumerar todas las opciones posibles es muy largo, entonces la combinatoria viene en nuestra ayuda. La fórmula de permutación nos ayudará a encontrar la respuesta a nuestra pregunta. Pn=nP(n-1). Si tratamos de simplificar la fórmula, obtenemos: Pn=n (n - 1) … 21. Y este es el producto de los primeros números naturales. Tal número se llama factorial y se denota como n!
Consideremos el problema. El líder todas las mañanas construye su destacamento en una línea (veinte personas). Hay tres mejores amigos en el destacamento: Kostya, Sasha y Lesha. ¿Cuál es la probabilidad de que estén uno al lado del otro? Para encontrar la respuesta a la pregunta, debe dividir la probabilidad de un resultado "bueno" por el número total de resultados. ¡El número total de permutaciones es 20!=2,5 quintillones. ¿Cómo contar el número de resultados "buenos"? Supongamos que Kostya, Sasha y Lesha son un superhombre. Entonces nosotrosSólo tenemos dieciocho sujetos. El número de permutaciones en este caso es 18=6,5 cuatrillones. Con todo esto, Kostya, Sasha y Lesha pueden moverse arbitrariamente entre ellos en su triple indivisible, ¡y esto son 3 más!=6 opciones. ¡Así que tenemos 18 constelaciones "buenas" en total!3! Solo tenemos que encontrar la probabilidad deseada: (18!3!) / 20! Que es aproximadamente 0.016. Si se convierte a un porcentaje, resulta ser solo 1.6%.
Alojamiento
Ahora consideraremos otra fórmula combinatoria muy importante y necesaria. El alojamiento es nuestro próximo tema, que le sugerimos considerar en esta sección del artículo. Nos vamos a complicar más. Supongamos que queremos considerar posibles permutaciones, solo que no del conjunto completo (n), sino de uno más pequeño (m). Es decir, consideramos permutaciones de n elementos por m.
Las fórmulas básicas de la combinatoria no solo deben memorizarse, sino entenderse. Incluso a pesar de que se vuelven más complicados, ya que no tenemos un parámetro, sino dos. Supongamos que m \u003d 1, luego A \u003d 1, m \u003d 2, luego A \u003d n(n - 1). Si simplificamos aún más la fórmula y cambiamos a notación usando factoriales, obtenemos una fórmula bastante concisa: ¡A \u003d n! / (n - m)!
Combinación
Hemos considerado casi todas las fórmulas básicas de combinatoria con ejemplos. Ahora pasemos a la etapa final de considerar el curso básico de combinatoria: conocer la combinación. Ahora elegiremos m elementos de los n que tenemos, mientras que los elegiremos todos de todas las formas posibles. Entonces, ¿en qué se diferencia esto del alojamiento? Nosotros noconsidera el orden. Este conjunto desordenado será una combinación.
Inmediatamente introduzca la notación: C. Tomamos ubicaciones de m bolas de n. Dejamos de prestar atención al orden y obtenemos combinaciones repetitivas. Para obtener el número de combinaciones, ¡necesitamos dividir el número de ubicaciones por m! (m factorial). Es decir, C \u003d A / m! Así, hay unas cuantas formas de elegir entre n bolas, aproximadamente igual a cuantas hay para elegir casi todo. Hay una expresión lógica para esto: elegir un poco es lo mismo que tirarlo casi todo. También es importante mencionar en este punto que se puede lograr el número máximo de combinaciones cuando se intenta seleccionar la mitad de los elementos.
¿Cómo elegir una fórmula para resolver un problema?
Hemos examinado en detalle las fórmulas básicas de la combinatoria: colocación, permutación y combinación. Ahora nuestra tarea es facilitar la elección de la fórmula necesaria para resolver el problema en combinatoria. Puede usar el siguiente esquema bastante simple:
- Pregúntate: ¿se tiene en cuenta el orden de los elementos en el texto del problema?
- Si la respuesta es no, utilice la fórmula de combinación (C=n! / (m!(n - m)!)).
- Si la respuesta es no, entonces debe responder una pregunta más: ¿están todos los elementos incluidos en la combinación?
- Si la respuesta es afirmativa, utilice la fórmula de permutación (P=n!).
- Si la respuesta es no, utilice la fórmula de asignación (A=n! / (n - m)!).
Ejemplo
Hemos considerado los elementos de la combinatoria, fórmulas y algunos otros temas. Ahora pasemos aconsiderando un problema real. Imagina que tienes un kiwi, una naranja y un plátano frente a ti.
Primera pregunta: ¿de cuántas maneras se pueden reorganizar? Para hacer esto, usamos la fórmula de permutación: P=3!=6 formas.
Pregunta dos: ¿De cuántas maneras se puede elegir una fruta? Esto es obvio, solo tenemos tres opciones: elija kiwi, naranja o plátano, pero aplicamos la fórmula de combinación: ¡C \u003d 3! / (2!1!)=3.
Pregunta tres: ¿de cuántas maneras se pueden elegir dos frutas? ¿Qué opciones tenemos? kiwi y naranja; kiwi y plátano; naranja y plátano. Es decir, tres opciones, pero esto es fácil de verificar usando la fórmula de combinación: ¡C \u003d 3! / (1!2!)=3
Cuarta pregunta: ¿de cuántas maneras se pueden elegir tres frutas? Como ves, solo hay una forma de elegir tres frutas: coge un kiwi, una naranja y un plátano. C=3! / (0!3!)=1.
Pregunta cinco: ¿de cuántas maneras puedes elegir al menos una fruta? Esta condición implica que podemos tomar uno, dos o los tres frutos. Por lo tanto, sumamos C1 + C2 + C3=3 + 3 + 1=7. Es decir, tenemos siete formas de quitar al menos una fruta de la mesa.
