¿Cómo calcular el área de una pirámide: base, lado y completo?

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2023-12-17 05:23

Al prepararse para el examen de matemáticas, los estudiantes deben sistematizar sus conocimientos de álgebra y geometría. Me gustaría combinar toda la información conocida, por ejemplo, cómo calcular el área de una pirámide. Además, desde la base y las caras laterales hasta toda la superficie. Si la situación es clara con las caras laterales, ya que son triángulos, entonces la base siempre es diferente.

¿Cómo encontrar el área de la base de la pirámide?

Puede tener absolutamente cualquier forma: desde un triángulo arbitrario hasta un n-ágono. Y esta base, además de la diferencia en el número de ángulos, puede ser una figura regular o incorrecta. En las tareas USE de interés para escolares, solo hay tareas con las cifras correctas en la base. Por lo tanto, solo hablaremos de ellos.

Triángulo regular

Eso es equilátero. Aquel en el que todos los lados son iguales y se denota con la letra "a". En este caso, el área de la base de la pirámide se calcula mediante la fórmula:

S=(a2√3) / 4.

Cuadrado

La fórmula para calcular su área es la más sencilla,aquí "a" es el lado otra vez:

S=un2.

N-gon regular arbitrario

El lado de un polígono tiene la misma designación. Para el número de esquinas se utiliza la letra latina n.

S=(na2) / (4tg (180º/n)).

¿Cómo calcular la superficie lateral y total?

Como la base es una figura regular, todos los lados de la pirámide son iguales. Además, cada uno de ellos es un triángulo isósceles, ya que las aristas laterales son iguales. Luego, para calcular el área lateral de la pirámide, necesita una fórmula que consiste en la suma de monomios idénticos. El número de términos está determinado por el número de lados de la base.

El área de un triángulo isósceles se calcula mediante la fórmula en la que la mitad del producto de la base se multiplica por la altura. Esta altura en la pirámide se llama apotema. Su designación es "A". La fórmula general para el área de la superficie lateral es:

S=½ PA, donde P es el perímetro de la base de la pirámide.

Hay situaciones en las que no se conocen los lados de la base, pero se dan las aristas laterales (c) y el ángulo plano en su vértice (α). Entonces se supone que se debe usar esta fórmula para calcular el área lateral de la pirámide:

S=n/2in2 sen α.

Problema 1

Condición. Halla el área total de la pirámide si su base es un triángulo equilátero de 4 cm de lado, y la apotema es √3 cm.

Decisión. SuDebes comenzar calculando el perímetro de la base. Como se trata de un triángulo regular, entonces P \u003d 34 \u003d 12 cm Como se conoce la apotema, puede calcular inmediatamente el área de toda la superficie lateral: ½12√3=6 √3 cm 2.

Para un triángulo en la base, obtienes el siguiente valor de área: (4²√3) / 4=4√3 cm^2.

Para determinar el área total, debes sumar los dos valores resultantes: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.

Respuesta. 10√3cm2.

Problema 2

Condición. Hay una pirámide cuadrangular regular. La longitud del lado de la base es de 7 mm, el borde lateral es de 16 mm. Necesita saber su superficie.

Decisión. Como el poliedro es cuadrangular y regular, entonces su base es un cuadrado. Habiendo aprendido las áreas de la base y las caras laterales, será posible calcular el área de la pirámide. La fórmula para el cuadrado se da arriba. Y en las caras laterales, se conocen todos los lados del triángulo. Por lo tanto, puedes usar la fórmula de Heron para calcular sus áreas.

Los primeros cálculos son simples y conducen a este número: 49 mm². Para el segundo valor, deberá calcular el semiperímetro: (7 + 162): 2=19,5 mm. Ahora puedes calcular el área de un triángulo isósceles: √(19.5(19.5-7)(19.5-16)²)=√2985.9375=54.644 mm ^{2. Solo hay cuatro de estos triángulos, por lo que al calcular el número final, deberá multiplicarlo por 4.}

Resulta: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.

Respuesta. Valor deseado 267, 576mm2.

Problema 3

Condición. Para una pirámide cuadrangular regular, necesitas calcular el área. Conoce el lado del cuadrado - 6 cm y la altura - 4 cm.

Decisión. La forma más fácil es usar la fórmula con el producto del perímetro y la apotema. El primer valor es fácil de encontrar. El segundo es un poco más difícil.

Tendremos que recordar el teorema de Pitágoras y considerar un triángulo rectángulo. Está formado por la altura de la pirámide y la apotema, que es la hipotenusa. El segundo cateto es igual a la mitad del lado del cuadrado, ya que la altura del poliedro cae en su centro.

La apotema buscada (la hipotenusa de un triángulo rectángulo) es √(3² + 4^{2)=5 (cm).}

Ahora puedes calcular el valor requerido: ½(46)5+6²=96 (ver^2).

Respuesta. 96cm2.

Problema 4

Condición. Dada una pirámide hexagonal regular. Los lados de su base son de 22 mm, las nervaduras laterales son de 61 mm. ¿Cuál es el área de la superficie lateral de este poliedro?

Decisión. El razonamiento en él es el mismo que se describe en el problema No. 2. Solo que allí se le dio una pirámide con un cuadrado en la base, y ahora es un hexágono.

En primer lugar, el área de la base se calcula con la fórmula anterior: (622²) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm^2.

Ahora necesitas encontrar el semiperímetro de un triángulo isósceles, que es la cara lateral. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm Queda por calcular el área de cada uno de ellostriángulo, y luego multiplícalo por seis y súmalo al que resultó para la base.

Cálculo por la fórmula de Heron: √(72(72-22)(72-61)²)=√435600=660 cm² . Cálculos que darán la superficie lateral: 6606=3960 cm². Resta sumarlos para encontrar la superficie total: 5217, 47≈5217 cm^2.

Respuesta. Base - 726√3cm², superficie lateral - 3960cm², área total - 5217cm^2.