Una de las secciones fundamentales del análisis matemático es el cálculo integral. Abarca el más amplio campo de objetos, donde el primero es la integral indefinida. Vale la pena posicionarlo como una clave, que incluso en la escuela secundaria revela un número creciente de perspectivas y oportunidades que describen las matemáticas superiores.
Apariencia
A primera vista, la integral parece absolutamente moderna, relevante, pero en la práctica resulta que apareció ya en 1800 a. Egipto se considera oficialmente la patria, ya que no nos ha llegado evidencia anterior de su existencia. Él, por f alta de información, todo este tiempo se posicionó simplemente como un fenómeno. Confirmó una vez más el nivel de desarrollo de la ciencia entre los pueblos de aquellos tiempos. Finalmente, se encontraron las obras de los antiguos matemáticos griegos que datan del siglo IV a. C. Describieron un método en el que se usaba una integral indefinida, cuya esencia era encontrar el volumen o el área de una figura curvilínea (tridimensionaly planos bidimensionales, respectivamente). El principio de cálculo se basó en dividir la figura original en componentes infinitesimales, siempre que ya se conozca su volumen (área). Con el tiempo, el método ha ido creciendo, Arquímedes lo usó para encontrar el área de una parábola. Los científicos de la antigua China llevaron a cabo cálculos similares al mismo tiempo, y eran completamente independientes de sus homólogos griegos en la ciencia.
Desarrollo
El siguiente gran avance en el siglo XI d. C. fue el trabajo del científico árabe "universal" Abu Ali al-Basri, quien traspasó los límites de lo que ya se conocía, derivando fórmulas basadas en la integral para calcular las sumas de filas y las sumas de potencias de la primera a la cuarta, aplicando para ello el método de inducción matemática que conocemos.
Las mentes de los tiempos modernos admiran cómo los antiguos egipcios crearon asombrosos monumentos arquitectónicos sin ningún dispositivo especial, excepto quizás sus manos, pero ¿no es el poder de la mente de los científicos de esa época un milagro? En comparación con la actualidad, su vida parece casi primitiva, pero la solución de integrales indefinidas se derivó en todas partes y se usó en la práctica para un mayor desarrollo.
El siguiente paso tuvo lugar en el siglo XVI, cuando el matemático italiano Cavalieri desarrolló el método de los indivisibles, que fue retomado por Pierre Fermat. Fueron estas dos personalidades las que sentaron las bases del cálculo integral moderno, que se conoce en la actualidad. Conectaron los conceptos de diferenciación e integración, que antes erantratados como unidades autónomas. En general, las matemáticas de aquellos tiempos estaban fragmentadas, las partículas de conclusiones existían por sí mismas, con un alcance limitado. El camino de la unificación y la búsqueda de un terreno común era el único verdadero en ese momento, gracias al cual el análisis matemático moderno tuvo la oportunidad de crecer y desarrollarse.
Todo ha cambiado con el tiempo, incluida la notación de la integral. En general, los científicos lo denotaron por todos los medios, por ejemplo, Newton usó un ícono cuadrado en el que colocó una función integrable o simplemente la colocó junto a ella.
Esta inconsistencia continuó hasta el siglo XVII, cuando el científico Gottfried Leibniz, un hito para toda la teoría del análisis matemático, introdujo el símbolo que nos resulta tan familiar. De hecho, la "S" alargada se basa en esta letra del alfabeto latino, ya que denota la suma de antiderivadas. La integral obtuvo su nombre gracias a Jacob Bernoulli 15 años después.
Definición formal
La integral indefinida depende directamente de la definición de antiderivada, así que considerémosla primero.
Una antiderivada es una función que es la inversa de una derivada, en la práctica también se le llama primitiva. De lo contrario: la antiderivada de una función d es una función D cuya derivada es igual a v V'=v. La búsqueda de la antiderivada es el cálculo de la integral indefinida, y este proceso en sí mismo se llama integración.
Ejemplo:
Función s(y)=y3, y su antiderivada S(y)=(y4/4).
El conjunto de todas las antiderivadas de la función en consideración es la integral indefinida, se denota de la siguiente manera: ∫v(x)dx.
Debido al hecho de que V(x) es solo una antiderivada de la función original, la expresión tiene lugar: ∫v(x)dx=V(x) + C, donde C es una constante. Una constante arbitraria es cualquier constante, ya que su derivada es igual a cero.
Propiedades
Las propiedades que tiene la integral indefinida se basan en la definición principal y las propiedades de las derivadas.
Veamos los puntos clave:
- la integral de la derivada de la antiderivada es la propia antiderivada más una constante arbitraria С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- la derivada de la función integral es la función original (∫v(x)dx)'=v(x);
- constante se saca de debajo del signo integral ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, donde k es arbitrario;
- la integral extraída de la suma es idénticamente igual a la suma de las integrales ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
De las dos últimas propiedades, podemos concluir que la integral indefinida es lineal. Gracias a esto tenemos: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Para consolidar, considere ejemplos de resolución de integrales indefinidas.
Es necesario encontrar la integral ∫(3senx + 4cosx)dx:
∫(3senx + 4cosx)dx=∫3senxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4senx + C=4senx - 3cosx + C
Del ejemplo podemos concluir:¿No sabes cómo resolver integrales indefinidas? ¡Solo encuentra todos los primitivos! Pero los principios de la búsqueda se considerarán a continuación.
Métodos y ejemplos
Para resolver la integral, puedes recurrir a los siguientes métodos:
- usa la tabla preparada;
- integrar por partes;
- integrar cambiando la variable;
- traer bajo el signo diferencial.
Mesas
La forma más fácil y divertida. Actualmente, el análisis matemático cuenta con tablas bastante extensas en las que se escriben las fórmulas básicas de las integrales indefinidas. En otras palabras, hay plantillas que se han desarrollado antes que usted y para usted, solo queda usarlas. Aquí hay una lista de las principales posiciones de la tabla a las que puede derivar casi todos los ejemplos que tienen una solución:
- ∫0dy=C, donde C es una constante;
- ∫dy=y + C, donde C es una constante;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, donde C es una constante y n - número no uno;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, donde C es una constante;
- ∫eydy=ey + C, donde C es una constante;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, donde C es una constante;
- ∫cosydy=seno + C, donde C es una constante;
- ∫sinydy=-cosy + C, donde C es una constante;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, donde C es una constante;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, donde C es una constante;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, donde C es una constante;
- ∫chydy=tímido + C, donde C -constante;
- ∫shydy=chy + C, donde C es una constante.
Si es necesario, da un par de pasos, lleva el integrando a una forma tabular y disfruta de la victoria. Ejemplo: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Según la solución, es claro que para el ejemplo tabular, al integrando le f alta un factor de 5. Lo sumamos, multiplicándolo por 1/5 en paralelo para que la expresión general no cambie.
Integración por partes
Considere dos funciones - z(y) y x(y). Deben ser continuamente diferenciables en todo el dominio de definición. De acuerdo con una de las propiedades de diferenciación, tenemos: d(xz)=xdz + zdx. Integrando ambas partes de la ecuación, obtenemos: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Reescribiendo la igualdad resultante, obtenemos una fórmula que describe el método de integración por partes: ∫zdx=zx - ∫xdz.
¿Por qué es necesario? El punto es que algunos ejemplos pueden simplificarse, condicionalmente hablando, reducir ∫zdx a ∫xdz si este último se acerca a la forma tabular. Además, esta fórmula se puede aplicar más de una vez, consiguiendo resultados óptimos.
Cómo resolver integrales indefinidas de esta manera:
necesita calcular ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
necesita calcular ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Sustitución de variable
Este principio de resolución de integrales indefinidas no es menos demandado que los dos anteriores, aunque es más complicado. El método es el siguiente: sea V(x) la integral de alguna función v(x). En el caso de que la propia integral en el ejemplo parezca compleja, existe una alta probabilidad de confundirse y tomar el camino de solución equivocado. Para evitar esto, se practica la transición de la variable x a la z, en la que se simplifica visualmente la expresión general manteniendo la dependencia de z respecto a x.
Matemáticamente se ve así: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), donde x=y(z) es una sustitución. Y, por supuesto, la función inversa z=y-1(x) describe completamente la dependencia y la relación de las variables. Nota importante - el diferencial dx es necesariamente reemplazado por un nuevo diferencial dz, ya que el reemplazo de una variable en la integral indefinida implica su reemplazo en todas partes, y no solo en el integrando.
Ejemplo:
necesita encontrar ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Aplica la sustitución z=(s+1)/(s2+2s-5). Entonces dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Como resultado, obtenemos la siguiente expresión, que es muy fácil de calcular:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
necesita encontrar la integral∫2sesdx
Para resolver, reescribimos la expresión de la siguiente forma:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Denotado por a=2e (este paso no es un reemplazo para el argumento, sigue siendo s), traemos nuestra integral aparentemente compleja a una forma tabular elemental:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Poner bajo el signo diferencial
En general, este método de integrales indefinidas es hermano gemelo del principio de cambio variable, pero existen diferencias en el proceso de diseño. Echemos un vistazo más de cerca.
Si ∫v(x)dx=V(x) + C y y=z(x), entonces ∫v(y)dy=V(y) + C.
En este caso, no hay que olvidar las transformaciones integrales triviales, entre las cuales:
- dx=d(x + a), donde a es cualquier constante;
- dx=(1 / a)d(ax + b), donde a es nuevamente una constante, pero no igual a cero;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- senxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(senx).
Si consideramos el caso general cuando calculamos la integral indefinida, los ejemplos se pueden resumir en la fórmula general w'(x)dx=dw(x).
Ejemplos:
necesita encontrar ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Ayuda en línea
En algunos casos, cuya falla puede ser pereza o necesidad urgente, puede usar consejos en línea, o más bien, usar la calculadora de integrales indefinidas. A pesar de toda la aparente complejidad y discutibilidad de las integrales, su solución está sujeta a cierto algoritmo, que se basa en el principio "si no…, entonces…".
Por supuesto, una calculadora de este tipo no dominará ejemplos especialmente complicados, ya que hay casos en los que la solución se tiene que encontrar artificialmente, introduciendo "forzosamente" ciertos elementos en el proceso, porque el resultado no se puede lograr de forma obvia formas. A pesar de toda la polémica de esta afirmación, es cierta, ya que la matemática, en principio, es una ciencia abstracta, y considera como tarea primordial la necesidad de ampliar las fronteras de las posibilidades. De hecho, es extremadamente difícil avanzar y desarrollarse de acuerdo con teorías de introducción suaves, por lo que no debe asumir que los ejemplos de resolución de integrales indefinidas que hemos dado son el colmo de las posibilidades. Pero volvamos al lado técnico de las cosas. Al menos para verificar los cálculos, puede usar los servicios en los que todo estaba escrito antes que nosotros. Si existe la necesidad de un cálculo automático de una expresión compleja, entonces no se puede prescindir de ellos, tendrá que recurrir a un software más serio. Vale la pena prestar atención en primer lugar al entorno MatLab.
Solicitud
La solución de integrales indefinidas a primera vista parece completamente fuera de la realidad, ya que es difícil ver las áreas obvias de aplicación. De hecho, no se pueden utilizar directamente en ningún lugar, pero se consideran un elemento intermedio necesario en el proceso de derivación de soluciones utilizadas en la práctica. Entonces, la integración es inversa a la diferenciación, por lo que participa activamente en el proceso de resolución de ecuaciones.
A su vez, estas ecuaciones tienen un impacto directo en la solución de problemas mecánicos, el cálculo de trayectorias y la conductividad térmica, en definitiva, todo lo que conforma el presente y da forma al futuro. La integral indefinida, cuyos ejemplos examinamos anteriormente, es trivial solo a primera vista, ya que es la base para hacer más y más descubrimientos nuevos.
