Raíz cuadrada aritmética y sus propiedades

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2023-12-17 05:23

Todos estudiamos raíces cuadradas aritméticas en la clase de álgebra en la escuela. Sucede que si el conocimiento no se actualiza, se olvida rápidamente, lo mismo con las raíces. Este artículo será útil para los estudiantes de octavo grado que quieran refrescar sus conocimientos en esta área y otros escolares, porque trabajamos con raíces en los grados 9, 10 y 11.

Historial de raíz y grado

Incluso en la antigüedad, y específicamente en el antiguo Egipto, las personas necesitaban títulos para realizar operaciones con números. Cuando no existía tal concepto, los egipcios anotaban veinte veces el producto del mismo número. Pero pronto se inventó una solución al problema: la cantidad de veces que el número debe multiplicarse por sí mismo comenzó a escribirse en la esquina superior derecha sobre él, y esta forma de registro ha sobrevivido hasta el día de hoy.

Y la historia de la raíz cuadrada comenzó hace unos 500 años. Fue designado de diferentes maneras, y solo en el siglo XVII René Descartes introdujo tal signo, que usamos hasta el día de hoy.

¿Qué es una raíz cuadrada?

Empecemos explicando qué es una raíz cuadrada. La raíz cuadrada de algún número c es un número no negativo que, elevado al cuadrado, será igual a c. En este caso, c es mayor o igual a cero.

Para poner un número debajo de la raíz, lo elevamos al cuadrado y ponemos el signo de la raíz sobre él:

32=9, 3=√9

Además, no podemos sacar el valor de la raíz cuadrada de un número negativo, ya que cualquier número en un cuadrado es positivo, es decir:

c² ≧ 0, si √c es un número negativo, entonces c^{2 < 0 - contrario a la regla.}

Para calcular raíces cuadradas rápidamente, necesitas conocer la tabla de cuadrados de números.

Propiedades

Consideremos las propiedades algebraicas de la raíz cuadrada.

1) Para extraer la raíz cuadrada del producto, debes sacar la raíz de cada factor. Es decir, se puede escribir como el producto de las raíces de los factores:

√ac=√a × √c, por ejemplo:

√36=√4 × √9

2) Al extraer una raíz de una fracción, es necesario extraer la raíz por separado del numerador y del denominador, es decir, escribirla como cociente de sus raíces.

3) El valor obtenido al sacar la raíz cuadrada de un número siempre es igual al módulo de este número, ya que el módulo solo puede ser positivo:

√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.

4) Para elevar una raíz a cualquier potencia, la elevamosexpresión radical:

(√с)⁴=√с^{4, por ejemplo:}

(√2)⁶ =√2^6=√64=8

5) El cuadrado de la raíz aritmética de c es igual a este mismo número:

(√s)2=s.

Raíces de números irracionales

Digamos que la raíz de dieciséis es fácil, pero ¿cómo sacar la raíz de números como 7, 10, 11?

Un número cuya raíz es una fracción infinita no periódica se llama irracional. No podemos extraer la raíz de él por nuestra cuenta. Solo podemos compararlo con otros números. Por ejemplo, toma la raíz de 5 y compárala con √4 y √9. Está claro que √4 < √5 < √9, luego 2 < √5 < 3. Esto significa que el valor de la raíz de cinco está entre dos y tres, pero hay muchas fracciones decimales entre ellas, y elegir cada uno es una forma dudosa de encontrar la raíz.

Puedes hacer esta operación en una calculadora - esta es la forma más fácil y rápida, pero en el 8º grado nunca tendrás que extraer números irracionales de la raíz cuadrada aritmética. Solo necesitas recordar los valores aproximados de la raíz de dos y la raíz de tres:

√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.

Ejemplos

Ahora, basándonos en las propiedades de la raíz cuadrada, resolveremos varios ejemplos:

1) √17² - 8²

Recuerda la fórmula de la diferencia de cuadrados:

√(17-8) (17+8)=√9 ×25

Conocemos la propiedad de la raíz aritmética cuadrada: para extraer la raíz del producto, debe extraerla de cada factor:

√9 × √25=3 × 5=15

2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36

Aplica otra propiedad de la raíz: el cuadrado de la raíz aritmética de un número es igual a este número:

2 × 3 + 6=12

¡Importante! A menudo, al comenzar a trabajar y resolver ejemplos con raíces cuadradas aritméticas, los estudiantes cometen el siguiente error:

√12 + 3=√12 + √3 - ¡No puedes hacer eso!

No podemos sacar la raíz de cada término. No existe tal regla, pero se confunde con sacar la raíz de cada factor. Si tuviéramos esta entrada:

√12 × 3, entonces sería justo escribir √12 × 3=√12 × √3.

Y así solo podemos escribir:

√12 + 3=√15