Diferenciación e integración: definición, concepto, formas

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2024-01-08 04:56

La diferenciación y la integración son una ecuación que contiene derivadas. Estos últimos, si nos ceñimos a las propiedades matemáticas, se dividen en ordinarios y privados. Las derivadas representan la tasa de cambio y la ecuación diferencial describe la relación entre una cantidad que cambia constantemente durante el proceso de solución, formando nuevas variables.

Un profesor universitario puede navegar fácilmente por operaciones complejas con integrales, convertirlas en un todo único y luego probar el cálculo por el método inverso. Sin embargo, la capacidad de recordar rápidamente los detalles de fórmulas complejas no está disponible para todos, por lo que se recomienda refrescar la memoria o descubrir material nuevo.

Significado y uso principal

En la literatura científica, una derivada se define como la tasa sujeta a transformación de una función basada en una de sus variables. La diferenciación es la esencia del cálculo, que se puede comparar con el comienzo de la búsqueda de una tangente a un punto. Como sabes, este último tiene varios tipos yrequiere fórmulas computacionales para buscar. Suponga que necesita encontrar la pendiente de la tangente a la gráfica en el punto P. ¿Cómo hacer esto? Basta con dibujar una tira arqueada a través del objeto designado y levantarla hasta obtener una línea dividida.

Una función f en x se llama diferenciable en el punto x=a si la derivada f '(a) existe en cada designación de su dominio. Demostremos un ejemplo:

f '(a)=lim (h=0) × f(a + h) – f(a)/h

Para someter la ecuación a diferenciación e integración de funciones de modo que su ubicación sea posible en cualquier punto x, no debe interrumpirse. Al construir una imagen esquemática por adelantado, puede verificar la validez de la declaración. Es por ello que el dominio f'(x) se define por la existencia de sus límites.

Supongamos que y=f(x) es una función de x, entonces la derivada de f(x) se da como dy/dx. También se define como una ecuación lineal, donde es necesario encontrar los datos necesarios en y.

Sin embargo, si estamos buscando la derivada de y en el primer caso, entonces en el siguiente caso tenemos que encontrar f(x) de x.

d/dx × (f(x)) l_a o df/dx l_a

En consecuencia, la designación de la tasa de cambio de la función f(x) relativa a x en un punto a que se encuentra en su superficie.

Si conocemos la derivada f', que es diferenciable en su dominio, entonces podemos encontrar su valor f. En cálculo integral, llamamos a f la antiderivada o primitiva de la función f'. El método de cálculo se conoce como antidiferenciación.o integración.

Tipos y formas

Una ecuación con uno o más términos que incluye derivadas de la variable dependiente con respecto a la independiente se conoce como diferencial. En otras palabras, consiste en un conjunto de valores numéricos, ordinarios o privados, sujetos a cambios en el proceso de solución.

Actualmente, existen los siguientes tipos de ecuaciones diferenciales.

Ordinario. Una igualdad simple directamente dependiente de una variable:

dy/dx + 5x=5y

Derivadas parciales:

dy/dx + dy/dt=x³-t³

d²y/dx² – c² × re² y/dt²

Coeficiente más alto. Esta especie se caracteriza por participar en el orden de la ecuación diferencial, como se muestra en el siguiente ejemplo, donde es igual a 3. El número se considera el mayor de los presentes:

d³y/dx^{2 + 5 × dy/dx + y=√x}

Las funciones pueden tomar varias formas, sin embargo, es preferible usar una comilla simple con fórmulas de integración y diferenciación características.

y’=dy/dx

y''=re²y/dx²

y'''=re³y/dx³

Lineal. La variable en la ecuación está elevada a la potencia de uno. La gráfica de este tipo de función suele ser una línea recta. Por ejemplo, (3x + 5), pero (x³ + 4x^{2) no es de este tipo porque requiere una solución diferente.}

dy/dx + xy=5x

No lineal. Cualquier integración y diferenciación de series con formas duales de obtener la igualdad - refiérase a la forma considerada:

d²y/dx^{2- ln y=10}

Métodos para obtener resultados rápidamente

No es suficiente mirar el formulario para averiguar cómo afrontar y aplicar los conocimientos adquiridos en la práctica. Actualmente, hay varias formas de resolver la ecuación diferencial.

Esto es:

1. Separación de variables. Se ejecuta cuando el ejemplo se puede dibujar como dy / dx=f(y) g(x). La peculiaridad radica en que f y g son funciones que pertenecen a sus valores. Debido a esto, el problema debe transformarse: 1/ f(y) dy=g(x) dx. Y solo entonces pasa al siguiente elemento.
2. Método del factor de integración. Se usa cuando el ejemplo es dy / dx + p(x) y=q(x), donde p y q son funciones de x solamente.

Los cálculos diferenciales de primer orden parecen y'+ P(x) y=Q(x) porque contienen las funciones necesarias y la derivada de y. El aumento subsiguiente del nombre opera según el mismo principio. Por ejemplo, las derivadas de una función desconocida pueden resultar tanto privadas como ordinarias.

Integrales indefinidas

Si te dan la velocidad de tu bicicleta cuando vas a dar un paseo, dependiendo del tiempo, ¿puedes calcular la distancia recorrida usando los minutos empleados? Esta tarea parece una carga abrumadora, pero las integralesayudar a hacer frente a estas propiedades de la manera más eficiente posible, obteniendo el resultado.

La literatura científica enfatiza que son la otra cara de la diferenciación. De hecho, la integración es un método de sumar cosas. Conecta las partículas entre sí, creando algo nuevo: el todo. Lo principal en cualquier ejemplo similar es encontrar integrales indefinidas y verificar los resultados de la integración por diferenciación. Esto ayudará a evitar errores innecesarios.

Si va a encontrar el área de cualquier curva aleatoria, por ejemplo, y=f(x), utilice este método. Recuerda que solo la atención te salvará de un error.

Fórmulas para la solución

Entonces, después de familiarizarse con el concepto básico de diferenciación e integración - cálculo inverso a través de funciones, es necesario repasar brevemente algunos de los conceptos básicos. Se enumeran a continuación.

Reglas básicas de cálculo

Las funciones integradas como f (x) se pueden convertir fácilmente en igualdad si la ecuación se expresa como:

∫ f(x) dx=F(x) + C.

Aquí F(x) se llama antiderivada o primitiva. f(x) - integrando. dx - actúa como un agente numérico adicional. C es una constante integrada o arbitraria. x - actúa dependiendo del lado de la igualdad.

De la declaración anterior, podemos concluir que la integración y la diferenciación de series son dos procesos opuestos. Juntos actúan como uno de los tipos de operaciones destinadas aobtener el resultado final realizado en la ecuación misma.

Ahora que sabemos más sobre las características del cálculo, se recomienda res altar las principales diferencias necesarias para una mayor comprensión:

1. La diferenciación y la integración pueden satisfacer simultáneamente las reglas de linealidad.
2. Las operaciones están encaminadas a encontrar la solución más precisa, sin embargo, implican limitaciones para su determinación.
3. Al diferenciar un polinomio ejemplo, el resultado es 1 menos que el grado de la función, mientras que en el caso de la integración, el resultado obtenido se transforma en otro, actuando en sentido contrario.
4. Los dos tipos de solución, como se mencionó anteriormente, son opuestos entre sí. Se calculan utilizando las fórmulas de integración y diferenciación.
5. La derivada de cualquier función es única, pero, por otro lado, dos integrales, en un ejemplo, pueden diferir en una constante. Es esta regla la que presenta la principal dificultad durante la ejecución de las tareas.
6. Cuando se trata de derivados, podemos considerar los derivados en un punto. Al igual que las integrales, proporcionan funciones en un intervalo.
7. Geométricamente, una derivada describe la tasa de cambio de una cantidad con respecto a otra, mientras que la integral indefinida representa una curva. Está dispuesto en dirección paralela, y también tiene tangentes cuando las líneas irregulares se cruzan con otras ortogonales al eje que representa la variable.

Métodos de adición

Si tiene problemas con la forma en que se aplica la suma aoperaciones matemáticas de diferenciación de integración, debe familiarizarse cuidadosamente con las fórmulas básicas. Son un axioma en la enseñanza, por lo que se utilizan en todas partes. Tenga en cuenta que, cuando se aplican a sus propios ejemplos, las fórmulas son correctas solo si comienzan con i=1.

Solución pieza por pieza

A veces, una función requiere un enfoque no estándar para llegar al resultado final y satisfacer las condiciones de igualdad. La integración y diferenciación de series en términos de términos se basa en la identidad, que se expresa mediante: ∫ f(x) g'(x) dx=f (x) g(x) - ∫ f'(x) g(x) dx

El algoritmo de la técnica considerada se ve así:

1. Expresa una función integrada como producto de dos expresiones. Denotemos uno de ellos f (x), el otro g' (x).
2. Ahora proceda a identificar otras dos fórmulas que se pueden aplicar en el primer párrafo. La línea cambiará. Por diferenciación, transformamos f '(x) para obtener las expresiones f(x). Pasemos a la otra parte: g (x) se integra en g'(x). En este caso, dx permanece en su forma original y no se utiliza.
3. Insertar las expresiones recibidas en la fórmula por partes. Esto completa el procedimiento y ahora puede intentar evaluar la nueva integral de la derecha, ya que se ha vuelto mucho más fácil de entender.

Anteriormente, este método involucraba la integración por partes usando una matriz. El método fue exitoso, pero tomó mucho tiempo, porque en la actualidad se usa con menos frecuencia, en especialcasos en los que es casi imposible encontrar una solución. Para hacer esto, simplemente coloque f y g' en la primera línea y calcule f ' y g en la segunda.

¿Por qué necesitamos la integración por partes?

Las situaciones suceden diferentes. A veces las soluciones son mucho más difíciles que a primera vista. Por lo tanto, es necesario señalar los principales problemas que a menudo se encuentran en la integración y diferenciación término a término de series de potencias. Considere dos reglas básicas.

En primer lugar, la parte que pretendemos integrar, es decir, la elegida para g'(x), debemos ser capaces de transformarla. Es importante hacer esto lo más rápido posible. El punto es que la integración compleja para g rara vez conduce a una integral mejorada, aumentando la complejidad. Todo esto afecta negativamente la libertad de nuestras acciones durante las decisiones, y también depende de potencias, senos y cosenos. Puede llevar tiempo encontrar la respuesta correcta, pero conducir a la correcta en lugar de a la confusa.

En segundo lugar, todo lo demás, es decir, la parte que pretendemos derivar y denotar F, debe res altar notablemente después de la transformación. Después de un procedimiento simple, notaremos que la nueva integral será más simplificada que su predecesora.

Entonces, cuando combinamos dos reglas y las usamos para resolver, tenemos la oportunidad de usar la diferenciación e integración de funciones de potencia, lo que tiene sentido considerar por partes.

También hay una manera de eliminar x, lo que le permite usar transformaciones de manera efectiva en variossituaciones Por ejemplo, podemos integrar fácilmente multiplicando una función por un polinomio, que cancelamos con la diferenciación.

∫ x^{2 sen(3x) dx}

∫ x^{7 porque(x) dx}

∫x⁴ e^{4x dx}

Para f tomamos la potencia de x (en un caso más general, un polinomio), y también usamos g’. Obviamente, cada diferenciación reduce el grado del número en uno, por lo tanto, si en el ejemplo es lo suficientemente alto, aplique la integración término a término varias veces. Esto ayudará a ahorrar tiempo.

Complejidad de algunas ecuaciones

En este caso estamos hablando de diferenciación e integración de series de potencias. La función se puede considerar como si x fuera el área del intervalo de convergencia de los puntos. Es cierto que el método no es adecuado para todos. El hecho es que cualquier función puede expresarse como serie de potencias, transformándose en una estructura lineal y viceversa.

Por ejemplo, dado e_{x. Podemos expresarlo como una ecuación, que en realidad es solo un polinomio infinito. La serie de potencias es fácil de ver mediante el cálculo, pero no siempre es eficiente.}

Integral definida como límite de la suma

Mira la siguiente integración y diferenciación gráfica.

Para entender fácilmente una función compleja, basta con entenderla a fondo. Estimemos el área PRSQP entre la curva y=f (x), el eje x y las coordenadas "x=a" y "x=b". Ahora divida el intervalo [a, b] en 'n' subintervalos iguales, denotados por lo siguienteasí:

[x₀, x₁], [x₁, x ₂], [x₂, x₃]…. [x_{n - 1}, x_].

Donde x₀=a, x₁=a + h, x₂=a + 2h, x₃=a + 3h….. x_r=a + rh y x =b=a + nh o n=(b - a) / h. (uno).

Nótese que como n → ∞ h → 0.

El espacio PRSQP considerado es la suma de todos los "n" subdominios, donde cada uno se define en una cierta mediocridad [x_r-1, x_{r], r=1, 2, 3…n. Con el enfoque correcto, estas funciones se pueden diferenciar e integrar para una solución rápida.}

Ahora mira el ABDM en la imagen. Con base en ello, es recomendable hacer la siguiente observación sobre las áreas: (ABLC) < (ABDCA) < (ABDM).

También tenga en cuenta que cuando h → 0 o x_r - x_{r-1 → 0, las tres áreas se vuelven casi iguales entre sí amigo. Por lo tanto, tenemos:}

s =h [f(x₀) + f(x₁) + f (x₂) + …. f(x_{n – 1})]=h _r=0∑^n–1 f(x r_{) (2)}

o S =h [f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + …. f(x)]=h _r=1∑ f(x_{r) (3)}

En este caso, s y S denotan la suma de las áreas de todos los rectángulos inferior y superior elevados por encima de los intervalos [х _r–1, x_{r] para r=1, 2, 3, …, n respectivamente. Para poner esto en perspectiva, la ecuación (1) se puede reescribir comoforma:}

s < área área (PRSQP) < S_{… (4)}

Además, se supone que los valores límite (2) y (3) son iguales en ambos casos, y solo es común el área bajo la curva. Como resultado, tenemos:

lim_{n → ∞} S =lim_{n → ∞} s=áreas PRSQP=∫_a^{b f(x) dx … (5)}

El área es también el límite del espacio entre los rectángulos debajo de la curva y encima de la curva. Por conveniencia, debe prestar atención a la altura de la figura, igual a la curva en el borde izquierdo de cada subintervalo. Por lo tanto, la ecuación se reescribe en la versión final:

∫_a^b f(x) dx=lim _{→ ∞h [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}h)]}

o ∫_a^b f(x) dx=(b – a) lim_{n → ∞(1/n) [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}h)]}

Conclusión

La diferenciación y la integración difieren entre sí por una serie de propiedades, fórmulas y cambios opuestos. Uno no puede transformarse en el otro sin ayuda. Si la diferenciación ayuda a encontrar la derivada, entonces la integración realiza una acción completamente diferente. Agrega algunas partes, puede ayudar con los grados reduciéndolos o mejorar el ejemplo simplificándolos.

También se usa para probar ecuaciones diferenciadas. En otras palabras, actúan como una sola entidad que no puede coexistir por separado, ya que se complementan entre sí. Aplicando las reglas, conociendo muchas técnicas, ahora tienes garantizado resolvertareas desafiantes.