El estudiante se encuentra con mayor frecuencia con superficies de segundo orden en el primer año. Al principio, las tareas sobre este tema pueden parecer simples, pero a medida que estudias matemáticas superiores y profundizas en el lado científico, finalmente puedes dejar de orientarte en lo que está sucediendo. Para evitar que esto suceda, es necesario no solo memorizar, sino comprender cómo se obtiene esta o aquella superficie, cómo le afecta el cambio de los coeficientes y su ubicación en relación con el sistema de coordenadas original, y cómo encontrar un nuevo sistema. (aquel en el que su centro coincide con las coordenadas del origen, y el eje de simetría es paralelo a uno de los ejes de coordenadas). Comencemos desde el principio.
Definición
GMT se denomina superficie de segundo orden, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación general de la siguiente forma:
F(x, y, z)=0.
Es claro que cada punto perteneciente a la superficie debe tener tres coordenadas en alguna base designada. Aunque en algunos casos el lugar geométrico de los puntos puede degenerar, por ejemplo, en un plano. Solo significa que una de las coordenadas es constante y es igual a cero en todo el rango de valores aceptables.
La forma pintada completa de la igualdad mencionada anteriormente se ve así:
A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.
Anm – algunas constantes, x, y, z – variables correspondientes a coordenadas afines de algún punto. En este caso, al menos uno de los factores constantes no debe ser igual a cero, es decir, ningún punto corresponderá a la ecuación.
En la gran mayoría de los ejemplos, muchos factores numéricos siguen siendo idénticamente iguales a cero, y la ecuación se simplifica enormemente. En la práctica, determinar si un punto pertenece a una superficie no es difícil (basta con sustituir sus coordenadas en la ecuación y comprobar si se observa la identidad). El punto clave en tal trabajo es llevar este último a una forma canónica.
La ecuación escrita arriba define cualquier superficie (todas enumeradas a continuación) de segundo orden. Consideraremos ejemplos a continuación.
Tipos de superficies de segundo orden
Las ecuaciones de superficies de segundo orden difieren solo en los valores de los coeficientes Anm. Desde el punto de vista general, para ciertos valores de las constantes, se pueden obtener varias superficies, clasificadas de la siguiente manera:
- Cilindros.
- Tipo elíptico.
- Tipo hiperbólico.
- Tipo cónico.
- Tipo parabólico.
- Aviones.
Cada uno de los tipos enumerados tiene una forma natural e imaginaria: en la forma imaginaria, el lugar geométrico de los puntos reales degenera en una figura más simple o está completamente ausente.
Cilindros
Este es el tipo más simple, ya que una curva relativamente compleja se encuentra solo en la base, actuando como guía. Los generadores son líneas rectas perpendiculares al plano en el que se encuentra la base.
El gráfico muestra un cilindro circular, un caso especial de un cilindro elíptico. En el plano XY, su proyección será una elipse (en nuestro caso, un círculo), una guía, y en XZ, un rectángulo, ya que los generadores son paralelos al eje Z. Para obtenerlo de la ecuación general, necesita para dar a los coeficientes los siguientes valores:
En lugar de los símbolos habituales se usa x, y, z, x con un número de serie - no importa.
De hecho, 1/a2y las otras constantes indicadas aquí son los mismos coeficientes indicados en la ecuación general, pero se acostumbra escribirlos de esta forma - esto es la representación canónica. Además, solo se utilizará dicha notación.
Así se define un cilindro hiperbólico. El esquema es el mismo: la hipérbole será la guía.
y2=2px
Un cilindro parabólico se define de manera algo diferente: su forma canónica incluye un coeficiente p, llamado parámetro. De hecho, el coeficiente es igual a q=2p, pero se acostumbra dividirlo en los dos factores presentados.
Hay otro tipo de cilindro: el imaginario. Ningún punto real pertenece a tal cilindro. está descrita por la ecuacióncilindro elíptico, pero en lugar de unidad es -1.
Tipo elíptico
Un elipsoide se puede estirar a lo largo de uno de los ejes (a lo largo del cual depende de los valores de las constantes a, b, c, indicadas anteriormente; es obvio que un coeficiente mayor corresponderá al eje mayor).
También existe un elipsoide imaginario, siempre que la suma de las coordenadas multiplicada por los coeficientes sea -1:
Hiperboloides
Cuando aparece un signo menos en una de las constantes, la ecuación del elipsoide se convierte en la ecuación de un hiperboloide de una sola hoja. ¡Debe entenderse que este menos no tiene que estar ubicado antes de la coordenada x3! Solo determina cuál de los ejes será el eje de rotación del hiperboloide (o paralelo a él, ya que cuando aparecen términos adicionales en el cuadrado (por ejemplo, (x-2)2) el centro de la figura se desplaza, como resultado, la superficie se mueve paralelamente a los ejes de coordenadas). Esto se aplica a todas las superficies de segundo orden.
Además, debes entender que las ecuaciones se presentan en forma canónica y se pueden cambiar variando las constantes (¡conservando el signo!); mientras que su forma (hiperboloide, cono, etc.) seguirá siendo la misma.
Esta ecuación ya está dada por un hiperboloide de dos hojas.
Superficie cónica
No hay unidad en la ecuación del cono - igualdad a cero.
Solo una superficie cónica limitada se llama cono. La siguiente imagen muestra que, de hecho, habrá dos llamados conos en el gráfico.
Nota importante: en todas las ecuaciones canónicas consideradas, las constantes se toman positivas por defecto. De lo contrario, el signo puede afectar el gráfico final.
Los planos de coordenadas se convierten en los planos de simetría del cono, el centro de simetría se encuentra en el origen.
Solo hay ventajas en la ecuación del cono imaginario; posee un único punto real.
Paraboloides
Las superficies de segundo orden en el espacio pueden tomar diferentes formas incluso con ecuaciones similares. Por ejemplo, hay dos tipos de paraboloides.
x2/a2+y2/b2=2z
Un paraboloide elíptico, cuando el eje Z es perpendicular al dibujo, se proyectará en una elipse.
x2/a2-y2/b2=2z
Paraboloide hiperbólico: las secciones con planos paralelos a ZY producirán parábolas, y las secciones con planos paralelos a XY producirán hipérbolas.
Planos de intersección
Hay casos en los que superficies de segundo orden degeneran en un plano. Estos planos se pueden organizar de varias formas.
Primero considere los planos que se cortan:
x2/a2-y2/b2=0
Esta modificación de la ecuación canónica da como resultado solo dos planos que se cruzan (¡imaginario!); todos los puntos reales están en el eje de la coordenada que f alta en la ecuación (en la canónica - el eje Z).
Planos paralelos
y2=a2
Cuando solo hay una coordenada, las superficies de segundo orden degeneran en un par de planos paralelos. Recuerde, cualquier otra variable puede tomar el lugar de Y; entonces se obtendrán planos paralelos a otros ejes.
y2=−a2
En este caso, se vuelven imaginarios.
Planos coincidentes
y2=0
Con una ecuación tan simple, un par de planos degeneran en uno: coinciden.
¡No olvide que en el caso de una base tridimensional, la ecuación anterior no define la línea recta y=0! Carece de las otras dos variables, pero eso solo significa que su valor es constante e igual a cero.
Edificio
Una de las tareas más difíciles para un estudiante es la construcción de superficies de segundo orden. Es aún más difícil pasar de un sistema de coordenadas a otro, dados los ángulos de la curva con respecto a los ejes y el desplazamiento del centro. Repitamos cómo determinar consistentemente la vista futura del dibujo con un análisismanera.
Para construir una superficie de segundo orden, necesita:
- lleva la ecuación a la forma canónica;
- determinar el tipo de superficie a estudiar;
- construcción basada en valores de coeficiente.
Abajo están todos los tipos considerados:
Para consolidar, describamos en detalle un ejemplo de este tipo de tarea.
Ejemplos
Supongamos que hay una ecuación:
3(x2-2x+1)+6y2+2z2+ 60y+144=0
Llevémoslo a la forma canónica. Señalemos los cuadrados completos, es decir, ordenemos los términos disponibles de tal forma que sean la expansión del cuadrado de la suma o diferencia. Por ejemplo: si (a+1)2=a2+2a+1 entonces a2+2a +1=(a+1)2. Realizaremos la segunda operación. En este caso, no es necesario abrir los paréntesis, ya que esto solo complicará los cálculos, pero sí sacar el factor común 6 (entre paréntesis con el cuadrado completo de la Y):
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
La variable z aparece en este caso solo una vez; puede dejarla así por ahora.
Analizamos la ecuación en esta etapa: todas las incógnitas están precedidas por un signo más; cuando se divide por seis, queda uno. Por lo tanto, tenemos una ecuación que define un elipsoide.
Tenga en cuenta que 144 se factorizó en 150-6, después de lo cual el -6 se movió a la derecha. ¿Por qué tenía que hacerse de esta manera? Obviamente, el divisor más grande en este ejemplo es -6, por lo que después de dividir por éluno queda a la derecha, es necesario "posponer" exactamente 6 de 144 (el hecho de que uno deba estar a la derecha se indica por la presencia de un término libre, una constante no multiplicada por una incógnita).
Dividir todo por seis y obtener la ecuación canónica del elipsoide:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
En la clasificación de superficies de segundo orden utilizada anteriormente, se considera un caso especial cuando el centro de la figura está en el origen de coordenadas. En este ejemplo, está compensado.
Suponemos que cada paréntesis con incógnitas es una nueva variable. Es decir: a=x-1, b=y+5, c=z. En las nuevas coordenadas, el centro del elipsoide coincide con el punto (0, 0, 0), por tanto, a=b=c=0, de donde: x=1, y=-5, z=0. En las coordenadas iniciales, el centro de la figura está en el punto (1, -5, 0).
Elipsoide se obtendrá a partir de dos elipses: la primera en el plano XY y la segunda en el plano XZ (o YZ - no importa). Los coeficientes por los que se dividen las variables se elevan al cuadrado en la ecuación canónica. Por lo tanto, en el ejemplo anterior, sería más correcto dividir por raíz de dos, uno y raíz de tres.
El eje menor de la primera elipse, paralelo al eje Y, es dos. El eje mayor paralelo al eje x es dos raíces de dos. El eje menor de la segunda elipse, paralelo al eje Y, sigue siendo el mismo: es igual a dos. Y el eje mayor, paralelo al eje Z, es igual a dos raíces de tres.
Con la ayuda de los datos obtenidos de la ecuación original al convertirla a la forma canónica, podemos dibujar un elipsoide.
Resumiendo
Cubierto en este artículoel tema es bastante extenso, pero, de hecho, como ahora puede ver, no es muy complicado. Su desarrollo, de hecho, termina en el momento en que memorizas los nombres y ecuaciones de las superficies (y, por supuesto, cómo se ven). En el ejemplo anterior, hemos discutido cada paso en detalle, pero llevar la ecuación a la forma canónica requiere un conocimiento mínimo de matemáticas superiores y no debería causar ninguna dificultad al estudiante.
El análisis del calendario futuro sobre la igualdad existente ya es una tarea más difícil. Pero para su solución exitosa, es suficiente comprender cómo se construyen las curvas de segundo orden correspondientes: elipses, parábolas y otras.
Casos de degeneración: una sección aún más simple. Debido a la ausencia de algunas variables, no solo se simplifican los cálculos, como se mencionó anteriormente, sino también la construcción en sí.
Tan pronto como pueda nombrar con confianza todos los tipos de superficies, varíe las constantes, convirtiendo el gráfico en una u otra forma: dominará el tema.
¡Éxito en tus estudios!
