El estudio de las propiedades del estado agregado gaseoso de la materia es una de las áreas importantes de la física moderna. Considerando los gases a escala microscópica, se pueden obtener todos los parámetros macroscópicos del sistema. Este artículo revelará un tema importante de la teoría cinética molecular de los gases: cuál es la distribución de Maxwell de las moléculas en términos de velocidades.
Antecedentes históricos
La idea del gas como un sistema de partículas microscópicas en movimiento se originó en la antigua Grecia. La ciencia tardó más de 1700 años en desarrollarlo.
El fundador de la moderna teoría cinética molecular (MKT) del gas es justo considerar a Daniil Bernoulli. En 1738 publicó una obra llamada "Hidrodinámica". En él, Bernoulli esbozó las ideas del MKT que se han utilizado hasta el día de hoy. Entonces, el científico creía que los gases están compuestos de partículas que se mueven al azar en todas las direcciones. Numerosas colisionesLas partículas con paredes de vasos se perciben como la presencia de presión en los gases. Las velocidades de las partículas están estrechamente relacionadas con la temperatura del sistema. La comunidad científica no aceptó las audaces ideas de Bernoulli porque aún no se había establecido la ley de conservación de la energía.
Posteriormente, muchos científicos se dedicaron a construir un modelo cinético de gases. Entre ellos, cabe destacar a Rudolf Clausius, quien en 1857 creó un modelo de gas simple. En él, el científico prestó especial atención a la presencia de grados de libertad de traslación, rotación y vibración en las moléculas.
En 1859, estudiando el trabajo de Clausius, James Maxwell formuló la llamada distribución de Maxwell sobre velocidades moleculares. De hecho, Maxwell confirmó las ideas del MKT, respaldándolas con un aparato matemático. Posteriormente, Ludwig Boltzmann (1871) generalizó las conclusiones de la distribución de Maxwell. Postuló una distribución estadística más general de moléculas sobre velocidades y energías. Actualmente se conoce como distribución de Maxwell-Boltzmann.
Gasolina ideal. Postulados básicos de la CDI
Para comprender qué es la función de distribución de Maxwell, debe comprender claramente los sistemas a los que se aplica esta función. Estamos hablando de un gas ideal. En física, este concepto se entiende como una sustancia fluida, que consiste en partículas prácticamente adimensionales que no tienen energía potencial. Estas partículas se mueven a altas velocidades, por lo que su comportamiento está completamente determinado por la energía cinética. Además, las distancias entre las partículas son demasiado grandes paraen comparación con sus tamaños, por lo que estos últimos se descuidan.
Los gases ideales se describen dentro del MKT. Sus principales postulados son los siguientes:
- los sistemas de gas están formados por una gran cantidad de partículas libres;
- partículas se mueven aleatoriamente a diferentes velocidades en diferentes direcciones a lo largo de trayectorias rectas;
- las partículas chocan elásticamente con las paredes de los vasos (la probabilidad de que las partículas choquen entre sí es baja debido a su pequeño tamaño);
- La temperatura del sistema está determinada únicamente por la energía cinética promedio de las partículas, que se conserva en el tiempo si se establece el equilibrio termodinámico en el sistema.
Ley de distribución de Maxwell
Si una persona tuviera un instrumento con el que fuera posible medir la velocidad de una sola molécula de gas, entonces, después de realizar un experimento apropiado, se sorprendería. El experimento mostraría que cada molécula de cualquier sistema gaseoso se mueve a una velocidad completamente arbitraria. En este caso, en el marco de un sistema en equilibrio térmico con el medio ambiente, se detectarían tanto moléculas muy lentas como muy rápidas.
La ley de distribución de velocidades de moléculas de gas de Maxwell es una herramienta que le permite determinar la probabilidad de detectar partículas con una velocidad dada v en el sistema bajo estudio. La función correspondiente se ve así:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
En esta expresión, m -masa de partícula (molécula), k - constante de Boltzmann, T - temperatura absoluta. Así, si se conoce la naturaleza química de las partículas (el valor de m), entonces la función f(v) está determinada únicamente por la temperatura absoluta. La función f(v) se llama densidad de probabilidad. Si tomamos la integral de algún límite de velocidad (v; v+dv), entonces obtenemos el número de partículas Ni, que tienen velocidades en el intervalo especificado. En consecuencia, si tomamos la integral de la densidad de probabilidad f(v) para los límites de velocidad de 0 a ∞, entonces obtenemos el número total de moléculas N en el sistema.
Representación gráfica de la densidad de probabilidad f(v)
La función de densidad de probabilidad tiene una forma matemática algo compleja, por lo que no es fácil representar su comportamiento a una temperatura dada. Este problema se puede resolver si lo representas en un gráfico bidimensional. Una vista esquemática del gráfico de distribución de Maxwell se muestra a continuación en la figura.
Vemos que parte de cero, ya que la velocidad v de las moléculas no puede tener valores negativos. El gráfico termina en algún lugar de la región de altas velocidades, cayendo suavemente a cero (f(∞)->0). También llama la atención la siguiente característica: la curva suave es asimétrica, disminuye más bruscamente para velocidades pequeñas.
Una característica importante del comportamiento de la función de densidad de probabilidad f(v) es la presencia de un máximo pronunciado en ella. Según el significado físico de la función, este máximo corresponde al valor más probable de las velocidades de las moléculas en el gassistema.
Velocidades importantes para la función f(v)
La función de densidad de probabilidad f(v) y su representación gráfica nos permiten definir tres tipos importantes de velocidad.
El primer tipo de velocidad que es obvio y que se mencionó anteriormente es la velocidad más probable v1. En el gráfico, su valor corresponde al máximo de la función f(v). Es esta velocidad y valores cercanos a ella los que tendrán la mayoría de las partículas del sistema. No es difícil calcularlo, para ello basta con sacar la primera derivada con respecto a la velocidad de la función f(v) e igualarla a cero. Como resultado de estas operaciones matemáticas, obtenemos el resultado final:
v1=√(2RT/M).
Aquí R es la constante universal de los gases, M es la masa molar de las moléculas.
El segundo tipo de velocidad es su valor promedio para todas las N partículas. Lo denotaremos v2. Se puede calcular integrando la función vf(v) sobre todas las velocidades. El resultado de la integración anotada será la siguiente fórmula:
v2=√(8RT/(piM)).
Debido a que la relación es 8/pi>2, la velocidad media siempre es ligeramente superior a la más probable.
Todos los que saben un poco de física entienden que la velocidad media v2 de moléculas debe ser de gran importancia en un sistema gaseoso. Sin embargo, esta es una suposición errónea. Mucho más importante es la velocidad RMS. vamos a denotarlov3.
Según la definición, la velocidad cuadrática media es la suma de los cuadrados de las velocidades individuales de todas las partículas, dividida por el número de estas partículas y tomada bajo la raíz cuadrada. Se puede calcular para la distribución de Maxwell si definimos la integral sobre todas las velocidades de la función v2f(v). La fórmula para la velocidad cuadrática promedio tomará la forma:
v3=√(3RT/M).
La igualdad muestra que esta velocidad es mayor que v2 y v1 para cualquier sistema de gas.
Por lo tanto, todos los tipos de velocidades considerados en el gráfico de distribución de Maxwell se encuentran en el extremo o a la derecha.
Importancia de v3
Se señaló anteriormente que la velocidad cuadrática media es más importante para comprender los procesos físicos y las propiedades del sistema de gas que la velocidad promedio simple v2. Esto es cierto, ya que la energía cinética de un gas ideal depende precisamente de v3, y no de v2.
Si consideramos un gas ideal monoatómico, entonces la siguiente expresión es válida para él:
mv32/2=3/2kT.
Aquí, cada parte de la ecuación representa la energía cinética de una partícula de masa m. ¿Por qué la expresión contiene exactamente el valor v3, y no la velocidad media v2? Muy simple: al determinar la energía cinética de cada partícula, su velocidad individual v se eleva al cuadrado, entonces todas las velocidadesse suman y se dividen por el número de partículas N. Es decir, el mismo procedimiento para determinar la energía cinética conduce al valor de la velocidad cuadrática media.
Dependencia de la función f(v) de la temperatura
Hemos establecido anteriormente que la densidad de probabilidad de las velocidades moleculares depende únicamente de la temperatura. ¿Cómo cambiará la función si T aumenta o disminuye? El siguiente cuadro ayudará a responder esta pregunta.
Se puede ver que el calentamiento del sistema cerrado conduce a la formación de manchas en el pico y su desplazamiento hacia velocidades más altas. Un aumento de la temperatura provoca un aumento de todos los tipos de velocidades y una disminución de la densidad de probabilidad de cada una de ellas. El valor pico disminuye debido a la conservación del número de partículas N en un sistema cerrado.
A continuación, resolveremos un par de problemas para consolidar el material teórico recibido.
Problema con moléculas de nitrógeno en el aire
Es necesario calcular las velocidades v1, v2 y v3 para nitrógeno del aire a una temperatura de 300 K (alrededor de 27 oC).
La masa molar del nitrógeno N2 es 28 g/mol. Usando las fórmulas anteriores, obtenemos:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Problema con el tanque de oxígeno
El oxígeno en el cilindro estaba a cierta temperatura T1. Luego, el globo se colocó en una habitación más fría. ¿Cómo cambiará la gráfica de distribución de velocidad de Maxwell para las moléculas de oxígeno cuando el sistema alcance el equilibrio termodinámico?
Recordando la teoría, podemos responder a la pregunta del problema de esta manera: los valores de todos los tipos de velocidades de las moléculas disminuirán, el pico de la función f(v) se desplazará hacia la izquierda, volverse más estrecho y más alto.
