El estudio del polinomio de segundo grado recibe mucha atención en el curso de álgebra de octavo grado. Si el estudiante domina mal este material, entonces los problemas son inevitables en los exámenes de la OGE y el Examen de Estado Unificado, tanto en el nivel de perfil como en la base. Las habilidades obligatorias relacionadas con las funciones cuadráticas incluyen trazar y analizar gráficos, resolver ecuaciones.
La factorización de un trinomio cuadrado es uno de los problemas escolares estándar. Es auxiliar para resolver la desigualdad por el método del intervalo.
Encontrar las raíces de una ecuación
Lo primero para factorizar un polinomio es encontrar sus raíces.
Las raíces son números que convierten la suma de los monomios en el polinomio en cero, lo que gráficamente parece una intersección con el eje horizontal. Se determinan utilizando el discriminante o el teorema de Vieta.
El discriminante del trinomio ax2 + bx + c se calcula mediante la fórmula: D=b2m- 4ac.
En el caso de que el discriminante no sea negativo,las raíces se expresan a través de él y los coeficientes del polinomio:
x1 =1/2(-b + √D); x2 =1/2(-b - √D)
Si el discriminante es cero, x1y x2son iguales.
Para resolver algunos trinomios conviene utilizar el teorema de Vieta:
x1 + x2 =-b: a; x1 × x2=c: a
Se necesita cierta cantidad de intuición matemática para aplicar el teorema. La conclusión es que, conociendo la suma y el producto de dos incógnitas, saque estos números. Si existen, se encuentran de forma única (hasta una permutación).
Puedes verificar la validez del teorema calculando la suma y el producto de las raíces en términos generales. Las fórmulas para x1 y x2 también se verifican por sustitución directa.
Regla de factorización
El problema se puede resolver en números reales si el polinomio tiene raíces. La descomposición está determinada por la fórmula:
ax2 + bx + c=a(x - x1)(x - x2)
Ejemplos
Problema: encontrar la factorización de trinomios cuadrados.
a) x2 - 6x + 5
Solución: escribe los coeficientes del trinomio:
a=1; b=-6; c=5.
Usando el teorema de Vieta:
x1 + x2 =6;
x1 × x2=5.
Se puede ver que x1 =1, x2 =5.
Si, de acuerdo con las igualdades escritas del teorema,es posible encontrar rápidamente las raíces, debe proceder inmediatamente al cálculo del discriminante.
Después de encontrar las raíces, debe sustituirlas en la fórmula de expansión:
x2 - 6x + 5=(x - 1)(x - 5)
El resultado registrado en este formulario puede considerarse definitivo.
b) 2x2 + x - 1
Solución:
a=2, b=1, c=-1.
Si el coeficiente principal es distinto de 1, aplicar el teorema de Vieta suele llevar más tiempo que resolverlo a través del discriminante, así que pasemos a calcularlo.
D=1 - 4 × 2 × (-1)=9.
x1=1/2; x2=-1.
La fórmula es:
2x2 + x - 1=2(x - 1/2)(x + 1).
c)x2 - 8x + 16
Solución:
a=1; b=-8; c=16.
D=0.
Como el discriminante es cero, tenemos el caso de coincidencia de raíces:
x1 =x2 =4.
Esta situación, sin embargo, no es fundamentalmente diferente de las consideradas anteriormente.
x2 - 8x + 16=1(x - 4)(x - 4)
El resultado suele escribirse como: (x - 4)2.
d)x2 - 7x + 1
Solución:
a=1; b=-7; c=1.
D=45.
Este ejemplo se diferencia de los anteriores en que no se puede extraer una raíz racional del discriminante. Esto significa que las raíces del polinomio son irracionales.
x1 =-1/2(7 + √45); x2 =-1/2(7 - √45).
O equivalente, x1=-3, 5 - 1/2√45; x2 =-3, 5 + 1/2√45.
La última opción es más conveniente para escribir expansión. Omitiendo el coeficiente senior, que aquí es igual a 1, obtenemos:
x2- 7x + 1=(x + 3,5 + 1/2√45)(x + 3,5 - 1/2√45)
Para el caso en que el discriminante sea negativo, la siguiente respuesta es suficiente en el marco del currículo escolar: el trinomio no tiene raíces y, por lo tanto, no se puede factorizar. Tales trinomios también se llaman irreducibles. Es importante entender que estamos hablando solo de la presencia o ausencia de raíces reales.
Si se considera el campo de los números complejos, la factorización de un trinomio cuadrado es posible con cualquier discriminante.
Errores típicos
1) Al principio de estudiar un polinomio, muchas personas escriben los coeficientes incorrectamente, por ejemplo, prestan atención al orden de los monomios en la notación.
Así que el factor principal a en la ecuación 101 es 79x + 38x2es 38, no 101 como podrías pensar.
Otro error asociado a los coeficientes de la ecuación es la llamada "pérdida de signo". En el mismo ejemplo, coeficiente b=-79, no 79.
2) Al acostumbrarse a usar el teorema de Vieta para el caso cuando a=1, los escolares a veces se olvidan de su formulación completa. En el polinomio del primer párrafo, es incorrecto suponer que la suma de las raíces es 79, ya que el primer coeficiente es diferente de 1.
3) Los errores de cálculo son el problema más común para los estudiantes. En muchos casos, comprobar ayuda a evitarlos.sustitución.
Polinomios de tercer grado en adelante
Los polinomios de mayor grado rara vez se consideran en la escuela, ya que el problema de encontrar raíces para polinomios de tercer grado y mayores es laborioso. Existen algoritmos de alta complejidad computacional para expandir un polinomio de tercer y cuarto grado. Para el quinto grado y superior, se demuestra un teorema sobre la insolubilidad de la ecuación en radicales en forma general.
Los casos especiales de estos polinomios, que se pueden considerar en la escuela secundaria, se caracterizan por la presencia de raíces racionales fáciles de seleccionar. El número de estos últimos no puede exceder el grado del polinomio. Cuando se trabaja con el plano complejo, su número es exactamente el mismo que el grado más alto.
Los polinomios de grado impar siempre tienen al menos una raíz real. Esto es fácil de mostrar gráficamente: una función continua dada por dicho polinomio tiene valores tanto positivos como negativos, lo que significa que pasa por 0.
Todas las raíces de dos polinomios coinciden si y solo si sus coeficientes son proporcionales.
En general, el problema de encontrar raíces y el problema de construir una descomposición pueden considerarse equivalentes.
