Cualquier cantidad física que se propone en ecuaciones matemáticas en el estudio de un fenómeno natural en particular tiene algún significado. El momento de inercia no es una excepción a esta regla. El significado físico de esta cantidad se analiza en detalle en este artículo.
Momento de inercia: formulación matemática
Antes que nada, debe decirse que la cantidad física bajo consideración se usa para describir sistemas de rotación, es decir, tales movimientos de un objeto que se caracterizan por trayectorias circulares alrededor de algún eje o punto.
Demos la fórmula matemática del momento de inercia de un punto material:
I=mr2.
Aquí m y r son la masa y el radio de rotación (distancia al eje) de la partícula, respectivamente. Cualquier cuerpo sólido, por complejo que sea, puede dividirse mentalmente en puntos materiales. Entonces la fórmula para el momento de inercia en forma general se verá así:
yo=∫mr2dm.
Esta expresión siempre es cierta, y no solo para tridimensionales,pero también para cuerpos bidimensionales (unidimensionales), es decir, para planos y barras.
De estas fórmulas es difícil entender el significado del momento físico de inercia, pero se puede sacar una conclusión importante: depende de la distribución de masa en el cuerpo que gira, así como de la distancia a el eje de rotación. Además, la dependencia de r es más pronunciada que de m (ver el signo cuadrado en las fórmulas).
Movimiento circular
Entiende cuál es el significado físico del momento de inercia, es imposible si no consideras el movimiento circular de los cuerpos. Sin entrar en detalles, aquí hay dos expresiones matemáticas que describen la rotación:
I1ω1=I2ω 2;
M=I dω/dt.
La ecuación superior se llama ley de conservación de la cantidad L (momentum). Significa que no importa qué cambios ocurran dentro del sistema (al principio hubo un momento de inercia I1, y luego se volvió igual a I2), el producto I por la velocidad angular ω, es decir, el momento angular, permanecerá sin cambios.
La expresión inferior demuestra el cambio en la velocidad de rotación del sistema (dω/dt) cuando se le aplica cierto momento de fuerza M, que tiene un carácter externo, es decir, es generado por fuerzas no relacionados con procesos internos en el sistema bajo consideración.
Tanto la igualdad superior como la inferior contienen I, y cuanto mayor sea su valor, menor será la velocidad angular ω o la aceleración angular dω/dt. Este es el significado físico del momento.inercia del cuerpo: refleja la capacidad del sistema para mantener su velocidad angular. Cuanto más yo, más fuerte se manifiesta esta habilidad.
Analogía del momento lineal
Ahora pasemos a la misma conclusión que se expresó al final del párrafo anterior, trazando una analogía entre el movimiento de rotación y el de traslación en la física. Como saben, este último se describe mediante la siguiente fórmula:
p=mv.
Esta simple expresión determina la cantidad de movimiento del sistema. Comparemos su forma con la del momento angular (ver la expresión superior en el párrafo anterior). Vemos que los valores v y ω tienen el mismo significado: el primero caracteriza la tasa de cambio de las coordenadas lineales del objeto, el segundo caracteriza las coordenadas angulares. Dado que ambas fórmulas describen el proceso de movimiento uniforme (equiangular), los valores m e I también deben tener el mismo significado.
Ahora considere la segunda ley de Newton, que se expresa mediante la fórmula:
F=ma.
Atendiendo a la forma de la igualdad inferior del párrafo anterior, tenemos una situación similar a la planteada. El momento de la fuerza M en su representación lineal es la fuerza F, y la aceleración lineal a es completamente análoga a la angular dω/dt. Y de nuevo llegamos a la equivalencia de masa y momento de inercia.
¿Cuál es el significado de masa en la mecánica clásica? Es una medida de la inercia: cuanto mayor es m, más difícil es mover el objeto de su lugar, y más aún darle aceleración. Lo mismo puede decirse del momento de inercia en relación con el movimiento de rotación.
Significado físico del momento de inercia en un ejemplo doméstico
Hagamos una pregunta simple acerca de cómo es más fácil girar una barra de metal, por ejemplo, una barra de refuerzo, cuando el eje de rotación se dirige a lo largo o cuando es transversal. Por supuesto, es más fácil hacer girar la barra en el primer caso, porque su momento de inercia para tal posición del eje será muy pequeño (para una barra delgada es igual a cero). Por lo tanto, es suficiente sostener un objeto entre las palmas de las manos y con un ligero movimiento hacerlo girar.
Por cierto, el hecho descrito fue verificado experimentalmente por nuestros antepasados en la antigüedad, cuando aprendieron a hacer fuego. Hicieron girar el palo con enormes aceleraciones angulares, lo que condujo a la creación de grandes fuerzas de fricción y, como resultado, a la liberación de una cantidad significativa de calor.
El volante de un automóvil es un buen ejemplo del uso de un gran momento de inercia
En conclusión, me gustaría dar quizás el ejemplo más importante para la tecnología moderna de usar el significado físico del momento de inercia. El volante de inercia de un automóvil es un disco sólido de acero con un radio y una masa relativamente grandes. Estos dos valores determinan la existencia de un valor significante que lo caracteriza. El volante está diseñado para "suavizar" cualquier efecto de fuerza sobre el cigüeñal del automóvil. La naturaleza impulsiva de los momentos de actuación de las fuerzas de los cilindros del motor al cigüeñal se suaviza gracias al pesado volante.
Por cierto, cuanto mayor sea el momento angular,más energía hay en un sistema giratorio (analogía con la masa). Los ingenieros quieren utilizar este hecho, almacenando la energía de frenado de un automóvil en el volante, para posteriormente dirigirla para acelerar el vehículo.
