Las matemáticas tienen su origen en la Antigüedad. Gracias a ella, la arquitectura, la construcción y la ciencia militar dieron una nueva ronda de desarrollo, los logros que se obtuvieron con la ayuda de las matemáticas condujeron al movimiento del progreso. Hasta el día de hoy, las matemáticas siguen siendo la principal ciencia que se encuentra en todas las demás ramas.
Para ser educados, los niños desde el primer grado comienzan a integrarse gradualmente en este entorno. Es muy importante entender las matemáticas, ya que, en un grado u otro, se le ocurren a todas las personas a lo largo de su vida. Este artículo analizará uno de los elementos clave: encontrar y aplicar derivados. No todas las personas pueden imaginar cuán ampliamente se usa este concepto. Considere más de 10 aplicaciones de derivados en ciertos campos o ciencias.
Aplicación de la derivada al estudio de una función
La derivada es tal límitela razón del incremento de una función al incremento de su argumento cuando el exponente del argumento tiende a cero. La derivada es algo indispensable en el estudio de una función. Por ejemplo, se puede usar para determinar el aumento y la disminución de este último, los extremos, la convexidad y la concavidad. El cálculo diferencial está incluido en el plan de estudios obligatorio para los estudiantes de 1.° y 2.° año de las universidades matemáticas.
Alcance y ceros de función
La primera etapa de cualquier estudio del gráfico comienza con encontrar el dominio de definición, en casos más raros - el valor. El dominio de definición se establece a lo largo del eje de abscisas, en otras palabras, estos son valores numéricos en el eje OX. A menudo, el alcance ya está establecido, pero si no lo está, entonces se debe evaluar el valor del argumento x. Supongamos que, si para algunos valores del argumento la función no tiene sentido, entonces este argumento se excluye del alcance.
Los ceros de la función se encuentran de una forma sencilla: la función f(x) debe igualarse a cero y la ecuación resultante debe resolverse con respecto a una variable x. Las raíces de la ecuación obtenidas son los ceros de la función, es decir, en estas x la función es 0.
Aumento y disminución
El uso de la derivada para estudiar funciones por monotonicidad se puede considerar desde dos posiciones. Una función monótona es una categoría que tiene solo valores positivos de la derivada, o solo valores negativos. En palabras simples, la función solo crece o solo decrece en todo el intervalo bajo estudio:
- Aumentar parámetro. Funciónf(x) aumentará si la derivada de f`(x) es mayor que cero.
- Parámetro descendente. La función f(x) disminuirá si la derivada de f`(x) es menor que cero.
Tangente y pendiente
La aplicación de la derivada al estudio de una función también está determinada por la tangente (línea recta dirigida en un ángulo) a la gráfica de la función en un punto dado. Tangente en un punto (x0) - una línea que pasa por un punto y pertenece a la función cuyas coordenadas son (x0, f(x 0 )) y con pendiente f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - la ecuación de la tangente al punto dado del gráfico de la función.
Significado geométrico de la derivada: la derivada de la función f(x) es igual a la pendiente de la tangente formada a la gráfica de esta función en un punto x dado. El coeficiente angular, a su vez, es igual a la tangente del ángulo de inclinación de la tangente al eje OX (abscisa) en la dirección positiva. Este corolario es fundamental para la aplicación de la derivada a la gráfica de una función.
Puntos extremos
Aplicar una derivada a un estudio implica encontrar puntos altos y bajos.
Para encontrar y determinar los puntos mínimo y máximo, debe:
- Encuentra la derivada de la función f(x).
- Establecer la ecuación resultante en cero.
- Encuentra las raíces de la ecuación.
- Encuentra puntos altos y bajos.
Para encontrar los extremoscaracteristicas:
- Encuentra los puntos mínimo y máximo usando el método anterior.
- Sustituye estos puntos en la ecuación original y calcula ymax y ymin
El punto máximo de la función es el mayor valor de la función f(x) en el intervalo, en otras palabras xmax.
El punto mínimo de la función es el valor más pequeño de la función f(x) en el intervalo, en otras palabras xnombre
Los puntos extremos son lo mismo que los puntos máximo y mínimo, y el extremo de la función (ymax. and yminimum) - valores de función que corresponden a puntos extremos.
Convexidad y concavidad
Puedes determinar la convexidad y la concavidad recurriendo al uso de la derivada para graficar:
- Una función f(x) examinada en el intervalo (a, b) es cóncava si la función se encuentra debajo de todas sus tangentes dentro de este intervalo.
- La función f(x) estudiada en el intervalo (a, b) es convexa si la función se encuentra por encima de todas sus tangentes dentro de este intervalo.
El punto que separa la convexidad y la concavidad se llama punto de inflexión de la función.
Para encontrar los puntos de inflexión:
- Encontrar puntos críticos de segunda especie (segunda derivada).
- Los puntos de inflexión son aquellos puntos críticos que separan dos signos opuestos.
- Calcular los valores de la función en los puntos de inflexión de la función.
Derivadas parciales
Aplicaciónexisten derivadas de este tipo en problemas donde se utiliza más de una variable desconocida. En la mayoría de los casos, tales derivadas se encuentran al trazar un gráfico de función, para ser más precisos, superficies en el espacio, donde en lugar de dos ejes hay tres, por lo tanto, tres cantidades (dos variables y una constante).
La regla básica al calcular derivadas parciales es elegir una variable y tratar el resto como constantes. Por lo tanto, al calcular la derivada parcial, la constante se convierte en un valor numérico (en muchas tablas de derivadas, se denotan como C=const). El significado de tal derivada es la tasa de cambio de la función z=f(x, y) a lo largo de los ejes OX y OY, es decir, caracteriza la inclinación de las depresiones y protuberancias de la superficie construida.
Derivada en física
El uso de la derivada en física está muy extendido y es importante. Significado físico: la derivada de la trayectoria con respecto al tiempo es la velocidad, y la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Desde el significado físico, se pueden dibujar muchas ramas a varias ramas de la física, preservando completamente el significado de la derivada.
Con la ayuda de la derivada se encuentran los siguientes valores:
- Velocidad en cinemática, donde se calcula la derivada de la distancia recorrida. Si se encuentra la segunda derivada de la trayectoria o la primera derivada de la velocidad, entonces se encuentra la aceleración del cuerpo. Además, es posible encontrar la velocidad instantánea de un punto material, pero para ello es necesario conocer el incremento ∆t y ∆r.
- En electrodinámica:cálculo de la fuerza instantánea de la corriente alterna, así como la FEM de la inducción electromagnética. Al calcular la derivada, puede encontrar la potencia máxima. La derivada de la cantidad de carga eléctrica es la intensidad de la corriente en el conductor.
Derivado en química y biología
Química: La derivada se usa para determinar la velocidad de una reacción química. El significado químico de la derivada: función p=p(t), en este caso p es la cantidad de sustancia que entra en una reacción química en el tiempo t. ∆t - incremento de tiempo, ∆p - incremento de cantidad de sustancia. El límite de la relación de ∆p a ∆t, en el que ∆t tiende a cero, se denomina velocidad de una reacción química. El valor medio de una reacción química es la relación ∆p/∆t. Al determinar la velocidad, es necesario conocer exactamente todos los parámetros y condiciones necesarios para conocer el estado agregado de la sustancia y el medio de flujo. Este es un aspecto bastante importante de la química, que se utiliza ampliamente en diversas industrias y actividades humanas.
Biología: el concepto de derivada se utiliza para calcular la tasa de reproducción promedio. Significado biológico: tenemos una función y=x(t). ∆t - incremento de tiempo. Luego, con la ayuda de algunas transformaciones, obtenemos la función y`=P(t)=x`(t) - la actividad vital de la población del tiempo t (tasa de reproducción promedio). Este uso de la derivada le permite llevar estadísticas, rastrear la tasa de reproducción, etc.
Derivada en geografía y economía
La derivada permite a los geógrafos decidirtareas como encontrar población, calcular valores en sismografía, calcular radiactividad de indicadores geofísicos nucleares, calcular interpolación.
En economía, una parte importante de los cálculos es el cálculo diferencial y el cálculo de la derivada. En primer lugar, esto nos permite determinar los límites de los valores económicos necesarios. Por ejemplo, la productividad laboral más alta y más baja, costos, ganancias. Básicamente, estos valores se calculan a partir de gráficos de funciones, donde encuentran extremos, determinan la monotonicidad de la función en el área deseada.
Conclusión
El papel de este cálculo diferencial está involucrado, como se señala en el artículo, en varias estructuras científicas. El uso de funciones derivadas es un elemento importante en la parte práctica de la ciencia y la producción. No en vano, en la escuela secundaria y la universidad nos enseñaron a construir gráficos complejos, explorar y trabajar funciones. Como puede ver, sin derivados y cálculos diferenciales, sería imposible calcular indicadores y cantidades vitales. La humanidad ha aprendido a modelar varios procesos y explorarlos para resolver problemas matemáticos complejos. De hecho, las matemáticas son la reina de todas las ciencias, porque esta ciencia es la base de todas las demás disciplinas naturales y técnicas.
