Probablemente, el concepto de derivada nos sea familiar a todos desde la escuela. Por lo general, los estudiantes tienen dificultad para comprender esto, sin duda, algo muy importante. Se usa activamente en varias áreas de la vida de las personas, y muchos desarrollos de ingeniería se basaron precisamente en cálculos matemáticos obtenidos usando la derivada. Pero antes de proceder al análisis de qué son las derivadas de los números, cómo calcularlas y dónde nos son útiles, sumérjase en la historia.
Historia
El concepto de derivada, que es la base del análisis matemático, fue descubierto (mejor sería "inventado", porque no existía en la naturaleza como tal) por Isaac Newton, a quien todos conocemos del descubrimiento de la ley de la gravitación universal. Fue él quien aplicó por primera vez este concepto en física para vincular la naturaleza de la velocidad y la aceleración de los cuerpos. Y muchos científicos todavía elogian a Newton por este magnífico invento, porque de hecho inventó la base del cálculo diferencial e integral, de hecho, la base de toda un área de las matemáticas llamada "cálculo". Si en ese momento el Premio Nobel, Newton lo hubiera recibido con una alta probabilidad varias veces.
No sin otras grandes mentes. excepto newtongenios matemáticos tan eminentes como Leonhard Euler, Louis Lagrange y Gottfried Leibniz trabajaron en el desarrollo de la derivada y la integral. Es gracias a ellos que hemos recibido la teoría del cálculo diferencial en la forma en que existe hasta el día de hoy. Por cierto, fue Leibniz quien descubrió el significado geométrico de la derivada, que resultó ser nada más que la tangente de la pendiente de la tangente a la gráfica de la función.
¿Qué son las derivadas de los números? Repitamos un poco lo que pasamos en la escuela.
¿Qué es una derivada?
Este concepto se puede definir de varias maneras diferentes. La explicación más simple es que la derivada es la tasa de cambio de la función. Imagina una gráfica de alguna función y de x. Si no es recto, entonces tiene algunas curvas en el gráfico, períodos de aumento y disminución. Si tomamos un intervalo infinitamente pequeño de este gráfico, será un segmento de línea recta. Entonces, la relación entre el tamaño de este segmento infinitamente pequeño a lo largo de la coordenada y y el tamaño a lo largo de la coordenada x será la derivada de esta función en un punto dado. Si consideramos la función como un todo, y no en un punto específico, obtendremos una función derivada, es decir, una cierta dependencia de y con respecto a x.
Además, además del significado físico de la derivada como la tasa de cambio de una función, también hay un significado geométrico. Hablaremos de él ahora.
Sentido geométrico
Las derivadas de los números en sí mismas representan un cierto número que, sin una comprensión adecuada, no llevaNo tiene sentido. Resulta que la derivada no solo muestra la tasa de crecimiento o disminución de la función, sino también la tangente de la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en un punto dado. No es una definición muy clara. Vamos a analizarlo con más detalle. Digamos que tenemos la gráfica de una función (por interés, tomemos una curva). Tiene una infinidad de puntos, pero hay zonas donde un solo punto tiene un máximo o un mínimo. A través de cualquiera de esos puntos es posible trazar una línea que sería perpendicular a la gráfica de la función en ese punto. Tal línea se llamará tangente. Digamos que lo pasamos a la intersección con el eje OX. Entonces, el ángulo obtenido entre la tangente y el eje OX estará determinado por la derivada. Más precisamente, la tangente de este ángulo será igual a él.
Hablemos un poco sobre casos especiales y analicemos las derivadas de los números.
Casos especiales
Como ya hemos dicho, las derivadas de los números son los valores de la derivada en un punto determinado. Por ejemplo, tomemos la función y=x2. La derivada x es un número, y en el caso general, una función igual a 2x. Si necesitamos calcular la derivada, digamos, en el punto x0=1, entonces obtenemos y'(1)=21=2. Todo es muy simple. Un caso interesante es la derivada de un número complejo. No entraremos en una explicación detallada de lo que es un número complejo. Digamos que este es un número que contiene la llamada unidad imaginaria, un número cuyo cuadrado es -1. El cálculo de tal derivada es posible solo si se cumple lo siguientecondiciones:
1) Debe haber derivadas parciales de primer orden de las partes real e imaginaria con respecto a Y y X.
2) Se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann asociadas a la igualdad de derivadas parciales descritas en el primer párrafo.
Otro caso interesante, aunque no tan complicado como el anterior, es el de la derivada de un número negativo. De hecho, cualquier número negativo se puede representar como un número positivo multiplicado por -1. Bueno, la derivada de la constante y la función es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función.
Será interesante aprender sobre el papel de la derivada en la vida cotidiana, y esto es lo que discutiremos ahora.
Solicitud
Probablemente, cada uno de nosotros, al menos una vez en su vida, se sorprende a sí mismo pensando que es poco probable que las matemáticas le sean útiles. Y algo tan complicado como un derivado, probablemente, no tiene ninguna aplicación. De hecho, las matemáticas son una ciencia fundamental, y todos sus frutos son desarrollados principalmente por la física, la química, la astronomía e incluso la economía. La derivada fue el comienzo del análisis matemático, que nos dio la capacidad de sacar conclusiones de las gráficas de funciones, y gracias a ella aprendimos a interpretar las leyes de la naturaleza y convertirlas en nuestro beneficio.
Conclusión
Por supuesto, no todos pueden necesitar un derivado en la vida real. Pero las matemáticas desarrollan la lógica, que sin duda será necesaria. No en vano, las matemáticas son llamadas la reina de las ciencias: forman la base para comprender otras áreas del conocimiento.
