Una de las propiedades características de cualquier onda es su capacidad de difractar en obstáculos, cuyo tamaño es comparable a la longitud de onda de esta onda. Esta propiedad se utiliza en las denominadas rejillas de difracción. En el artículo se explica qué son y cómo se pueden utilizar para analizar los espectros de emisión y absorción de diferentes materiales.
Fenómeno de difracción
Este fenómeno consiste en cambiar la trayectoria de propagación rectilínea de una onda cuando aparece un obstáculo en su camino. A diferencia de la refracción y la reflexión, la difracción se nota solo en obstáculos muy pequeños, cuyas dimensiones geométricas son del orden de una longitud de onda. Hay dos tipos de difracción:
- onda que se dobla alrededor de un objeto cuando la longitud de onda es mucho mayor que el tamaño de este objeto;
- dispersión de una onda al pasar a través de agujeros de diferentes formas geométricas, cuando las dimensiones de los agujeros son más pequeñas que la longitud de onda.
El fenómeno de la difracción es característico del sonido, del mar y de las ondas electromagnéticas. Más adelante en el artículo, consideraremos una rejilla de difracción solo para la luz.
Fenómeno de interferencia
Los patrones de difracción que aparecen en varios obstáculos (agujeros redondos, ranuras y rejillas) son el resultado no solo de la difracción, sino también de la interferencia. La esencia de este último es la superposición de ondas entre sí, que son emitidas por diferentes fuentes. Si estas fuentes irradian ondas manteniendo una diferencia de fase entre ellas (la propiedad de la coherencia), entonces se puede observar un patrón de interferencia estable en el tiempo.
La posición de los máximos (áreas brillantes) y mínimos (zonas oscuras) se explica de la siguiente manera: si dos ondas llegan a un punto dado en antifase (una con un máximo y otra con una amplitud mínima absoluta), luego se "destruyen" entre sí, y se observa un mínimo en el punto. Por el contrario, si dos ondas llegan en la misma fase a un punto, entonces se reforzarán entre sí (máximo).
Ambos fenómenos fueron descritos por primera vez por el inglés Thomas Young en 1801, cuando estudió la difracción por dos rendijas. Sin embargo, el italiano Grimaldi observó por primera vez este fenómeno en 1648, cuando estudió el patrón de difracción dado por la luz solar al atravesar un pequeño orificio. Grimaldi no pudo explicar los resultados de sus experimentos.
Método matemático utilizado para estudiar la difracción
Este método se llama principio de Huygens-Fresnel. Consiste en afirmar que en el procesopropagación del frente de onda, cada uno de sus puntos es una fuente de ondas secundarias, cuya interferencia determina la oscilación resultante en un punto arbitrario bajo consideración.
El principio descrito fue desarrollado por Augustin Fresnel en la primera mitad del siglo XIX. Al mismo tiempo, Fresnel partía de las ideas de la teoría ondulatoria de Christian Huygens.
Aunque el principio de Huygens-Fresnel no es teóricamente riguroso, se ha utilizado con éxito para describir matemáticamente experimentos con difracción e interferencia.
Difracción en los campos cercano y lejano
La difracción es un fenómeno bastante complejo, cuya solución matemática exacta requiere la consideración de la teoría del electromagnetismo de Maxwell. Por lo tanto, en la práctica, solo se consideran casos especiales de este fenómeno, utilizando diversas aproximaciones. Si el frente de onda incidente sobre el obstáculo es plano, entonces se distinguen dos tipos de difracción:
- en el campo cercano, o difracción de Fresnel;
- en el campo lejano, o difracción de Fraunhofer.
Las palabras "campo lejano y cercano" se refieren a la distancia a la pantalla en la que se observa el patrón de difracción.
La transición entre la difracción de Fraunhofer y la de Fresnel se puede estimar calculando el número de Fresnel para un caso específico. Este número se define de la siguiente manera:
F=a2/(Dλ).
Aquí λ es la longitud de onda de la luz, D es la distancia a la pantalla, a es el tamaño del objeto en el que se produce la difracción.
Si F<1, considereya aproximaciones de campo cercano.
En la aproximación de campo lejano se consideran muchos casos prácticos, incluido el uso de una rejilla de difracción.
El concepto de rejilla en la que se difractan las ondas
Esta celosía es un pequeño objeto plano, sobre el cual se aplica de alguna manera una estructura periódica, como rayas o surcos. Un parámetro importante de dicha rejilla es el número de tiras por unidad de longitud (generalmente 1 mm). Este parámetro se llama constante de red. Además, lo denotaremos con el símbolo N. El recíproco de N determina la distancia entre tiras adyacentes. Lo denotaremos con la letra d, luego:
d=1/N.
Cuando una onda plana cae sobre una rejilla de este tipo, experimenta perturbaciones periódicas. Estos últimos se muestran en la pantalla en forma de una determinada imagen, que es el resultado de la interferencia de ondas.
Tipos de rejillas
Hay dos tipos de rejillas de difracción:
- pasando o transparente;
- reflectante.
Los primeros se realizan aplicando trazos opacos al vidrio. Es con esas placas que trabajan en laboratorios, se usan en espectroscopios.
El segundo tipo, es decir, las rejillas reflectantes, se fabrican aplicando ranuras periódicas al material pulido. Un sorprendente ejemplo cotidiano de este entramado es un disco CD o DVD de plástico.
Ecuación de celosía
Considerando la difracción de Fraunhofer en una rejilla, se puede escribir la siguiente expresión para la intensidad de la luz en el patrón de difracción:
I(θ)=I0(sin(β)/β)2[sin(Nα) /sin(α)]2, donde
α=pid/λ(sin(θ)-sin(θ0));
β=pia/λ(sin(θ)-sin(θ0)).
El parámetro a es el ancho de una ranura y el parámetro d es la distancia entre ellas. Una característica importante en la expresión de I(θ) es el ángulo θ. Este es el ángulo entre la perpendicular central al plano de la rejilla y un punto específico en el patrón de difracción. En los experimentos, se mide con un goniómetro.
En la fórmula presentada, la expresión entre paréntesis determina la difracción de una rendija, y la expresión entre corchetes es el resultado de la interferencia de onda. Analizándolo para la condición de máximos de interferencia, podemos llegar a la siguiente fórmula:
sin(θm)-sin(θ0)=mλ/d.
Ángulo θ0 caracteriza la onda incidente en la rejilla. Si el frente de onda es paralelo a él, entonces θ0=0, y la última expresión se convierte en:
sen(θm)=mλ/d.
Esta fórmula se llama ecuación de rejilla de difracción. El valor de m toma cualquier número entero, incluidos los negativos y el cero, se denomina orden de difracción.
Análisis de ecuaciones reticulares
En el párrafo anterior, descubrimosque la posición de los máximos principales está descrita por la ecuación:
sen(θm)=mλ/d.
¿Cómo se puede poner en práctica? Se utiliza principalmente cuando la luz que incide sobre una rejilla de difracción con un período d se descompone en colores individuales. Cuanto mayor sea la longitud de onda λ, mayor será la distancia angular al máximo que le corresponde. Medir el θm correspondiente para cada onda le permite calcular su longitud y, por lo tanto, determinar el espectro completo del objeto radiante. Comparando este espectro con los datos de una base de datos conocida, podemos decir qué elementos químicos lo emitieron.
El proceso anterior se usa en espectrómetros.
Resolución de cuadrícula
Debajo se entiende tal diferencia entre dos longitudes de onda que aparecen en el patrón de difracción como líneas separadas. El hecho es que cada línea tiene un cierto grosor, cuando dos ondas con valores cercanos de λ y λ + Δλ se difractan, entonces las líneas que les corresponden en la imagen pueden fusionarse en una sola. En el último caso, se dice que la resolución de la rejilla es menor que Δλ.
Omitiendo los argumentos sobre la derivación de la fórmula para la resolución de rejilla, presentamos su forma final:
Δλ>λ/(mN).
Esta pequeña fórmula nos permite concluir: usando una rejilla, puede separar las longitudes de onda más cercanas (Δλ), cuanto más larga sea la longitud de onda de la luz λ, mayor será el número de golpes por unidad de longitud(constante de red N), y cuanto mayor sea el orden de difracción. Detengámonos en el último.
Si observa el patrón de difracción, entonces, al aumentar m, realmente hay un aumento en la distancia entre longitudes de onda adyacentes. Sin embargo, para utilizar órdenes de difracción altos, es necesario que la intensidad de la luz sobre ellos sea suficiente para las mediciones. En una rejilla de difracción convencional, cae rápidamente al aumentar m. Por lo tanto, para estos fines, se utilizan rejillas especiales, que están hechas de tal manera que redistribuyen la intensidad de la luz a favor de grandes m. Por regla general, se trata de rejillas reflectantes, cuyo patrón de difracción se obtiene para grandes θ0.
A continuación, considere usar la ecuación de red para resolver varios problemas.
Tareas para determinar ángulos de difracción, orden de difracción y constante de red
Demos ejemplos de resolución de varios problemas:
Para determinar el período de la rejilla de difracción, se lleva a cabo el siguiente experimento: se toma una fuente de luz monocromática, cuya longitud de onda es un valor conocido. Con la ayuda de lentes, se forma un frente de onda paralelo, es decir, se crean las condiciones para la difracción de Fraunhofer. Luego, este frente se dirige a una rejilla de difracción, cuyo período se desconoce. En la imagen resultante, los ángulos de diferentes órdenes se miden con un goniómetro. Luego, la fórmula calcula el valor del período desconocido. Realicemos este cálculo en un ejemplo específico
Sea la longitud de onda de la luz 500 nm y el ángulo para el primer orden de difracción sea 21o. Con base en estos datos, es necesario determinar el período de la rejilla de difracción d.
Usando la ecuación reticular, exprese d e introduzca los datos:
d=mλ/sen(θm)=150010-9/sen(21 o) ≈ 1,4 µm.
Entonces la constante de red N es:
N=1/d ≈ 714 líneas por 1 mm.
La luz cae normalmente sobre una rejilla de difracción que tiene un período de 5 micrones. Sabiendo que la longitud de onda λ=600 nm, es necesario encontrar los ángulos en los que aparecerán los máximos de primer y segundo orden
Para el primer máximo obtenemos:
sen(θ1)=λ/d=>θ1=arcsen(λ/d) ≈ 6, 9 o.
Aparecerá el segundo máximo para el ángulo θ2:
θ2=arcosen(2λ/d) ≈ 13, 9o.
La luz monocromática cae sobre una rejilla de difracción con un período de 2 micras. Su longitud de onda es de 550 nm. Es necesario encontrar cuántos órdenes de difracción aparecerán en la imagen resultante en la pantalla
Este tipo de problema se resuelve de la siguiente manera: primero, debes determinar la dependencia del ángulo θm en el orden de difracción para las condiciones del problema. Luego de eso, habrá que tener en cuenta que la función seno no puede tomar valores mayores a uno. El último dato nos permitirá dar respuesta a este problema. Hagamos las acciones descritas:
sen(θm)=mλ/d=0, 275m.
Esta igualdad muestra que cuando m=4, la expresión del lado derecho se vuelve igual a 1,1, y en m=3 será igual a 0,825. Esto significa que usando una rejilla de difracción con un período de 2 μm a una longitud de onda de 550 nm, puede obtener el tercer orden máximo de difracción.
El problema de calcular la resolución de la rejilla
Supongamos que para el experimento van a utilizar una rejilla de difracción con un período de 10 micrones. Es necesario calcular en qué longitud de onda mínima pueden diferir las ondas cercanas a λ=580 nm para que aparezcan como máximos separados en la pantalla.
La respuesta a este problema está relacionada con la determinación de la resolución de la red considerada para una longitud de onda determinada. Entonces, dos ondas pueden diferir en Δλ>λ/(mN). Dado que la constante de red es inversamente proporcional al período d, esta expresión se puede escribir de la siguiente manera:
Δλ>λd/m.
Ahora para la longitud de onda λ=580 nm escribimos la ecuación de red:
sen(θm)=mλ/d=0, 058m.
Donde obtenemos que el orden máximo de m será 17. Sustituyendo este número en la fórmula de Δλ, tenemos:
Δλ>58010-91010-6/17=3, 410- 13 o 0,00034 nm.
Obtuvimos una resolución muy alta cuando el período de la rejilla de difracción es de 10 micrones. En la práctica, por regla general, no se consigue debido a las bajas intensidades de los máximos de altos órdenes de difracción.
