Encontrar el determinante de una matriz es una acción importante no solo para el álgebra lineal: por ejemplo, en economía, usando este cálculo, se resuelven sistemas de ecuaciones lineales con muchas incógnitas, que son ampliamente utilizadas en problemas económicos.
Concepto determinante
El determinante, o determinante, de una matriz es un valor igual al volumen de un paralelepípedo construido sobre sus vectores fila o columna. Este valor se puede calcular solo para una matriz cuadrada, que tiene el mismo número de filas y columnas. Si los miembros de la matriz son números, entonces el determinante también será un número.
Cálculo de determinantes
Debe recordarse que existen varias reglas que pueden facilitar mucho estos cálculos.
Entonces el determinante de una matriz que consta de un miembro es igual a su único elemento. No es difícil calcular el determinante de segundo orden, para ello basta con restar el producto de los elementos situados en la diagonal secundaria al producto de los elementos de la diagonal principal.
El cálculo del determinante de tercer orden es más fácil de hacersegún la regla del triángulo. Para ello, realice las siguientes acciones:
- Encuentre el producto de tres miembros de la matriz ubicados en su principal
- Multiplica por tres términos ubicados en triángulos cuyas bases son paralelas a la diagonal principal.
- Repita la primera y segunda acción para la diagonal secundaria.
- Encuentra la suma de todos los valores obtenidos en los cálculos anteriores, mientras que los números obtenidos en el tercer párrafo se toman con signo menos.
diagonales.
Para encontrar fácilmente el determinante de una matriz de 4to orden, así como de dimensiones superiores, es necesario considerar las propiedades que tienen todos los determinantes:
- El valor del determinante no cambia después de la transposición de matrices.
- Cambiar las posiciones de dos filas o columnas adyacentes provoca un cambio en el signo del determinante.
- Si la matriz tiene dos filas o columnas iguales, o todos los elementos de la columna (fila) son cero, entonces su determinante es igual a cero.
- Multiplicar los números de una matriz por cualquier número conduce a un aumento en su determinante por el mismo número de veces.
Usar las propiedades anteriores ayuda a encontrar fácilmente el determinante de una matriz de cualquier orden. Por ejemplo, utilizando para ello el método de reducción de orden, en el que el determinante se expande por los elementos de la fila (columna) multiplicados por el complemento algebraico.
Otra manera que hace que encontrar el determinante sea mucho más fácil
matriz es llevarla a una forma triangular, cuando todos los elementos debajo de la diagonal principal son iguales a cero. En este caso, el determinante de la matriz se calcula como el producto de los números ubicados en esta diagonal.
Y finalmente, me gustaría señalar que el cálculo de los determinantes, aunque consiste en cálculos matemáticos aparentemente simples, requiere un cuidado y una perseverancia considerables.
