La secuencia numérica y su límite ha sido uno de los problemas más importantes de las matemáticas a lo largo de la historia de esta ciencia. Conocimiento constantemente actualizado, formulado nuevos teoremas y pruebas: todo esto nos permite considerar este concepto desde nuevas posiciones y desde diferentes ángulos.
Una secuencia numérica, de acuerdo con una de las definiciones más comunes, es una función matemática, cuya base es el conjunto de números naturales ordenados según un patrón u otro.
Esta función se puede considerar definida si se conoce la ley, según la cual se puede definir claramente un número real para cada número natural.
Hay varias opciones para crear secuencias de números.
En primer lugar, esta función se puede definir de la manera llamada "explícita", cuando existe una determinada fórmula mediante la cual se pueden determinar cada uno de sus miembrospor simple sustitución del número de serie en la secuencia dada.
El segundo método se llama "recurrente". Su esencia radica en el hecho de que se dan los primeros miembros de la secuencia numérica, así como una fórmula recursiva especial, con la ayuda de la cual, conociendo el miembro anterior, puede encontrar el siguiente.
Finalmente, la forma más general de especificar secuencias es el llamado "método analítico", cuando sin mucha dificultad uno puede no solo identificar uno u otro término bajo un número de serie determinado, sino también, conociendo varios términos consecutivos, llega a la fórmula general de una función dada.
La secuencia numérica puede ser creciente o decreciente. En el primer caso, cada término subsiguiente es menor que el anterior, y en el segundo caso, por el contrario, es mayor.
Considerando este tema, es imposible no tocar el tema de los límites de las secuencias. El límite de una secuencia es un número tal cuando para cualquier valor, incluido uno infinitesimal, hay un número de serie después del cual la desviación de los miembros sucesivos de la secuencia desde un punto dado en forma numérica se vuelve menor que el valor especificado durante la formación. de esta función.
El concepto de límite de una sucesión numérica se usa activamente al realizar ciertos cálculos integrales y diferenciales.
Las sucesiones matemáticas tienen todo un conjunto depropiedades.
En primer lugar, cualquier secuencia numérica es un ejemplo de una función matemática, por lo tanto, aquellas propiedades que son características de las funciones se pueden aplicar con seguridad a las secuencias. El ejemplo más sorprendente de tales propiedades es la disposición sobre series aritméticas crecientes y decrecientes, que están unidas por un concepto común: las secuencias monótonas.
En segundo lugar, hay un grupo bastante grande de secuencias que no se pueden clasificar como crecientes o decrecientes; estas son secuencias periódicas. En matemáticas se consideran aquellas funciones en las que existe un período denominado longitud, es decir, a partir de un momento determinado (n), comienza a operar la siguiente igualdad y =yn+T, donde T será la longitud misma del período.
