El vector es un objeto geométrico importante, con la ayuda de sus propiedades es conveniente resolver muchos problemas en el plano y en el espacio. En este artículo, lo definiremos, consideraremos sus características principales y también mostraremos cómo se puede usar un vector en el espacio para definir planos.
Qué es un vector: caso bidimensional
En primer lugar, es necesario entender claramente de qué objeto estamos hablando. En geometría, un segmento dirigido se llama vector. Como cualquier segmento, se caracteriza por dos elementos principales: los puntos inicial y final. Las coordenadas de estos puntos determinan de forma única todas las características del vector.
Consideremos un ejemplo de un vector en un plano. Para hacer esto, dibujamos dos ejes x e y perpendiculares entre sí. Marquemos un punto arbitrario P(x, y). Si conectamos este punto al origen (punto O) y luego especificamos la dirección a P, entonces obtenemos el vector OP¯ (más adelante en el artículo, la barra sobre el símbolo indica que estamos considerando un vector). El dibujo vectorial en el plano se muestra a continuación.
Aquí, también se muestra otro vector AB¯, y puedes ver que sus características son exactamente las mismas que OP¯, pero está en una parte diferente del sistema de coordenadas. Por traslación paralela OP¯, puede obtener un número infinito de vectores con las mismas propiedades.
Vector en el espacio
Todos los objetos reales que nos rodean están en el espacio tridimensional. El estudio de las propiedades geométricas de las figuras tridimensionales se ocupa de la estereometría, que opera con el concepto de vectores tridimensionales. Se diferencian de los bidimensionales solo en que su descripción requiere una coordenada adicional, que se mide a lo largo del tercer eje perpendicular x e y z.
La siguiente figura muestra un vector en el espacio. Las coordenadas de su extremo a lo largo de cada eje se indican mediante segmentos coloreados. El comienzo del vector está ubicado en el punto de intersección de los tres ejes de coordenadas, es decir, tiene coordenadas (0; 0; 0).
Dado que un vector en un plano es un caso especial de un segmento espacialmente dirigido, consideraremos solo un vector tridimensional en el artículo.
Coordenadas vectoriales basadas en coordenadas conocidas de su inicio y final
Supongamos que hay dos puntos P(x1; y1; z1) y Q(x2; y2; z2). Cómo determinar las coordenadas del vector PQ¯. Primero, es necesario acordar cuál de los puntos será el comienzo y cuál el final del vector. En matemáticas, se acostumbra escribir el objeto en cuestión a lo largo de su dirección, es decir, P es el comienzo, Q- el fin. En segundo lugar, las coordenadas del vector PQ¯ se calculan como la diferencia entre las coordenadas correspondientes del final y el comienzo, es decir:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Tenga en cuenta que al cambiar la dirección del vector, sus coordenadas cambiarán de signo, de la siguiente manera:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Esto significa PQ¯=-QP¯.
Es importante entender una cosa más. Se dijo arriba que en el plano hay un número infinito de vectores iguales al dado. Este hecho también es válido para el caso espacial. De hecho, cuando calculamos las coordenadas de PQ¯ en el ejemplo anterior, realizamos la operación de traslación paralela de este vector de forma que su origen coincidiera con el origen. El vector PQ¯ se puede dibujar como un segmento dirigido desde el origen hasta el punto M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Propiedades vectoriales
Como cualquier objeto geométrico, un vector tiene algunas características inherentes que pueden usarse para resolver problemas. Vamos a enumerarlos brevemente.
El módulo vectorial es la longitud del segmento dirigido. Conociendo las coordenadas, es fácil calcularlo. Para el vector PQ¯ del ejemplo anterior, el módulo es:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Módulo vectorial activadoplano se calcula mediante una fórmula similar, solo que sin la participación de la tercera coordenada.
La suma y diferencia de vectores se realiza según la regla del triángulo. La siguiente figura muestra cómo sumar y restar estos objetos.
Para obtener el vector suma, suma el principio del segundo al final del primer vector. El vector deseado comenzará al principio del primero y terminará al final del segundo vector.
La diferencia se realiza teniendo en cuenta que el vector restado se reemplaza por el opuesto, y luego se realiza la operación de suma descrita anteriormente.
Además de sumar y restar, es importante poder multiplicar un vector por un número. Si el número es igual a k, entonces se obtiene un vector cuyo módulo es k veces diferente del original, y la dirección es la misma (k>0) u opuesta a la original (k<0).
También se define la operación de multiplicación de vectores entre sí. Destacaremos un párrafo separado para ello en el artículo.
Multiplicación escalar y vectorial
Supongamos que hay dos vectores u¯(x1; y1; z1) y v¯(x2; y2; z2). Vector por vector se puede multiplicar de dos maneras diferentes:
- Escalar. En este caso, el resultado es un número.
- Vector. El resultado es un nuevo vector.
El producto escalar de los vectores u¯ y v¯ se calcula de la siguiente manera:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Donde α es el ángulo entre los vectores dados.
Se puede demostrar que conociendo las coordenadas u¯ y v¯, su producto escalar se puede calcular usando la siguiente fórmula:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
El producto escalar es conveniente cuando se descompone un vector en dos segmentos dirigidos perpendicularmente. También se utiliza para calcular el paralelismo u ortogonalidad de vectores, y para calcular el ángulo entre ellos.
El producto vectorial de u¯ y v¯ da un nuevo vector que es perpendicular a los originales y tiene módulo:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
La dirección hacia abajo o hacia arriba del nuevo vector está determinada por la regla de la mano derecha (cuatro dedos de la mano derecha se dirigen desde el final del primer vector hasta el final del segundo, y el pulgar hacia arriba indica la dirección del nuevo vector). La siguiente figura muestra el resultado del producto vectorial para a¯ y b¯ arbitrarios.
El producto vectorial se utiliza para calcular las áreas de figuras, así como para determinar las coordenadas de un vector perpendicular a un plano dado.
Los vectores y sus propiedades son útiles para definir la ecuación de un plano.
Ecuación normal y general del plano
Hay varias formas de definir un plano. Uno de ellos es la derivación de la ecuación general del plano, que se sigue directamente del conocimiento del vector perpendicular a él y de algún punto conocido que pertenece al plano.
Supongamos que existe un vector n¯ (A; B; C) y un punto P (x0; y0; z 0). ¿Qué condición cumplirán todos los puntos Q(x; y; z) del plano? Esta condición consiste en la perpendicularidad de cualquier vector PQ¯ a la normal n¯. Para dos vectores perpendiculares, el producto escalar se vuelve cero (cos(90o)=0), escribe esto:
(n¯PQ¯)=0 o
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Abriendo los corchetes, obtenemos:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 o
Ax + By + Cz +D=0 donde D=-Ax0-By0-Cz0.
Esta ecuación se llama general para el plano. Vemos que los coeficientes delante de x, y y z son las coordenadas del vector perpendicular n¯. Se llama guía de avión.
Ecuación vectorial paramétrica del plano
La segunda forma de definir un plano es usar dos vectores que se encuentran en él.
Suponga que hay vectores u¯(x1; y1; z1) y v¯(x2; y2; z2). Como se dijo, cada uno de ellos en el espacio puede ser representado por un número infinito de segmentos idénticos dirigidos, por lo tanto, se necesita un punto más para determinar de manera única el plano. Sea este punto P(x0;y0; z0). Cualquier punto Q(x; y; z) estará en el plano deseado si el vector PQ¯ se puede representar como una combinación de u¯ y v¯. Es decir, tenemos:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Donde α y β son números reales. De esta igualdad se sigue la expresión:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Se llama ecuación vectorial paramétrica del plano con respecto a 2 vectores u¯ y v¯. Sustituyendo los parámetros arbitrarios α y β, se pueden encontrar todos los puntos (x; y; z) pertenecientes a este plano.
De esta ecuación es fácil obtener la expresión general para el plano. Para ello, basta con encontrar el vector director n¯, que será perpendicular a ambos vectores u¯ y v¯, es decir, se debe aplicar su producto vectorial.
El problema de determinar la ecuación general del plano
Vamos a mostrar cómo usar las fórmulas anteriores para resolver problemas geométricos. Supongamos que el vector de dirección del plano es n¯(5; -3; 1). Debes encontrar la ecuación del plano, sabiendo que el punto P(2; 0; 0) le pertenece.
La ecuación general se escribe como:
Ax + By + Cz +D=0.
Como se conoce el vector perpendicular al plano, la ecuación tomará la forma:
5x - 3y + z +D=0.
Queda por encontrar el término libre D. Lo calculamos a partir del conocimiento de las coordenadas P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Así, la ecuación deseada del plano tiene la forma:
5x - 3y + z -10=0.
La siguiente figura muestra el aspecto del plano resultante.
Las coordenadas indicadas de los puntos corresponden a las intersecciones del plano con los ejes x, y y z.
El problema de determinar el plano a través de dos vectores y un punto
Ahora supongamos que el plano anterior se define de manera diferente. Se conocen dos vectores u¯(-2; 0; 10) y v¯(-2; -10/3; 0), así como el punto P(2; 0; 0). ¿Cómo escribir la ecuación del plano en forma vectorial paramétrica? Usando la fórmula correspondiente considerada, obtenemos:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Tenga en cuenta que las definiciones de esta ecuación del plano, los vectores u¯ y v¯ pueden tomarse absolutamente cualquiera, pero con una condición: no deben ser paralelos. De lo contrario, el plano no puede determinarse de forma única; sin embargo, se puede encontrar una ecuación para una viga o un conjunto de planos.
