Prisma hexagonal y sus principales características

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2024-01-02 17:45

La geometría espacial es el estudio de los prismas. Sus características importantes son el volumen contenido en ellos, el área superficial y el número de elementos constituyentes. En el artículo, consideraremos todas estas propiedades para un prisma hexagonal.

¿De qué prisma estamos hablando?

Un prisma hexagonal es una figura formada por dos polígonos de seis lados y seis ángulos, y seis paralelogramos que conectan los hexágonos marcados en una única formación geométrica.

La figura muestra un ejemplo de este prisma.

El hexágono marcado en rojo se llama base de la figura. Obviamente, el número de sus bases es igual a dos, y ambas son idénticas. Las caras amarillo-verdosas de un prisma se llaman sus lados. En la figura están representados por cuadrados, pero en general son paralelogramos.

El prisma hexagonal puede ser inclinado y recto. En el primer caso, los ángulos entre la base y los lados no son rectos, en el segundo son iguales a 90o. Además, este prisma puede ser correcto e incorrecto. hexagonal regularel prisma debe ser recto y tener un hexágono regular en la base. El prisma de arriba en la figura satisface estos requisitos, por lo que se llama correcto. Más adelante en el artículo estudiaremos solo sus propiedades, como un caso general.

Elementos

Para cualquier prisma sus elementos principales son aristas, caras y vértices. El prisma hexagonal no es una excepción. La figura de arriba le permite contar el número de estos elementos. Entonces, tenemos 8 caras o lados (dos bases y seis paralelogramos laterales), el número de vértices es 12 (6 vértices para cada base), el número de aristas de un prisma hexagonal es 18 (seis laterales y 12 para las bases).

En la década de 1750, Leonhard Euler (un matemático suizo) estableció para todos los poliedros, que incluyen un prisma, una relación matemática entre los números de los elementos indicados. Esta relación se parece a:

número de aristas=número de caras + número de vértices - 2.

Las cifras anteriores cumplen esta fórmula.

Diagonales del prisma

Todas las diagonales de un prisma hexagonal se pueden dividir en dos tipos:

• los que yacen en los planos de sus caras;
• los que pertenecen a todo el volumen de la figura.

La siguiente imagen muestra todas estas diagonales.

Se puede ver que D₁ es la diagonal lateral, D₂ y D₃ son las diagonales todo el prisma, D₄ y D_{5 - las diagonales de la base.}

Las longitudes de las diagonales de los lados son iguales entre sí. Es fácil calcularlos usando el conocido teorema de Pitágoras. Sea a la longitud del lado del hexágono, b la longitud del borde lateral. Entonces la diagonal tiene longitud:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonal D₄ también es fácil de determinar. Si recordamos que un hexágono regular cabe en un círculo de radio a, entonces D_{4 es el diámetro de este círculo, es decir, obtenemos la siguiente fórmula:}

D_4=2a.

Diagonal D₅las bases son un poco más difíciles de encontrar. Para hacer esto, considere un triángulo equilátero ABC (ver Fig.). Para él AB=BC=a, el ángulo ABC es 120^{o. Si bajamos la altura de este ángulo (también será la bisectriz y la mediana), entonces la mitad de la base AC será igual a:}

AC/2=ABsen(60o)=a√3/2.

El lado AC es la diagonal de D_{5, por lo que obtenemos:}

D_5=AC=√3a.

Ahora queda encontrar las diagonales D₂y D_{3de un prisma hexagonal regular. Para hacer esto, necesitas ver que son las hipotenusas de los triángulos rectángulos correspondientes. Usando el teorema de Pitágoras, obtenemos:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Por lo tanto, la diagonal más grande para cualquier valor de a y b esD_2.

Superficie

Para entender lo que está en juego, la forma más fácil es considerar el desarrollo de este prisma. Se muestra en la imagen.

Se puede ver que para determinar el área de todos los lados de la figura en consideración, es necesario calcular el área del cuadrilátero y el área del hexágono por separado, luego multiplicarlos por los enteros correspondientes iguales al número de cada n-ágono en el prisma, y suma los resultados. Hexágonos 2, rectángulos 6.

Para el área de un rectángulo obtenemos:

S_1=ab.

Entonces el área de la superficie lateral es:

S_2=6ab.

Para determinar el área de un hexágono, la forma más fácil es usar la fórmula correspondiente, que se parece a:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Sustituyendo el número n igual a 6 en esta expresión, obtenemos el área de un hexágono:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Esta expresión se debe multiplicar por dos para obtener el área de las bases del prisma:

S_os=3√3a^2.

Queda por sumar S_os y S_{2 para obtener la superficie total de la figura:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Volumen del prisma

Después de la fórmula paraárea de una base hexagonal, calcular el volumen contenido en el prisma en cuestión es tan fácil como desgranar peras. Para hacer esto, solo necesita multiplicar el área de la base ósea (hexágono) por la altura de la figura, cuya longitud es igual a la longitud del borde lateral. Obtenemos la fórmula:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Tenga en cuenta que el producto de la base y la altura da el valor del volumen de absolutamente cualquier prisma, incluido el oblicuo. Sin embargo, en este último caso, el cálculo de la altura es complicado, ya que ya no será igual a la longitud de la nervadura lateral. En cuanto a un prisma hexagonal regular, el valor de su volumen es función de dos variables: lados a y b.