El surgimiento del concepto de integral se debió a la necesidad de encontrar la función antiderivada por su derivada, así como determinar la cantidad de trabajo, el área de figuras complejas, la distancia recorrida, con parámetros delineados por curvas descritas por fórmulas no lineales.
Del curso
y la física sabe que el trabajo es igual al producto de la fuerza por la distancia. Si todo el movimiento ocurre a una velocidad constante o la distancia se supera con la aplicación de la misma fuerza, entonces todo está claro, solo necesita multiplicarlos. ¿Qué es una integral de una constante? Esta es una función lineal de la forma y=kx+c.
Pero la fuerza durante el trabajo puede cambiar, y en algún tipo de dependencia natural. La misma situación ocurre con el cálculo de la distancia recorrida si la velocidad no es constante.
Entonces, está claro para qué sirve la integral. Su definición como la suma de los productos de los valores de la función por un incremento infinitesimal del argumento describe completamente el significado principal de este concepto como el área de una figura limitada desde arriba por la línea de la función, y en los bordes por los límites de la definición.
Jean Gaston Darboux, matemático francés, en la segunda mitad del siglo XIXsiglo explicó muy claramente lo que es una integral. Dejó muy claro que, en general, no sería difícil, incluso para un estudiante de secundaria, entender este problema.
Digamos que hay una función de cualquier forma compleja. El eje y, en el que se trazan los valores del argumento, se divide en pequeños intervalos, idealmente son infinitamente pequeños, pero dado que el concepto de infinito es bastante abstracto, basta con imaginar solo pequeños segmentos, el valor de los cuales se suele denotar con la letra griega Δ (delta).
La función resultó ser "cortada" en pequeños ladrillos.
Cada valor de argumento corresponde a un punto en el eje y, en el que se trazan los valores de función correspondientes. Pero como el área seleccionada tiene dos bordes, también habrá dos valores de la función, más y menos.
La suma de los productos de valores más grandes por el incremento Δ se denomina suma de Darboux grande y se denota como S. En consecuencia, los valores más pequeños en un área limitada, multiplicados por Δ, todos juntos formar una pequeña suma de Darboux s. La sección en sí se parece a un trapezoide rectangular, ya que se puede despreciar la curvatura de la línea de la función con su incremento infinitesimal. La forma más fácil de encontrar el área de una figura geométrica de este tipo es sumar los productos del valor mayor y menor de la función por el incremento Δ y dividirlo por dos, es decir, determinarlo como la media aritmética.
Así es la integral de Darboux:
s=Σf(x) Δ es una cantidad pequeña;
S=Σf(x+Δ)Δ es una gran suma.
Entonces, ¿qué es una integral? El área delimitada por la línea de función y los límites de definición serán:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Es decir, la media aritmética de las sumas de Darboux grandes y pequeñas.c es un valor constante que se establece en cero durante la diferenciación.
Basado en la expresión geométrica de este concepto, el significado físico de la integral queda claro. El área de la figura, delineada por la función de velocidad, y limitada por el intervalo de tiempo a lo largo del eje de abscisas, será la longitud del camino recorrido.
L=∫f(x)dx en el intervalo de t1 a t2, Dónde
f(x) – función de velocidad, es decir, la fórmula por la cual cambia con el tiempo;
L – longitud del camino;
t1 – hora de inicio;
t2 – hora de finalización del viaje.
Exactamente de acuerdo con el mismo principio, se determina la cantidad de trabajo, solo se trazará la distancia a lo largo de la abscisa, y la cantidad de fuerza aplicada en cada punto en particular se trazará a lo largo de la ordenada.
