Para muchas personas, el análisis matemático es solo un conjunto de números, íconos y definiciones incomprensibles que están lejos de la vida real. Sin embargo, el mundo en el que existimos se basa en patrones numéricos, cuya identificación ayuda no solo a aprender sobre el mundo que nos rodea y resolver sus problemas complejos, sino también a simplificar las tareas prácticas cotidianas. ¿Qué quiere decir un matemático cuando dice que una secuencia de números converge? Esto debe discutirse con más detalle.
¿Qué es un infinitesimal?
Imaginemos muñecas matryoshka que encajan una dentro de la otra. Sus tamaños, escritos en forma de números, comenzando con el más grande y terminando con el más pequeño de ellos, forman una secuencia. Si imagina un número infinito de figuras tan brillantes, la fila resultante será fantásticamente larga. Esta es una secuencia de números convergentes. Y tiende a cero, ya que el tamaño de cada muñeca de anidamiento posterior, disminuyendo catastróficamente, se convierte gradualmente en nada. entonces es fácilse puede explicar: lo que es infinitesimal.
Un ejemplo similar sería un camino que conduce a la distancia. Y las dimensiones visuales del automóvil que se aleja del observador a lo largo de él, encogiéndose gradualmente, se convierten en una mancha sin forma que se asemeja a un punto. Así, la máquina, como un objeto, alejándose en una dirección desconocida, se vuelve infinitamente pequeña. Los parámetros del cuerpo especificado nunca serán cero en el sentido literal de la palabra, sino que invariablemente tenderán a este valor en el límite final. Por lo tanto, esta sucesión converge nuevamente a cero.
Calcular todo gota a gota
Imaginemos ahora una situación mundana. El médico le recetó al paciente que tomara el medicamento, comenzando con diez gotas al día y agregando dos al día siguiente. Y así, el médico sugirió continuar hasta que se agote el contenido del vial de medicamento, cuyo volumen es de 190 gotas. De lo anterior se desprende que el número de los mismos, programados por día, será la siguiente serie numérica: 10, 12, 14 y así sucesivamente.
¿Cómo saber el tiempo para completar todo el curso y el número de miembros de la secuencia? Aquí, por supuesto, se pueden contar las gotas de forma primitiva. Pero es mucho más fácil, dado el patrón, usar la fórmula para la suma de una progresión aritmética con un paso d=2. Y usando este método, descubre que el número de miembros de la serie numérica es 10. En este caso, a10=28. El número de pene indica el número de días de tomar el medicamento, y 28 corresponde al número de gotas que el paciente debeutilizar el último día. ¿Esta sucesión converge? No, porque a pesar de que está limitada a 10 desde abajo y 28 desde arriba, tal serie de números no tiene límite, a diferencia de los ejemplos anteriores.
¿Cuál es la diferencia?
Intentemos ahora aclarar: cuando la serie de números resulta ser una secuencia convergente. Una definición de este tipo, como se desprende de lo anterior, está directamente relacionada con el concepto de límite finito, cuya presencia revela la esencia de la cuestión. Entonces, ¿cuál es la diferencia fundamental entre los ejemplos dados anteriormente? ¿Y por qué en el último de ellos, el número 28 no puede considerarse el límite de la serie numérica X =10 + 2(n-1)?
Para aclarar esta pregunta, considere otra secuencia dada por la siguiente fórmula, donde n pertenece al conjunto de los números naturales.
Esta comunidad de miembros es un conjunto de fracciones comunes, cuyo numerador es 1, y el denominador crece constantemente: 1, ½ …
Además, cada representante sucesivo de esta serie se acerca cada vez más a 0 en términos de ubicación en la recta numérica. Y esto significa que tal vecindad aparece donde los puntos se agrupan alrededor de cero, que es el límite. Y cuanto más cerca están de él, más densa se vuelve su concentración en la recta numérica. Y la distancia entre ellos se reduce catastróficamente, convirtiéndose en infinitesimal. Esta es una señal de que la secuencia está convergiendo.
SimilaresAsí, los rectángulos multicolores que se muestran en la figura, al alejarse en el espacio, están visualmente más abarrotados, convirtiéndose en el límite hipotético en insignificantes.
Secuencias infinitamente grandes
Habiendo analizado la definición de sucesión convergente, pasemos a los contraejemplos. Muchos de ellos han sido conocidos por el hombre desde la antigüedad. Las variantes más simples de sucesiones divergentes son las series de números naturales y pares. Se les llama infinitamente grandes de una manera diferente, ya que sus miembros, en constante aumento, se acercan cada vez más al infinito positivo.
Un ejemplo de esto también puede ser cualquiera de las progresiones aritméticas y geométricas con paso y denominador, respectivamente, mayor que cero. Además, las series numéricas se consideran secuencias divergentes, que no tienen ningún límite. Por ejemplo, X =(-2) -1.
secuencia de Fibonacci
Los beneficios prácticos de las series numéricas mencionadas anteriormente para la humanidad son innegables. Pero hay innumerables otros grandes ejemplos. Uno de ellos es la sucesión de Fibonacci. Cada uno de sus miembros, que empiezan por uno, es la suma de los anteriores. Sus dos primeros representantes son 1 y 1. El tercero 1+1=2, el cuarto 1+2=3, el quinto 2+3=5. Además, según la misma lógica, siguen los números 8, 13, 21 y así sucesivamente.
Esta serie de números aumenta indefinidamente y no tienelímite final. Pero tiene otra maravillosa propiedad. La razón de cada número anterior al siguiente se acerca cada vez más en su valor a 0.618, aquí puedes entender la diferencia entre una sucesión convergente y divergente, ya que si realizas una serie de divisiones parciales recibidas, el sistema numérico indicado será tienen un límite finito igual a 0.618.
Secuencia de las proporciones de Fibonacci
La serie numérica indicada anteriormente es ampliamente utilizada con fines prácticos para el análisis técnico de los mercados. Pero esto no se limita a sus capacidades, que los egipcios y los griegos conocían y pudieron poner en práctica en la antigüedad. Esto lo prueban las pirámides que construyeron y el Partenón. Después de todo, el número 0,618 es un coeficiente constante de la sección áurea, bien conocido en los viejos tiempos. De acuerdo con esta regla, cualquier segmento arbitrario se puede dividir de modo que la relación entre sus partes coincida con la relación entre el mayor de los segmentos y la longitud total.
Construyamos una serie de las relaciones indicadas e intentemos analizar esta secuencia. La serie numérica será la siguiente: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 y así sucesivamente. Continuando así, podemos asegurar que el límite de la sucesión convergente será efectivamente 0,618, sin embargo, es necesario señalar otras propiedades de esta regularidad. Aquí los números parecen ir al azar, y no en orden ascendente o descendente. Esto significa que esta secuencia convergente no es monótona. Por qué esto es así será discutido más adelante.
Monotonicidad y limitación
Los miembros de la serie numérica pueden disminuir claramente con el número creciente (si x1>x2>x3>…>x >…) o aumentando (si x1<x2<x3<…<x <…). En este caso, se dice que la secuencia es estrictamente monótona. También se pueden observar otros patrones, donde la serie numérica será no decreciente ni creciente (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… o x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), entonces el sucesivamente convergente también es monótono, solo que no en sentido estricto. Un buen ejemplo de la primera de estas opciones es la serie numérica dada por la siguiente fórmula.
Habiendo pintado los números de esta serie, puede ver que cualquiera de sus miembros, acercándose indefinidamente a 1, nunca superará este valor. En este caso, se dice que la sucesión convergente está acotada. Esto sucede siempre que exista tal número positivo M, que siempre es mayor que cualquiera de los términos de la serie módulo. Si una serie de números tiene signos de monotonicidad y tiene un límite, y por lo tanto converge, entonces necesariamente está dotada de tal propiedad. Y lo contrario no tiene por qué ser cierto. Esto se evidencia mediante el teorema de acotación para una sucesión convergente.
La aplicación de tales observaciones en la práctica es muy útil. Demos un ejemplo específico examinando las propiedades de la sucesión X =n/n+1, y probar su convergencia. Es fácil demostrar que es monótono, ya que (x +1 – x) es un número positivo para cualquier valor de n. El límite de la secuencia es igual al número 1, lo que significa que se cumplen todas las condiciones del teorema anterior, también llamado teorema de Weierstrass. El teorema de la acotación de una sucesión convergente establece que si tiene un límite, en cualquier caso resulta ser acotada. Sin embargo, tomemos el siguiente ejemplo. La serie numérica X =(-1) está acotada por abajo por -1 y por arriba por 1. Pero esta secuencia no es monótona, no tiene límite, y por lo tanto no converge. Es decir, la existencia de un límite y la convergencia no siempre se sigue de la limitación. Para que esto funcione, los límites inferior y superior deben coincidir, como en el caso de las proporciones de Fibonacci.
Números y leyes del Universo
Las variantes más simples de una secuencia convergente y divergente son quizás las series numéricas X =n y X =1/n. El primero de ellos es una serie natural de números. Es, como ya se mencionó, infinitamente grande. La segunda sucesión convergente está acotada y sus términos son casi infinitesimales en magnitud. Cada una de estas fórmulas personifica uno de los lados del Universo multifacético, ayudando a una persona a imaginar y calcular algo incognoscible, inaccesible a la percepción limitada en el lenguaje de números y signos.
Las leyes del universo, que van desde insignificantes hasta increíblemente grandes, también expresan la proporción áurea de 0,618. Científicoscreen que es la base de la esencia de las cosas y la naturaleza la utiliza para formar sus partes. Las relaciones entre los miembros siguientes y anteriores de la serie de Fibonacci, que ya hemos mencionado, no completan la demostración de las sorprendentes propiedades de esta serie única. Si consideramos el cociente de dividir el término anterior por el siguiente a través de uno, entonces obtenemos una serie de 0.5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 y así sucesivamente. Es interesante que esta sucesión limitada converge, no es monótona, pero la relación de los números vecinos extremos de un determinado miembro siempre es aproximadamente igual a 0,382, que también se puede utilizar en arquitectura, análisis técnico y otras industrias.
Hay otros coeficientes interesantes de la serie de Fibonacci, todos juegan un papel especial en la naturaleza y también son utilizados por el hombre con fines prácticos. Los matemáticos están seguros de que el Universo se desarrolla según una cierta "espiral dorada", formada a partir de los coeficientes indicados. Con su ayuda, es posible calcular muchos fenómenos que ocurren en la Tierra y en el espacio, desde el crecimiento del número de ciertas bacterias hasta el movimiento de cometas distantes. Resulta que el código del ADN obedece leyes similares.
Progresión geométrica decreciente
Hay un teorema que afirma la unicidad del límite de una sucesión convergente. Esto significa que no puede tener dos o más límites, lo que sin duda es importante para encontrar sus características matemáticas.
Veamos algunoscasos. Toda serie numérica compuesta por miembros de una progresión aritmética es divergente, excepto en el caso de paso cero. Lo mismo se aplica a una progresión geométrica, cuyo denominador es mayor que 1. Los límites de tales series numéricas son el “más” o el “menos” de infinito. Si el denominador es menor que -1, entonces no hay límite. Son posibles otras opciones.
Considere la serie numérica dada por la fórmula X =(1/4) -1. A primera vista, es fácil ver que esta sucesión convergente está acotada porque es estrictamente decreciente y de ninguna manera capaz de tomar valores negativos.
Vamos a escribir un número de sus miembros seguidos.
Resultará: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 y así sucesivamente. Cálculos bastante simples son suficientes para comprender qué tan rápido esta progresión geométrica decrece desde los denominadores 0<q<1. Mientras que el denominador de los términos aumenta indefinidamente, ellos mismos se vuelven infinitesimales. Esto significa que el límite de la serie numérica es 0. Este ejemplo demuestra una vez más la naturaleza limitada de la secuencia convergente.
Secuencias fundamentales
Augustin Louis Cauchy, un científico francés, reveló al mundo muchos trabajos relacionados con el análisis matemático. Dio definiciones a conceptos tales como diferencial, integral, límite y continuidad. También estudió las propiedades básicas de las sucesiones convergentes. Para comprender la esencia de sus ideas,es necesario resumir algunos detalles importantes.
Al principio del artículo, se mostró que hay secuencias para las cuales hay un vecindario donde los puntos que representan a los miembros de una determinada serie en la línea real comienzan a agruparse, alineándose cada vez más densamente. Al mismo tiempo, la distancia entre ellos disminuye a medida que aumenta el número del siguiente representante, convirtiéndose en uno infinitamente pequeño. Así, resulta que en una vecindad dada se agrupan un número infinito de representantes de una serie dada, mientras que fuera de ella hay un número finito de ellos. Tales secuencias se llaman fundamentales.
El famoso criterio de Cauchy, creado por un matemático francés, indica claramente que la presencia de tal propiedad es suficiente para demostrar que la sucesión converge. Lo contrario también es cierto.
Cabe señalar que esta conclusión del matemático francés es principalmente de interés puramente teórico. Su aplicación en la práctica se considera un asunto bastante complicado, por lo tanto, para aclarar la convergencia de series, es mucho más importante probar la existencia de un límite finito para una secuencia. De lo contrario, se considera divergente.
Al resolver problemas, también se deben tener en cuenta las propiedades básicas de las sucesiones convergentes. Se muestran a continuación.
Sumas infinitas
Científicos tan famosos de la antigüedad como Arquímedes, Euclides, Eudoxo utilizaron las sumas de series de números infinitos para calcular las longitudes de las curvas, los volúmenes de los cuerposy áreas de figuras. En particular, de esta manera fue posible averiguar el área del segmento parabólico. Para ello se utilizó la suma de las series numéricas de una progresión geométrica con q=1/4. Los volúmenes y áreas de otras figuras arbitrarias se hallaron de manera similar. Esta opción se denominó método de "agotamiento". La idea era que el cuerpo estudiado, de forma compleja, se descompusiera en partes, que fueran figuras con parámetros fácilmente medibles. Por esta razón, no fue difícil calcular sus áreas y volúmenes, y luego se sumaron.
Por cierto, tareas similares son muy familiares para los escolares modernos y se encuentran en tareas USE. El método único, encontrado por ancestros lejanos, es con mucho la solución más simple. Incluso si solo hay dos o tres partes en las que se divide la figura numérica, la suma de sus áreas sigue siendo la suma de la serie numérica.
Mucho más tarde que los antiguos científicos griegos Leibniz y Newton, basándose en la experiencia de sus sabios predecesores, aprendieron los patrones del cálculo integral. El conocimiento de las propiedades de las secuencias les ayudó a resolver ecuaciones diferenciales y algebraicas. En la actualidad, la teoría de series, creada por los esfuerzos de muchas generaciones de científicos talentosos, brinda la oportunidad de resolver una gran cantidad de problemas matemáticos y prácticos. Y el estudio de las sucesiones numéricas ha sido el principal problema resuelto por el análisis matemático desde sus inicios.
