En matemáticas, las funciones inversas son expresiones que se corresponden mutuamente y que se convierten unas en otras. Para entender lo que esto significa, vale la pena considerar un ejemplo específico. Digamos que tenemos y=cos(x). Si tomamos el coseno del argumento, entonces podemos encontrar el valor de y. Obviamente, para esto necesitas tener x. Pero, ¿y si el jugador se da inicialmente? Aquí es donde se llega al meollo del asunto. Para resolver el problema, se requiere el uso de una función inversa. En nuestro caso, este es el arcocoseno.
Después de todas las transformaciones, obtenemos: x=arccos(y).
Es decir, para encontrar una función inversa a una dada, basta con expresar un argumento a partir de ella. Pero esto solo funciona si el resultado tendrá un solo valor (más sobre eso más adelante).
En términos generales, este hecho se puede escribir de la siguiente manera: f(x)=y, g(y)=x.
Definición
Sea f una función cuyo dominio es el conjunto X, yel rango de valores es el conjunto Y. Entonces, si existe g cuyos dominios realizan tareas opuestas, entonces f es reversible.
Además, en este caso g es única, lo que significa que hay exactamente una función que satisface esta propiedad (ni más, ni menos). Entonces se llama función inversa, y por escrito se denota de la siguiente manera: g(x)=f -1(x).
En otras palabras, pueden verse como una relación binaria. La reversibilidad tiene lugar solo cuando un elemento del conjunto corresponde a un valor de otro.
No siempre hay una función inversa. Para hacer esto, cada elemento y є Y debe corresponder como máximo a un x є X. Entonces f se llama uno a uno o inyección. Si f -1 pertenece a Y, entonces cada elemento de este conjunto debe corresponder a algún x ∈ X. Las funciones con esta propiedad se llaman sobreyecciones. Se cumple por definición si Y es una imagen f, pero no siempre es así. Para ser inversa, una función debe ser tanto inyección como sobreyección. Tales expresiones se llaman biyecciones.
Ejemplo: funciones de raíz y cuadrado
La función está definida en [0, ∞) y dada por la fórmula f (x)=x2.
Entonces no es inyectivo, porque cada posible resultado Y (excepto 0) corresponde a dos X diferentes, uno positivo y otro negativo, por lo que no es reversible. En este caso, será imposible obtener los datos iniciales de los recibidos, lo que contradiceteorías Será no inyectable.
Si el dominio de definición se limita condicionalmente a valores no negativos, entonces todo funcionará como antes. Entonces es biyectiva y por lo tanto invertible. La función inversa aquí se llama positiva.
Nota sobre la entrada
Que la designación f -1 (x) puede confundir a una persona, pero en ningún caso debe usarse así: (f (x)) - 1 . Se refiere a un concepto matemático completamente diferente y no tiene nada que ver con la función inversa.
Como regla general, algunos autores utilizan expresiones como sin-1 (x).
Sin embargo, otros matemáticos creen que esto puede causar confusión. Para evitar tales dificultades, las funciones trigonométricas inversas a menudo se denotan con el prefijo "arco" (del arco latino). En nuestro caso, estamos hablando del arcoseno. También puede ver ocasionalmente el prefijo "ar" o "inv" para algunas otras funciones.
