Incluso en la escuela, todos los estudiantes se familiarizan con el concepto de "geometría euclidiana", cuyas disposiciones principales se centran en varios axiomas basados en elementos geométricos como punto, plano, línea, movimiento. Todos juntos forman lo que durante mucho tiempo se conoce bajo el término "espacio euclidiano".
El espacio euclidiano, cuya definición se basa en el concepto de multiplicación escalar de vectores, es un caso especial de espacio lineal (afín) que satisface una serie de requisitos. Primero, el producto escalar de vectores es absolutamente simétrico, es decir, el vector con coordenadas (x;y) es cuantitativamente idéntico al vector con coordenadas (y;x), pero de dirección opuesta.
En segundo lugar, si se realiza el producto escalar de un vector consigo mismo, entonces el resultado de esta acción será positivo. La única excepción será el caso en que las coordenadas inicial y final de este vector sean iguales a cero: en este caso, su producto consigo mismo también será igual a cero.
En tercer lugar, el producto escalar es distributivo, es decir, es posible descomponer una de sus coordenadas en la suma de dos valores, lo que no supondrá ningún cambio en el resultado final de la multiplicación escalar de vectores. Finalmente, en cuarto lugar, cuando los vectores se multiplican por el mismo número real, su producto escalar también aumentará por el mismo factor.
Si se cumplen estas cuatro condiciones, podemos decir con confianza que tenemos un espacio euclidiano.
El espacio euclidiano desde un punto de vista práctico se puede caracterizar por los siguientes ejemplos específicos:
- El caso más simple es la presencia de un conjunto de vectores con un producto escalar definido según las leyes básicas de la geometría.
- El espacio euclidiano también se obtendrá si por vectores entendemos un cierto conjunto finito de números reales con una fórmula dada que describe su suma o producto escalar.
- Un caso especial del espacio euclidiano es el llamado espacio cero, que se obtiene si la longitud escalar de ambos vectores es igual a cero.
El espacio euclidiano tiene una serie de propiedades específicas. En primer lugar, el factor escalar se puede sacar de paréntesis tanto del primer como del segundo factor del producto escalar, el resultado de esto no cambiará de ninguna manera. En segundo lugar, junto con la distributividad del primer elemento del escalarproducto, la distributividad del segundo elemento también actúa. Además, además de la suma escalar de vectores, también tiene lugar la distributividad en el caso de la resta de vectores. Finalmente, en tercer lugar, cuando un vector se multiplica escalarmente por cero, el resultado también será cero.
Por lo tanto, el espacio euclidiano es el concepto geométrico más importante utilizado para resolver problemas con la disposición mutua de vectores entre sí, que se caracteriza por un concepto como el producto escalar.
