¿Qué son las variables? Variable en matemáticas

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2024-01-02 17:45

La importancia de las variables en matemáticas es grande, porque durante su existencia, los científicos lograron hacer muchos descubrimientos en esta área, y para enunciar breve y claramente este o aquel teorema, usamos variables para escribir las fórmulas correspondientes. Por ejemplo, el teorema de Pitágoras sobre un triángulo rectángulo: a² =b² + c^{2. Cómo escribir cada vez que se resuelve un problema: según el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos; lo escribimos con una fórmula y todo se aclara de inmediato.}

Entonces, este artículo discutirá qué son las variables, sus tipos y propiedades. También se considerarán diversas expresiones matemáticas: desigualdades, fórmulas, sistemas y algoritmos para su solución.

Concepto de variable

Primero que nada, ¿qué es una variable? Este es un valor numérico que puede tomar muchos valores. No puede ser constante, ya que en diferentes problemas y ecuaciones, por conveniencia, tomamos soluciones comonúmeros variables diferentes, es decir, por ejemplo, z es una designación general para cada una de las cantidades para las que se toma. Por lo general, se indican con letras del alfabeto latino o griego (x, y, a, b, etc.).

Hay diferentes tipos de variables. Establecen algunas cantidades físicas: camino (S), tiempo (t) y simplemente valores desconocidos en ecuaciones, funciones y otras expresiones.

Por ejemplo, hay una fórmula: S=Vt. Aquí, las variables denotan ciertas cantidades relacionadas con el mundo real: la ruta, la velocidad y el tiempo.

Y hay una ecuación de la forma: 3x - 16=12x. Aquí, x ya se toma como un número abstracto que tiene sentido en esta notación.

Tipos de cantidades

Cantidad significa algo que expresa las propiedades de un determinado objeto, sustancia o fenómeno. Por ejemplo, la temperatura del aire, el peso de un animal, el porcentaje de vitaminas en una tableta: todas estas son cantidades cuyos valores numéricos se pueden calcular.

Cada cantidad tiene sus propias unidades de medida, que juntas forman un sistema. Se llama sistema numérico (SI).

¿Qué son las variables y las constantes? Considérelos con ejemplos específicos.

Tomemos un movimiento uniforme rectilíneo. Un punto en el espacio se mueve a la misma velocidad cada vez. Es decir, el tiempo y la distancia cambian, pero la velocidad sigue siendo la misma. En este ejemplo, el tiempo y la distancia son variables y la velocidad es constante.

O, por ejemplo, “pi”. Este es un número irracional que continúa sin repetirseuna secuencia de dígitos y no se puede escribir en su totalidad, por lo que en matemáticas se expresa mediante un símbolo generalmente aceptado que toma solo el valor de una fracción infinita dada. Es decir, “pi” es un valor constante.

Historia

La historia de la notación de variables comienza en el siglo XVII con el científico René Descartes.

Designó los valores conocidos con las primeras letras del alfabeto: a, b y así sucesivamente, y para las incógnitas sugirió usar las últimas letras: x, y, z. Es de destacar que Descartes consideraba tales variables como números no negativos, y ante parámetros negativos anteponía a la variable un signo menos o, si no se sabía de qué signo era el número, una elipsis. Pero con el tiempo, los nombres de las variables comenzaron a denotar números de cualquier signo, y esto comenzó con el matemático Johann Hudde.

Con variables, los cálculos matemáticos son más fáciles de resolver porque, por ejemplo, ¿cómo resolvemos ecuaciones bicuadráticas ahora? Introducimos una variable. Por ejemplo:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

Para x2 tomamos algo de k, y la ecuación queda clara:

x2=k, para k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

Eso es lo que aporta la introducción de variables a las matemáticas.

Desigualdades, ejemplos de soluciones

Una desigualdad es un registro en el que dos expresiones matemáticas o dos números están conectados por signos de comparación:, ≦, ≧. Son estrictos y se indican con signos o no estrictos con signos ≦, ≧.

Por primera vez se introdujeron estos signosTomás Harriot. Después de la muerte de Thomas, se publicó su libro con estas notaciones, a los matemáticos les gustaron y, con el tiempo, se usaron ampliamente en los cálculos matemáticos.

Hay varias reglas a seguir cuando se resuelven desigualdades de una sola variable:

Al transferir un número de una parte de la desigualdad a otra, cambia su signo al opuesto.
Al multiplicar o dividir partes de una desigualdad por un número negativo, sus signos se invierten.
Si multiplicas o divides ambos lados de la desigualdad por un número positivo, obtienes una desigualdad igual a la original.

Resolver una desigualdad significa encontrar todos los valores válidos para una variable.

Ejemplo de variable única:

10x - 50 > 150

Lo resolvemos como una ecuación lineal normal - movemos los términos con variable a la izquierda, sin variable - a la derecha y damos términos similares:

10x > 200

Dividimos ambos lados de la desigualdad por 10 y obtenemos:

x > 20

Para mayor claridad, en el ejemplo de resolver una desigualdad con una variable, dibuje una recta numérica, marque el punto perforado 20 en ella, ya que la desigualdad es estricta y este número no está incluido en el conjunto de sus soluciones.

La solución a esta desigualdad es el intervalo (20; +∞).

La solución de una desigualdad no estricta se realiza de la misma forma que una estricta:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Pero hay una excepción. Un registro de la forma x ≧ 5 debe entenderse así: x es mayor o igual a cinco, lo que significael número cinco está incluido en el conjunto de todas las soluciones de la desigualdad, es decir, al escribir la respuesta, anteponemos un corchete al número cinco.

x ∈ [5; +∞)

Desigualdades al cuadrado

Si tomamos una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx +c=0 y cambiamos el signo igual al signo de desigualdad en ella, entonces obtendremos en consecuencia un desigualdad cuadrática.

Para resolver una desigualdad cuadrática, debes poder resolver ecuaciones cuadráticas.

y=ax2 + bx + c es una función cuadrática. Podemos resolverlo usando el discriminante, o usando el teorema de Vieta. Recuerda cómo se resuelven estas ecuaciones:

1) y=x2 + 12x + 11 - la función es una parábola. Sus ramas están dirigidas hacia arriba, ya que el signo del coeficiente "a" es positivo.

2) x2 + 12x + 11=0 - igualar a cero y resolver usando el discriminante.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 raíces

Según la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática, obtenemos:

x₁ =-1, x_2=-11

O podrías resolver esta ecuación usando el teorema de Vieta:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Usando el método de selección, obtenemos las mismas raíces de la ecuación.

Parábola

Entonces, la primera forma de resolver una desigualdad cuadrática es una parábola. El algoritmo para resolverlo es el siguiente:

1. Determina hacia dónde se dirigen las ramas de la parábola.

2. Iguala la función a cero y encuentra las raíces de la ecuación.

3. Construimos una recta numérica, marcamos las raíces en ella, dibujamos una parábola y encontramos el hueco que necesitamos, dependiendo del signo de la desigualdad.

Resuelve la desigualdad x2 + x - 12 > 0

Escribe como una función:

1) y=x2 + x - 12 - parábola, ramas hacia arriba.

Establecer a cero.

2) x2 + x -12=0

A continuación, resolvemos como una ecuación cuadrática y encontramos los ceros de la función:

x₁ =3, x_2=-4

3) Dibuja una recta numérica con los puntos 3 y -4 en ella. La parábola los atravesará, se bifurcará y la respuesta a la desigualdad será un conjunto de valores positivos, es decir, (-∞; -4), (3; +∞).

Método de intervalo

La segunda forma es el método de espaciado. Algoritmo para resolverlo:

1. Encuentra las raíces de la ecuación para la cual la desigualdad es igual a cero.

2. Los marcamos en la recta numérica. Por lo tanto, se divide en varios intervalos.

3. Determine el signo de cualquier intervalo.

4. Colocamos signos en los intervalos restantes, cambiándolos después de uno.

Resuelve la desigualdad (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Ceros de desigualdad: 4, 5 y -7.

2) Dibujarlos en la recta numérica.

3) Determinar los signos de los intervalos.

Respuesta: (-∞; -7]; [4; 5].

Resuelve una desigualdad más: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Ceros de desigualdad: 0, 2, -2 y 1.

2. Márcalos en la recta numérica.

3. Determine los signos de intervalo.

La línea se divide en intervalos - de -2 a 0, de 0 a 1, de 1 a 2.

Toma el valor del primer intervalo - (-1). Sustituir en la desigualdad. Con este valor, la desigualdad se vuelve positiva, lo que significa que el signo en este intervalo será +.

Además, comenzando desde el primer espacio, organizamos los signos, cambiándolos después de uno.

La desigualdad es mayor que cero, es decir, necesitas encontrar un conjunto de valores positivos en la recta.

Respuesta: (-2; 0), (1; 2).

Sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones con dos variables son dos ecuaciones unidas por una llave para las cuales es necesario encontrar una solución común.

Los sistemas pueden ser equivalentes si la solución general de uno de ellos es la solución del otro, o ambos no tienen solución.

Estudiaremos la solución de sistemas de ecuaciones con dos variables. Hay dos formas de resolverlos: el método de sustitución o el método algebraico.

Método algebraico

Para resolver el sistema que se muestra en la imagen usando este método, primero debes multiplicar una de sus partes por tal número, para luego poder cancelar mutuamente una variable de ambas partes de la ecuación. Aquí multiplicamos por tres, dibujamos una línea debajo del sistema y sumamos sus partes. Como resultado, las x se vuelven idénticas en módulo, pero de signo opuesto, y las reducimos. Luego, obtenemos una ecuación lineal con una variable y la resolvemos.

Encontramos Y, pero no podemos quedarnos ahí, porque aún no hemos encontrado X. SustitutoY a la parte de la que será conveniente retirar X, por ejemplo:

-x + 5y=8, con y=1

-x + 5=8

Resuelve la ecuación resultante y encuentra x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Lo principal en la solución del sistema es escribir la respuesta correctamente. Muchos estudiantes cometen el error de escribir:

Respuesta: -3, 1.

Pero esta es una entrada incorrecta. Después de todo, como ya se mencionó anteriormente, al resolver un sistema de ecuaciones, estamos buscando una solución general para sus partes. La respuesta correcta sería:

(-3; 1)