En la palabra "infinito" cada persona tiene sus propias asociaciones. Muchos dibujan en su imaginación el mar que se extiende más allá del horizonte, mientras que otros tienen ante sus ojos la imagen de un interminable cielo estrellado. Los matemáticos, acostumbrados a operar con números, imaginan el infinito de una manera completamente diferente. Durante muchos siglos han estado tratando de encontrar la mayor de las cantidades físicas requeridas para medir. Uno de ellos es el número de Graham. Cuántos ceros tiene y para qué se usa, este artículo lo dirá.
Número infinitamente grande
En matemáticas, este es el nombre de tal variable x , si para cualquier número positivo dado M se puede especificar un número natural N tal que para todos los números n mayores que N la desigualdad |x | > M. Sin embargo, no, por ejemplo, el entero Z puede considerarse infinitamente grande, ya que siempre será menor que (Z + 1).
Algunas palabras sobre "gigantes"
Los números más grandes que tienen significado físico se consideran:
- 1080. Este número, que comúnmente se denomina quinquavigintillón, se usa para indicar el número aproximado de quarks y leptones (las partículas más pequeñas) en el Universo.
- 1 Google. Dicho número en el sistema decimal se escribe como una unidad con 100 ceros. Según algunos modelos matemáticos, desde el momento del big bang hasta la explosión del agujero negro más masivo, deben pasar de 1 a 1,5 googol años, después de lo cual nuestro universo pasará a la última etapa de su existencia, es decir, podemos asuma que este número tiene un cierto significado físico.
- 8, 5 x 10185. La constante de Planck es 1,616199 x 10-35 m, es decir, en notación decimal parece 0,00000000000000000000000000000616199 m. Hay alrededor de 1 googol de longitud de Planck en una pulgada. Se estima que alrededor de 8,5 x 10185 La longitud de Planck puede caber en todo nuestro universo.
- 277 232 917 – 1. Este es el número primo más grande conocido. Si su notación binaria tiene una forma bastante compacta, para representarla en forma decimal, tomará no menos de 13 millones de caracteres. Fue encontrado en 2017 como parte de un proyecto para buscar números de Mersenne. Si los entusiastas continúan trabajando en esta dirección, entonces, en el nivel actual de desarrollo de la tecnología informática, es poco probable que en un futuro próximo puedan encontrar un número de Mersenne de un orden de magnitud superior a 277 232 917- 1, aunque talel afortunado ganador recibirá US$150.000.
- Hugoplex. Aquí solo tomamos 1 y agregamos ceros después de él en la cantidad de 1 googol. Puedes escribir este número como 10^10^100. Es imposible representarlo en forma decimal, porque si todo el espacio del Universo está lleno de hojas de papel, en cada una de las cuales se escribiría 0 con un tamaño de letra "Word" de 10, entonces en este caso solo la mitad de todos los 0 después de 1 se obtendrían para el número de googolplex.
- 10^10^10^10^10^1.1. Este es un número que muestra el número de años después de los cuales, según el teorema de Poincaré, nuestro Universo, como resultado de fluctuaciones cuánticas aleatorias, volverá a un estado cercano al actual.
Cómo surgieron los números de Graham
En 1977, el conocido divulgador de la ciencia Martin Gardner publicó un artículo en Scientific American sobre la demostración de Graham de uno de los problemas de la teoría de Ramse. En él, llamó al límite establecido por el científico el número más grande jamás utilizado en un razonamiento matemático serio.
¿Quién es Ronald Lewis Graham?
El científico, que ahora tiene 80 años, nació en California. En 1962, recibió un doctorado en matemáticas de la Universidad de Berkeley. Trabajó en Bell Labs durante 37 años y luego se mudó a AT&T Labs. El científico colaboró activamente con uno de los más grandes matemáticos del siglo XX, Pal Erdős, y ha ganado muchos premios prestigiosos. La bibliografía científica de Graham contiene más de 320 artículos científicos.
A mediados de los años 70, el científico se interesó por el problema asociado a la teoríaRamsey. En su prueba, se determinó el límite superior de la solución, que es un número muy grande, posteriormente llamado así por Ronald Graham.
Problema del hipercubo
Para comprender la esencia del número de Graham, primero debe comprender cómo se obtuvo.
El científico y su colega Bruce Rothschild estaban resolviendo el siguiente problema:
Hay un hipercubo de n dimensiones. Todos los pares de sus vértices están conectados de tal manera que se obtiene un grafo completo con 2vértices. Cada uno de sus bordes es de color azul o rojo. Se requería encontrar el número mínimo de vértices que debería tener un hipercubo para que cada coloración contuviera un subgrafo monocromático completo con 4 vértices en el mismo plano.
Decisión
Graham y Rothschild demostraron que el problema tiene una solución N' que satisface la condición 6 ⩽ N' ⩽N donde N es un número muy grande bien definido.
El límite inferior de N fue refinado posteriormente por otros científicos, quienes demostraron que N debe ser mayor o igual a 13. Por lo tanto, la expresión para el menor número de vértices de un hipercubo que satisface las condiciones presentadas anteriormente se convirtió en 13 ⩽ N'⩽ N.
Notación de flecha de Knuth
Antes de definir el número de Graham, debe familiarizarse con el método de su representación simbólica, ya que ni la notación decimal ni la binaria son absolutamente adecuadas para esto.
Actualmente, la notación de flecha de Knuth se usa para representar esta cantidad. Según ella:
ab=a "flecha hacia arriba" b.
Para la operación de exponenciación múltiple, se introdujo la entrada:
a "flecha arriba" "flecha arriba" b=ab="una torre que consta de a en la cantidad de b piezas".
Y para la pentación, es decir, la designación simbólica de la exponenciación repetida del operador anterior, Knuth ya usaba 3 flechas.
Usando esta notación para el número de Graham, tenemos secuencias de "flechas" anidadas entre sí, en la cantidad de 64 piezas.
Escala
Su famoso número, que excita la imaginación y expande los límites de la conciencia humana, llevándola más allá de los límites del Universo, Graham y sus colegas lo obtuvieron como un límite superior para el número N en la prueba del hipercubo problema presentado anteriormente. Es extremadamente difícil para una persona común imaginar cuán grande es su escala.
La cuestión del número de caracteres, o como a veces se dice erróneamente, ceros en el número de Graham, es de interés para casi todos los que oyen hablar de este valor por primera vez.
Baste con decir que estamos tratando con una secuencia de rápido crecimiento que consta de 64 miembros. Incluso su primer término es imposible de imaginar, ya que consta de n "torres", que consta de 3 a. Ya su "piso inferior" de 3 triples es igual a 7.625.597.484.987, es decir, supera los 7 mil millones, es decir, sobre el piso 64 (¡no miembro!). Por lo tanto, actualmente es imposible decir exactamente cuál es el número de Graham, ya que no es suficiente para calcularlo.el poder combinado de todas las computadoras que existen en la Tierra hoy.
¿Récord roto?
En el proceso de probar el teorema de Kruskal, el número de Graham fue "arrojado de su pedestal". El científico propuso el siguiente problema:
Hay una secuencia infinita de árboles finitos. Kruskal demostró que siempre existe una sección de algún gráfico, que es tanto una parte de un gráfico más grande como su copia exacta. Esta afirmación no genera dudas, ya que es obvio que siempre habrá una combinación que se repite exactamente en el infinito
Más tarde, Harvey Friedman redujo un poco este problema al considerar solo gráficos acíclicos (árboles) que para uno en particular con coeficiente i hay como máximo (i + k) vértices. Decidió averiguar cuál debería ser el número de gráficos acíclicos, para que con este método de su tarea siempre fuera posible encontrar un subárbol que estaría incrustado en otro árbol.
Como resultado de la investigación sobre este tema, se encontró que N, dependiendo de k, crece a una velocidad tremenda. En particular, si k=1, entonces N=3. Sin embargo, en k=2, N ya llega a 11. Lo más interesante comienza cuando k=3. En este caso, N rápidamente "despega" y alcanza un valor que es muchas veces mayor que el número de Graham. Para imaginar su tamaño, basta con anotar el número calculado por Ronald Graham en forma de G64 (3). Entonces el valor de Friedman-Kruskal (rev. FinKraskal(3)), será del orden de G(G(187196)). En otras palabras, se obtiene un megavalor, que es infinitamente mayorun número de Graham inimaginablemente grande. Al mismo tiempo, incluso será menor que el infinito por un número gigantesco de veces. Tiene sentido hablar sobre este concepto con más detalle.
Infinito
Ahora que hemos explicado qué es el número de Graham en los dedos, debemos entender el significado que se le ha dado y se le está dando a este concepto filosófico. Después de todo, "infinito" y "un número infinitamente grande" pueden considerarse idénticos en un determinado contexto.
La mayor contribución al estudio de este tema la hizo Aristóteles. El gran pensador de la antigüedad dividió el infinito en potencial y actual. Con esto último se refería a la realidad de la existencia de cosas infinitas.
Según Aristóteles, las fuentes de ideas sobre este concepto fundamental son:
- tiempo;
- separación de valores;
- el concepto de frontera y la existencia de algo más allá;
- la inagotabilidad de la naturaleza creativa;
- pensar que no tiene límites.
En la interpretación moderna del infinito, no se puede especificar una medida cuantitativa, por lo que la búsqueda del número más grande puede durar eternamente.
Conclusión
¿Pueden considerarse sinónimos en algún sentido la metáfora "Mirar al infinito" y el número de Graham? Más bien sí y no. Ambos son imposibles de imaginar, incluso con la imaginación más fuerte. Sin embargo, como ya se mencionó, no puede considerarse "lo más, lo más". Otra cosa es que por el momento valores superiores al número de Graham no tienen un establecidosentido físico.
Además, no tiene las propiedades de un número infinito, como:
- ∞ + 1=∞;
- hay un número infinito de números pares e impares;
- ∞ - 1=∞;
- el número de números impares es exactamente la mitad de todos los números;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Para resumir: el número de Graham es el número más grande en la práctica de la prueba matemática, según el Libro Guinness de los Récords. Sin embargo, hay números que son muchas veces mayores que este valor.
Lo más probable es que en el futuro se necesiten "gigantes" aún mayores, especialmente si una persona va más allá de nuestro sistema solar o inventa algo inimaginable en el nivel actual de nuestra conciencia.
