La transformada de Fourier es una transformación que compara las funciones de alguna variable real. Esta operación se realiza cada vez que percibimos diferentes sonidos. El oído realiza un "cálculo" automático, que nuestra conciencia es capaz de realizar solo después de estudiar la sección correspondiente de matemáticas superiores. El órgano auditivo humano construye una transformación, como resultado de lo cual el sonido (movimiento oscilatorio de partículas condicionales en un medio elástico que se propagan en forma de onda en un medio sólido, líquido o gaseoso) se proporciona en forma de un espectro de valores sucesivos. del nivel de volumen de tonos de diferentes alturas. Después de eso, el cerebro convierte esta información en un sonido familiar para todos.
Transformada matemática de Fourier
La transformación de las ondas sonoras u otros procesos oscilatorios (desde la radiación luminosa y las mareas oceánicas hasta los ciclos de actividad estelar o solar) también se puede llevar a cabo mediante métodos matemáticos. Entonces, usando estas técnicas, es posible descomponer funciones representando procesos oscilatorios como un conjunto de componentes sinusoidales, es decir, curvas onduladas queir de bajo a alto, luego de nuevo a bajo, como una ola de mar. Transformada de Fourier: una transformación cuya función describe la fase o amplitud de cada sinusoide correspondiente a una determinada frecuencia. La fase es el punto inicial de la curva y la amplitud es su altura.
La transformada de Fourier (los ejemplos se muestran en la foto) es una herramienta muy poderosa que se utiliza en varios campos de la ciencia. En algunos casos, se utiliza como un medio para resolver ecuaciones bastante complejas que describen procesos dinámicos que ocurren bajo la influencia de la luz, la energía térmica o eléctrica. En otros casos, le permite determinar los componentes regulares en señales oscilatorias complejas, gracias a las cuales puede interpretar correctamente varias observaciones experimentales en química, medicina y astronomía.
Antecedentes históricos
La primera persona en aplicar este método fue el matemático francés Jean Baptiste Fourier. La transformación, que más tarde recibió su nombre, se usó originalmente para describir el mecanismo de conducción del calor. Fourier pasó toda su vida adulta estudiando las propiedades del calor. Hizo una gran contribución a la teoría matemática de la determinación de las raíces de las ecuaciones algebraicas. Fourier fue profesor de análisis en la Escuela Politécnica, secretario del Instituto de Egiptología, estuvo al servicio imperial, donde se destacó durante la construcción de la carretera a Turín (bajo su dirección, más de 80 mil kilómetros cuadrados de malaria).pantanos). Sin embargo, toda esta vigorosa actividad no impidió que el científico hiciera análisis matemáticos. En 1802, derivó una ecuación que describe la propagación del calor en los sólidos. En 1807, el científico descubrió un método para resolver esta ecuación, que se denominó "Transformada de Fourier".
Análisis de conductividad térmica
El científico aplicó un método matemático para describir el mecanismo de conducción del calor. Un ejemplo conveniente, en el que no hay dificultades de cálculo, es la propagación de energía térmica a través de un anillo de hierro sumergido en una parte en un fuego. Para llevar a cabo experimentos, Fourier calentó al rojo vivo una parte de este anillo y lo enterró en arena fina. Después de eso, tomó medidas de temperatura en el lado opuesto. Inicialmente, la distribución del calor es irregular: una parte del anillo es fría y la otra caliente, observándose un fuerte gradiente de temperatura entre estas zonas. Sin embargo, en el proceso de propagación del calor por toda la superficie del metal, se vuelve más uniforme. Entonces, pronto este proceso toma la forma de una sinusoide. Al principio, la gráfica aumenta suavemente y también disminuye suavemente, exactamente de acuerdo con las leyes de cambio de la función coseno o seno. La onda se estabiliza gradualmente y, como resultado, la temperatura se vuelve la misma en toda la superficie del anillo.
El autor de este método sugirió que la distribución irregular inicial se puede descomponer en varias sinusoides elementales. Cada uno de ellos tendrá su propia fase (posición inicial) y su propia temperaturamáximo. Además, cada componente de este tipo cambia de un mínimo a un máximo y viceversa en una revolución completa alrededor del anillo un número entero de veces. Un componente con un período se denomina armónico fundamental, y un valor con dos o más períodos se denomina segundo, y así sucesivamente. Entonces, la función matemática que describe el máximo de temperatura, la fase o la posición se llama transformada de Fourier de la función de distribución. El científico redujo un solo componente, que es difícil de describir matemáticamente, a una herramienta fácil de usar: la serie de coseno y seno, que se suman para dar la distribución original.
La esencia del análisis
Aplicando este análisis a la transformación de la propagación del calor a través de un objeto sólido que tiene una forma anular, el matemático razonó que aumentar los períodos de la componente sinusoidal conduciría a su rápida descomposición. Esto se ve claramente en los armónicos fundamentales y segundos. En este último, la temperatura alcanza los valores máximo y mínimo dos veces en una sola pasada, y en el primero, solo una vez. Resulta que la distancia recorrida por el calor en el segundo armónico será la mitad que en el fundamental. Además, la pendiente en el segundo también será el doble que en el primero. Por lo tanto, dado que el flujo de calor más intenso viaja una distancia el doble de corta, este armónico decaerá cuatro veces más rápido que el fundamental en función del tiempo. En el futuro, este proceso será aún más rápido. El matemático creía que este método le permite calcular el proceso de distribución de la temperatura inicial a lo largo del tiempo.
Desafío a los contemporáneos
El algoritmo de la transformada de Fourier desafió los fundamentos teóricos de las matemáticas en ese momento. A principios del siglo XIX, los científicos más destacados, incluidos Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre y Biot, no aceptaron su afirmación de que la distribución de temperatura inicial se descompone en componentes en forma de armónico fundamental y frecuencias más altas. Sin embargo, la Academia de Ciencias no pudo ignorar los resultados obtenidos por el matemático, y le otorgó un premio por la teoría de las leyes de la conducción del calor, además de compararla con experimentos físicos. En el enfoque de Fourier, la principal objeción fue el hecho de que la función discontinua está representada por la suma de varias funciones sinusoidales que son continuas. Después de todo, describen líneas rectas y curvas rasgadas. Los contemporáneos del científico nunca se encontraron con una situación similar, cuando las funciones discontinuas se describían mediante una combinación de funciones continuas, como cuadráticas, lineales, sinusoides o exponenciales. En el caso de que el matemático tuviera razón en sus afirmaciones, entonces la suma de una serie infinita de una función trigonométrica debería reducirse a una función escalonada exacta. En ese momento, tal declaración parecía absurda. Sin embargo, a pesar de las dudas, algunos investigadores (p. ej., Claude Navier, Sophie Germain) han ampliado el alcance de las investigaciones y las han llevado más allá del análisis de la distribución de la energía térmica. Mientras tanto, los matemáticos continuaron luchando con la cuestión de si la suma de varias funciones sinusoidales se puede reducir a una representación exacta de una discontinua.
200 añoshistoria
Esta teoría ha evolucionado durante dos siglos, hoy finalmente se ha formado. Con su ayuda, las funciones espaciales o temporales se dividen en componentes sinusoidales, que tienen su propia frecuencia, fase y amplitud. Esta transformación se obtiene por dos métodos matemáticos diferentes. El primero de ellos se usa cuando la función original es continua, y el segundo, cuando está representado por un conjunto de cambios individuales discretos. Si la expresión se obtiene a partir de valores definidos por intervalos discretos, entonces se puede dividir en varias expresiones sinusoidales con frecuencias discretas, desde la más baja y luego dos veces, tres veces y así sucesivamente más alta que la principal. Tal suma se llama la serie de Fourier. Si a la expresión inicial se le da un valor para cada número real, entonces se puede descomponer en varias sinusoidales de todas las frecuencias posibles. Comúnmente se le llama integral de Fourier, y la solución implica transformaciones integrales de la función. Independientemente de cómo se obtenga la conversión, se deben especificar dos números para cada frecuencia: amplitud y frecuencia. Estos valores se expresan como un único número complejo. La teoría de expresiones de variables complejas, junto con la transformada de Fourier, hizo posible realizar cálculos en el diseño de diversos circuitos eléctricos, el análisis de vibraciones mecánicas, el estudio del mecanismo de propagación de ondas, y más.
Transformada de Fourier hoy
Hoy en día, el estudio de este proceso se reduce principalmente a encontrarmétodos de transición de una función a su forma transformada y viceversa. Esta solución se llama transformada directa e inversa de Fourier. ¿Qué significa? Para determinar la integral y producir una transformada directa de Fourier, se pueden utilizar métodos matemáticos o analíticos. A pesar de que surgen ciertas dificultades al usarlas en la práctica, la mayoría de las integrales ya se han encontrado e incluido en libros de referencia matemáticos. Los métodos numéricos se pueden utilizar para calcular expresiones cuya forma se basa en datos experimentales, o funciones cuyas integrales no están disponibles en tablas y son difíciles de presentar en forma analítica.
Antes de la llegada de las computadoras, los cálculos de tales transformaciones eran muy tediosos, requerían la ejecución manual de una gran cantidad de operaciones aritméticas, que dependían de la cantidad de puntos que describían la función de onda. Para facilitar los cálculos, hoy existen programas especiales que han permitido implementar nuevos métodos analíticos. Entonces, en 1965, James Cooley y John Tukey crearon un software que se conoció como "Fast Fourier Transform". Le permite ahorrar tiempo para los cálculos al reducir el número de multiplicaciones en el análisis de la curva. El método de la transformada rápida de Fourier se basa en dividir la curva en un gran número de valores de muestra uniformes. En consecuencia, el número de multiplicaciones se reduce a la mitad con la misma disminución en el número de puntos.
Aplicando la transformada de Fourier
Estoel proceso se utiliza en varios campos de la ciencia: en teoría de números, física, procesamiento de señales, combinatoria, teoría de probabilidad, criptografía, estadística, oceanología, óptica, acústica, geometría y otros. Las ricas posibilidades de su aplicación se basan en una serie de características útiles, que se denominan "propiedades de la transformada de Fourier". Considéralos.
1. La función de transformación es un operador lineal y, con la normalización apropiada, es unitaria. Esta propiedad se conoce como teorema de Parseval, o en general teorema de Plancherel, o dualismo de Pontryagin.
2. La transformación es reversible. Además, el resultado inverso tiene casi la misma forma que en la solución directa.
3. Las expresiones de base sinusoidal son funciones propias diferenciadas. Esto significa que tal representación cambia las ecuaciones lineales con un coeficiente constante en algebraicas ordinarias.
4. Según el teorema de la "convolución", este proceso convierte una operación compleja en una multiplicación elemental.
5. La transformada discreta de Fourier se puede calcular rápidamente en una computadora usando el método "rápido".
Variedades de la transformada de Fourier
1. La mayoría de las veces, este término se usa para denotar una transformación continua que proporciona cualquier expresión integrable al cuadrado como una suma de expresiones exponenciales complejas con amplitudes y frecuencias angulares específicas. Esta especie tiene varias formas diferentes, que puedendifieren por coeficientes constantes. El método continuo incluye una tabla de conversión, que se puede encontrar en libros de referencia matemáticos. Un caso generalizado es una transformación fraccionaria, por medio de la cual el proceso dado puede elevarse a la potencia real requerida.
2. El modo continuo es una generalización de la primera técnica de las series de Fourier definidas para varias funciones o expresiones periódicas que existen en un área limitada y las representan como series de sinusoides.
3. Transformada discreta de Fourier. Este método se utiliza en tecnología informática para cálculos científicos y para el procesamiento de señales digitales. Para realizar este tipo de cálculo se requiere contar con funciones que definan puntos individuales, áreas periódicas o acotadas sobre un conjunto discreto en lugar de integrales de Fourier continuas. La transformación de señal en este caso se representa como la suma de sinusoides. Al mismo tiempo, el uso del método “rápido” permite aplicar soluciones discretas a cualquier problema práctico.
4. La transformada de Fourier con ventana es una forma generalizada del método clásico. En contraste con la solución estándar, cuando se utiliza el espectro de la señal, que se toma en el rango completo de existencia de una variable dada, aquí solo la distribución de frecuencia local es de particular interés, siempre que se conserve la variable original (tiempo)..
5. Transformada de Fourier bidimensional. Este método se utiliza para trabajar con matrices de datos bidimensionales. En este caso, primero la transformación se realiza en una dirección, y luego enotro.
Conclusión
Hoy en día, el método de Fourier está firmemente arraigado en varios campos de la ciencia. Por ejemplo, en 1962 se descubrió la forma de doble hélice del ADN mediante el análisis de Fourier combinado con la difracción de rayos X. Estos últimos se enfocaron en cristales de fibras de ADN, como resultado, la imagen que se obtuvo por difracción de la radiación se registró en una película. Esta imagen proporcionó información sobre el valor de la amplitud cuando se usa la transformada de Fourier para una estructura cristalina determinada. Los datos de fase se obtuvieron comparando el mapa de difracción del ADN con mapas obtenidos del análisis de estructuras químicas similares. Como resultado, los biólogos han restaurado la estructura cristalina, la función original.
Las transformadas de Fourier desempeñan un papel muy importante en el estudio de la física espacial, de semiconductores y de plasma, la acústica de microondas, la oceanografía, el radar, la sismología y los estudios médicos.
