La serie de Fourier es una representación de una función tomada arbitrariamente con un período específico como una serie. En términos generales, esta solución se denomina descomposición de un elemento en base ortogonal. La expansión de funciones en una serie de Fourier es una herramienta bastante poderosa para resolver varios problemas debido a las propiedades de esta transformación al integrar, derivar y cambiar una expresión en un argumento y convolución.
Una persona que no está familiarizada con las matemáticas superiores, así como con los trabajos del científico francés Fourier, probablemente no entenderá qué son estas "filas" y para qué sirven. Mientras tanto, esta transformación se ha vuelto bastante densa en nuestras vidas. Es utilizado no solo por matemáticos, sino también por físicos, químicos, médicos, astrónomos, sismólogos, oceanógrafos y muchos otros. Echemos un vistazo más de cerca a los trabajos del gran científico francés, que hizo un descubrimiento adelantado a su tiempo.
El hombre y la transformada de Fourier
Las series de Fourier son uno de los métodos (junto con el análisis y otros) de la transformada de Fourier. Este proceso ocurre cada vez que una persona escucha un sonido. Nuestro oído convierte automáticamente el sonidoolas. Los movimientos oscilatorios de las partículas elementales en un medio elástico se descomponen en filas (a lo largo del espectro) de valores sucesivos del nivel de volumen para tonos de diferentes alturas. Luego, el cerebro convierte estos datos en sonidos familiares para nosotros. Todo esto sucede además de nuestro deseo o conciencia, por sí mismo, pero para comprender estos procesos, tomará varios años estudiar matemáticas superiores.
Más sobre la Transformada de Fourier
La transformada de Fourier se puede realizar mediante métodos analíticos, numéricos y otros. Las series de Fourier se refieren a la forma numérica de descomponer cualquier proceso oscilatorio, desde las mareas oceánicas y las ondas de luz hasta los ciclos de actividad solar (y otros objetos astronómicos). Mediante estas técnicas matemáticas, es posible analizar funciones, representando cualquier proceso oscilatorio como una serie de componentes sinusoidales que van de mínimo a máximo y viceversa. La transformada de Fourier es una función que describe la fase y la amplitud de las sinusoides correspondientes a una frecuencia específica. Este proceso se puede utilizar para resolver ecuaciones muy complejas que describen procesos dinámicos que ocurren bajo la influencia de energía térmica, luminosa o eléctrica. Además, las series de Fourier permiten aislar los componentes constantes en señales oscilatorias complejas, lo que permitió interpretar correctamente las observaciones experimentales obtenidas en medicina, química y astronomía.
Antecedentes históricos
Padre fundador de esta teoríaJean Baptiste Joseph Fourier es un matemático francés. Posteriormente, esta transformación recibió su nombre. Inicialmente, el científico aplicó su método para estudiar y explicar los mecanismos de conducción del calor: la propagación del calor en los sólidos. Fourier sugirió que la distribución irregular inicial de una ola de calor se puede descomponer en las sinusoides más simples, cada una de las cuales tendrá su propio mínimo y máximo de temperatura, así como su propia fase. En este caso, cada componente se medirá de mínimo a máximo y viceversa. La función matemática que describe los picos superior e inferior de la curva, así como la fase de cada uno de los armónicos, se denomina transformada de Fourier de la expresión de distribución de temperatura. El autor de la teoría redujo la función de distribución general, que es difícil de describir matemáticamente, a una serie muy fácil de manejar de funciones periódicas de coseno y seno que se suman a la distribución original.
El principio de transformación y las opiniones de los contemporáneos
Los contemporáneos del científico, los principales matemáticos de principios del siglo XIX, no aceptaron esta teoría. La principal objeción fue la afirmación de Fourier de que una función discontinua que describe una línea recta o una curva discontinua puede representarse como una suma de expresiones sinusoidales que son continuas. Como ejemplo, considere el "paso" de Heaviside: su valor es cero a la izquierda del espacio y uno a la derecha. Esta función describe la dependencia de la corriente eléctrica con la variable tiempo cuando el circuito está cerrado. Los contemporáneos de la teoría en ese momento nunca se habían encontrado con taluna situación en la que la expresión discontinua se describiría mediante una combinación de funciones ordinarias continuas, como exponencial, sinusoide, lineal o cuadrática.
¿Qué confundió a los matemáticos franceses en la teoría de Fourier?
Después de todo, si el matemático tenía razón en sus afirmaciones, al resumir la serie trigonométrica infinita de Fourier, puede obtener una representación exacta de la expresión del paso, incluso si tiene muchos pasos similares. A principios del siglo XIX, tal afirmación parecía absurda. Pero a pesar de todas las dudas, muchos matemáticos han ampliado el alcance del estudio de este fenómeno, llevándolo más allá del ámbito de los estudios de conductividad térmica. Sin embargo, la mayoría de los científicos continuaron agonizando con la pregunta: "¿Puede la suma de una serie sinusoidal converger al valor exacto de una función discontinua?"
Convergencia de series de Fourier: ejemplo
La cuestión de la convergencia surge siempre que es necesario sumar series infinitas de números. Para entender este fenómeno, considere un ejemplo clásico. ¿Puedes llegar a la pared si cada paso sucesivo es la mitad del tamaño del anterior? Supongamos que estás a dos metros de la meta, el primer paso te acerca a la mitad del camino, el siguiente a los tres cuartos y después del quinto cubrirás casi el 97 por ciento del camino. Sin embargo, no importa cuántos pasos dé, no logrará el objetivo previsto en un sentido estrictamente matemático. Usando cálculos numéricos, uno puede probar que al final uno puede acercarse tanto como quiera.pequeña distancia especificada. Esta prueba es equivalente a demostrar que el valor de la suma de un medio, un cuarto, etc. tenderá a uno.
Cuestión de la convergencia: La segunda venida o el aparato de Lord Kelvin
Esta pregunta se planteó repetidamente a fines del siglo XIX, cuando se intentó utilizar las series de Fourier para predecir la intensidad del flujo y reflujo. En ese momento, Lord Kelvin inventó un dispositivo, que es un dispositivo informático analógico que permitió a los marineros de la flota militar y mercante rastrear este fenómeno natural. Este mecanismo determinaba los conjuntos de fases y amplitudes a partir de una tabla de alturas de las mareas y sus correspondientes momentos temporales, cuidadosamente medidos en un puerto determinado durante el año. Cada parámetro era una componente sinusoidal de la expresión de la altura de la marea y era una de las componentes regulares. Los resultados de las mediciones se ingresaron en la calculadora de Lord Kelvin, que sintetizó una curva que predijo la altura del agua en función del tiempo para el próximo año. Muy pronto se trazaron curvas similares para todos los puertos del mundo.
¿Y si el proceso es interrumpido por una función discontinua?
En ese momento, parecía obvio que un predictor de maremotos con una gran cantidad de elementos de conteo podría calcular una gran cantidad de fases y amplitudes y, por lo tanto, proporcionar predicciones más precisas. Sin embargo, resultó que esta regularidad no se observa en los casos en que la expresión de marea, que siguesintetizar, contenía un s alto brusco, es decir, era discontinuo. En el caso de que se ingresen datos en el dispositivo desde la tabla de momentos de tiempo, calcula varios coeficientes de Fourier. La función original se restablece gracias a las componentes sinusoidales (según los coeficientes encontrados). La discrepancia entre la expresión original y restaurada se puede medir en cualquier punto. Al realizar cálculos y comparaciones repetidas, se puede ver que el valor del mayor error no disminuye. Sin embargo, se localizan en la región correspondiente al punto de discontinuidad y tienden a cero en cualquier otro punto. En 1899, este resultado fue confirmado teóricamente por Joshua Willard Gibbs de la Universidad de Yale.
Convergencia de las series de Fourier y el desarrollo de las matemáticas en general
El análisis de Fourier no es aplicable a expresiones que contienen un número infinito de ráfagas en un determinado intervalo. En general, las series de Fourier, si la función original es el resultado de una medida física real, siempre convergen. Las preguntas sobre la convergencia de este proceso para clases específicas de funciones han llevado al surgimiento de nuevas secciones en matemáticas, por ejemplo, la teoría de funciones generalizadas. Se asocia con nombres como L. Schwartz, J. Mikusinsky y J. Temple. En el marco de esta teoría, se creó una base teórica clara y precisa para expresiones tales como la función delta de Dirac (describe un área de un área única concentrada en un vecindario infinitamente pequeño de un punto) y el Heaviside “paso . Gracias a este trabajo, las series de Fourier se hicieron aplicables aresolver ecuaciones y problemas que involucran conceptos intuitivos: carga puntual, masa puntual, dipolos magnéticos, así como una carga concentrada en una viga.
método de Fourier
Las series de Fourier, de acuerdo con los principios de interferencia, comienzan con la descomposición de formas complejas en otras más simples. Por ejemplo, un cambio en el flujo de calor se explica por su paso a través de varios obstáculos hechos de material termoaislante de forma irregular o un cambio en la superficie de la tierra - un terremoto, un cambio en la órbita de un cuerpo celeste - la influencia de planetas Como regla, las ecuaciones similares que describen sistemas clásicos simples se resuelven elementalmente para cada onda individual. Fourier demostró que las soluciones simples también se pueden sumar para dar soluciones a problemas más complejos. En el lenguaje de las matemáticas, la serie de Fourier es una técnica para representar una expresión como una suma de armónicos: coseno y sinusoides. Por lo tanto, este análisis también se conoce como "análisis armónico".
Serie de Fourier: la técnica ideal antes de la "era de las computadoras"
Antes de la creación de la tecnología informática, la técnica de Fourier era la mejor arma en el arsenal de los científicos cuando trabajaban con la naturaleza ondulatoria de nuestro mundo. La serie de Fourier en forma compleja permite resolver no solo problemas simples que pueden aplicarse directamente a las leyes de la mecánica de Newton, sino también ecuaciones fundamentales. La mayoría de los descubrimientos de la ciencia newtoniana en el siglo XIX fueron posibles solo gracias a la técnica de Fourier.
Serie de Fourier hoy
Con el desarrollo de las computadoras con transformada de Fourierelevado a un nivel completamente nuevo. Esta técnica está firmemente arraigada en casi todas las áreas de la ciencia y la tecnología. Un ejemplo es una señal de audio y video digital. Su realización solo fue posible gracias a la teoría desarrollada por un matemático francés a principios del siglo XIX. Por lo tanto, la serie de Fourier en forma compleja hizo posible un gran avance en el estudio del espacio exterior. Además, influyó en el estudio de la física de materiales semiconductores y plasma, acústica de microondas, oceanografía, radar, sismología.
Serie trigonométrica de Fourier
En matemáticas, una serie de Fourier es una forma de representar funciones complejas arbitrarias como una suma de otras más simples. En casos generales, el número de tales expresiones puede ser infinito. Además, cuanto más se tenga en cuenta su número en el cálculo, más preciso será el resultado final. La mayoría de las veces, las funciones trigonométricas de coseno o seno se usan como las más simples. En este caso, las series de Fourier se denominan trigonométricas, y la solución de tales expresiones se denomina expansión del armónico. Este método juega un papel importante en las matemáticas. En primer lugar, la serie trigonométrica proporciona un medio para la imagen, así como el estudio de funciones, es el aparato principal de la teoría. Además, permite resolver una serie de problemas de física matemática. Finalmente, esta teoría contribuyó al desarrollo del análisis matemático, dio lugar a una serie de secciones muy importantes de la ciencia matemática (la teoría de las integrales, la teoría de las funciones periódicas). Además, sirvió como punto de partida para el desarrollo de las siguientes teorías: conjuntos, funcionesvariable real, análisis funcional, y también sentó las bases para el análisis armónico.
